中考数学专题突破导学练第2讲整式与因式分解试题

1、第2讲 整式与因式分解【考点归纳】1.单项式（1）单项式：只有数与字母的积的运算代数式叫做单项式，其中包括单独一个数或一个字母。注意：单独一个数或一个字母也是单项式，单项式是一个积。（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。注意：单项式前面的负号属于系数。（3）单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和。2.多项式（1）多项式：由几个单项式的和组成的代数式。（2）多项式的项：组成多项式的每个单项式。注意：不含字母的项是常数项；每个单项式都带着符号。（3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。3.整式（1）整式：单项式和多项式统称整式注意：分母含字母的一定不是整式。4.同类项

2、（1）同类项：所含字母相同，相同字母的指数相等的项是同类项。（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。5.整式的计算（1）去括号如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数量是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。（2）求值代入求值：一般都是先把多项式中的同类项进行合并以后，再把给出字母的数值代入，从而求出代数式的值；列整式计算：这类型的题目主要是根据实际问题列出整式，然后再把相关的数据代入整式中，从而求出实际问题的答案；找规律：一般都是先给出几个特殊图形或者数据，从中找出规律，从而把第n个数据用代数式表示出来（这是现在

3、中考的热点内容）。6.幂的运算性质同底数幂相乘：aman=am+n同底数幂相除：aman=am-n幂的乘方：（am）n=amn积的乘方：（ab）n=anbn注意：其是的m、n均为整数。ap 零指数和负指数：规定a0=1,a-p= 1注意：其是的a0、p为正整数。7.乘法公式平方差公式：(a+b)（a-b)= a2-b2完全平方式：(a+b)2= a2+2ab+b2(a-b)2= a2-2ab+b2注意：平方差公式中，两个一次因式的特点：a的符号相同，b的符号相反。 在完全平方公式中，2ab前的符号与(a+b)或（a-b)的是一致的。8.整式的乘除（1）单项式乘以单项式用它们系数的积作为积的系数

4、，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。（2）单项式乘以多项式是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（3）多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（4）单项式除单项式把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（5）多项式除以单项式把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。9.因式分解（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式。（2）因式分解的方法：提取公因式：

5、如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=m(a+b+c)；运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。常见的公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)（a-b)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2；简单的“十字相乘法”：整式的乘法：(x+p)（x+q)=x2+(p+q)x+pq；因式分解： x2+(p+q)x+pq=(x+p)（x+q)；分组分解法：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去，分组后可以提公因式、

6、或运用公式法或用十字相乘法继续分解因式。（3）分解因式的步骤：首先看是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式；然后再考虑是否能用公式法分解，如果是一个二次三项式，可以考虑是否能用十字相乘法；如果是四项或者四项以上的多项式，就要考虑分组分解法；分解因式一定要把结果分解到不能再分为止。【考点解析】1. 代数式及相关问题【例题】. （2016重庆市A卷4分）若a=2，b=1，则a+2b+3的值为（）A1B3C6D5【分析】把a与b代入原式计算即可得到结果【解答】解：当a=2，b=1时，原式=22+3=3，故选B【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式】(2015湖州市

7、)当x=1时，代数式43x的值是( )A. 1 B. 2 C. 3D. 4【分析】把x的值代入代数式进行计算即可得解.【解析】把x=1代入代数式43x即可得原式=4-3=1.故选A.【点评】代入正确计算即可.2. 幂的运算【例题】（2016海南3分）下列计算中，正确的是（）A（a3）4=a12Ba3a5=a15Ca2+a2=a4Da6a2=a3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、（a3）4=a3

8、4=a12，故A正确；B、a3a5=a3+5=a8，故B错误；C、a2+a2=2a2，故C错误；D、a6a2=a62=a4，故D错误；故选：A【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键【变式】（2016重庆市B卷4分）计算（x2y）3的结果是（）Ax6y3Bx5y3Cx5yDx2y3【考点】幂的乘方与积的乘方【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解【解答】（x2y）3=（x2）3y3=x6y3，故选A【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键3. 整式的概念【例题】（2016山东潍坊3分）若3x2nym与x4n

9、yn1是同类项，则m+n=【考点】同类项【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案【解答】解：3x2nym与x4nyn1是同类项，解得：则m+n=+=故答案为：【变式】1.若与是同类项，则的值为（ ）A1 B.2 C3 D.4【答案】C【解析】与是同类项，.故选C4. 整式的运算【例题】（2015湖南常德）计算：【答案】5+3.【分析】按照单项式乘多项式的法则展开，去括号合并即可得到结果.【解析】=2ab+5+3-2ab=5+3.【点评】本题考查的是整式的混合运算能力,是各地中考中常见的计算题型.【变式】（2016山东省济宁市3分）已知x2y=3，那么代数式32x+4y的值

10、是（）A3B0C6D9【考点】代数式求值【分析】将32x+4y变形为32（x2y），然后代入数值进行计算即可【解答】解：x2y=3，32x+4y=32（x2y）=323=3；故选：A5. 化简求值【例题】（2015湖南长沙）先化简，再求值：(x+y)(xy)x(x+y)+2xy，其中x=，y=2.【答案】xy；2.【分析】首先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则将多项式展开，然后进行合并同类项，最后将x和y的值代入化简后的式子进行计算.【解析】原式=xy+2xy=xy，当x=1，y=2时，原式=xy=124=24=2.【点评】熟练整式的运算以及计算准确是解决本题的关键.【变式】（2016青

11、海西宁2分）已知x2+x5=0，则代数式（x1）2x（x3）+（x+2）（x2）的值为2【考点】整式的混合运算化简求值【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x3，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：原式=x22x+1x2+3x+x24=x2+x3，因为x2+x5=0，所以x2+x=5，所以原式=53=2故答案为26. 利用整式的有关知识探究综合问题【例题】（2015贵州铜仁）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= 【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6

12、次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1，从而可得.【解析】（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6【点评】解决问题要认真审题,在找出规律后要加以验证. 【变式】观察以下等式：3212=8，5212=24，7212=48，9212=80，由以上规律可以得出第n个等式为 【解析】通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，第n个等式为：（2n+1）2（2n1）2=8n【答案】（2n+1）2（2n1）2=8n7. 分解因式【例题】(2015广东汕头潮南区毕业综合测试）从左到右的变形，是因式分解的

13、为（ ）A（3-x）（3+x）=9-x2B（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3Ca2-4ab+4b2-1=a（a-4b）+（2b+1）（2b-1）D4x2-25y2=（2x+5y）（2x-5y）【答案】D【解析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可：【解答】（3-x）（3+x）=9-x2不是因式分解，A不正确；（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3不是因式分解，B不正确；a2-4ab+4b2-1=a（a-4b）+（2b+1）（2b-1）不是因式分解，C不正确；4x2-25y2=（2x+5y）（2x-

14、5y）是因式分解，D正确，故选D【点评】要正确理解因式分解的定义.【变式】1.（2016湖北黄石3分）因式分解：x236=（x+6）（x6）【分析】直接用平方差公式分解平方差公式：a2b2=（a+b）（ab）【解答】解：x236=（x+6）（x6）【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键2（2016湖北荆门3分）分解因式：（m+1）（m9）+8m=（m+3）（m3）【考点】因式分解-运用公式法【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可【解答】解：（m+1）（m9）+8m，=m29m+m9+8m，=m29，=（m+3）（m3）故答

15、案为：（m+3）（m3）8. 利用提公因式分解因式【例题】(2015舟山市 )因式分解：= 【答案】a(b1)【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式即可.【解析】原式=a(b1).【点评】要确定好公因式，还要看是否分解到不能再分为止.【变式】（2016吉林3分）分解因式：3x2x=x（3x1）【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案【解答】解：3x2x=x（3x1）故答案为：x（3x1）9. 利用公式法进行因式

16、分解【例题】(2015辽宁葫芦岛）分解因式：= 【答案】【分析】由平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)即可得.【解析】原式=【点评】本题考查了用平方差公式分解因式，要记住公式的特征是解题的关键.【变式】17（2016四川宜宾）分解因式：ab44ab3+4ab2=ab2（b2）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解【解答】解：ab44ab3+4ab2=ab2（b24b+4）=ab2（b2）2故答案为：ab2（b2）210. 灵活应用多种方法分解因式【例题】（2016辽宁丹东3分）分解因式：

17、xy2x=x（y1）（y+1）【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：xy2x，=x（y21），=x（y1）（y+1）故答案为：x（y1）（y+1）【变式】（2015湖北鄂州）分解因式：a3b4ab = 【答案】ab（a+2）（a-2）【解析】先提公因式ab，然后把a2-4利用平方差公式分解即可a3b-4ab =ab（a2-4） =ab（a+2）（a-2）【点评】本题考查的是综合运用知识进行因式分解的能力.【典例解析】1（2016山东省滨州市3分）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x3）则a，b的值分别是（）Aa

18、=2，b=3Ba=2，b=3Ca=2，b=3Da=2，b=3【考点】因式分解的应用【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x3）的值，对比系数可以得到a，b的值【解答】解：（x+1）（x3）=xxx3+1x13=x23x+x3=x22x3x2+ax+b=x22x3a=2，b=3故选：B【点评】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则2.（2016重庆市B卷4分）若m=2，则代数式m22m1的值是（）A9B7C1D9【考点】代数式求值【分析】把m=2代入代数式m22m1，即可得到结论【解答】解：当m=2时，原式=（2）22（2）1=4+41=7，故选B【点评】本题考查了代数

19、式求值，也考查了有理数的计算，正确的进行有理数的计算是解题的关键3（2016四川南充）如果x2+mx+1=（x+n）2，且m0，则n的值是 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值【解答】解：x2+mx+1=（x1）2=（x+n）2，m=2，n=1，m0，m=2，n=1，故答案为：1【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要【中考热点】【例题1】（2016贵州安顺3分）下列计算正确的是（）Aa2a3=a6B2a+3b=5abCa8a2=a6D（a2b）2=a4b【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可

20、做出判断；B、原式不能合并，错误；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断【解答】解：A、a2a3=a5，本选项错误；B、2a+3b不能合并，本选项错误；C、a8a2=a6，本选项正确；D、（a2b）2=a4b2，本选项错误故选C【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键【例题2】. （2016吉林5分）先化简，再求值：（x+2）（x2）+x（4x），其中x=【考点】整式的混合运算化简求值【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式，然后再合并同类项即可对题目中的

21、式子化简，然后将x=代入化简后的式子，即可求得原式的值【解答】解：（x+2）（x2）+x（4x）=x24+4xx2=4x4，当x=时，原式=【例题3】（2016内蒙古包头3分）若2x3y1=0，则54x+6y的值为3【考点】代数式求值【分析】首先利用已知得出2x3y=1，再将原式变形进而求出答案【解答】解：2x3y1=0，2x3y=1，54x+6y=52（2x3y）=521=3故答案为：3【达标检测】一、选择题1已知代数式 的值为7，则的值为 （ ）A B C8 D102下列计算正确的是（ ）Ab3b3=2b3 Bx2+x2=x4 C（a2）3=a6 D（ab3）2=ab63下列因式分解正确的

22、是（ ）AB C D4多项式因式分解的结果是（ ）A B C D 5若单项式与的差是，则（ ）Am9 Bn3 Cm=9且n=3 Dm9且n36若，则的值是（ ）A B C D 7下列多项式相乘，结果为的是（ ）A BC D二、填空题8请写出一个只含字母和，次数为3，系数是负数的单项式 9已知：单项式与的和是单项式，那么 10若2x=3，2y=5，则2x+y= 11计算：= ；12计算： ，= 13因式分解：x2y2xy2= 14分解因式：a3b-2a2b2+ab3= 15已知am=3，an=2，则 ， 16若xy3，xy2，则（5x2）（3xy5y） 三、解答题17.化简：18.（2016浙江

23、省湖州市）当a=3，b=1时，求下列代数式的值（1）（a+b）（ab）；（2）a2+2ab+b219请你说明：当n为自然数时，（n+7）2-（n-5）2能被24整除20. （2016重庆市A卷5分）（a+b）2b（2a+b）21. 计算：（1）（2016重庆市B卷5分）（xy）2（x2y）（x+y） 22.先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）2xy，其中x=-1，答案部分【达标检测答案】一、选择题1已知代数式 的值为7，则的值为 （ ）A B C8 D10【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，所以，故选C2下列计算正确的是（ ）Ab3b3=2b3 Bx2+x2=x4

24、C（a2）3=a6 D（ab3）2=ab6【答案】C【解析】1.幂的乘方与积的乘方；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法A、b3b3=b6，故本选项错误；B、x2+x2=2x2，故本选项错误；C、（a2）3=a6，故本选项正确；D、（ab3）2=a2b6，故本选项错误故选C3下列因式分解正确的是（ ）AB C D【解析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式由此可知，故错误；，故错误；，故错误故选C4多项式因式分解的结果是（ ）A B C D 【解析】对于因式分解的题目，如果有公因式，首先进行提取公因式，然后再利用公式法进行因式分解原式=9（1）=9（x+1）（x1）故选D. 5若单项式与的

25、差是，则（ ）Am9 Bn3 Cm=9且n=3 Dm9且n3【答案】C【解析】根据同类项的减法计算法则可得：mn=2n，n=3，解得：m=9，n=3 6若，则的值是（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，故选D7下列多项式相乘，结果为的是（ ）A BC D【答案】C【解析】A、原式=10a+16；B、原式=6a16；C、原式=+6a16；D、原式=+10a+16故选C.考点：多项式的乘法法则二、填空题(每题3分,共30分)8请写出一个只含字母和，次数为3，系数是负数的单项式 【答案】或【解析】单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，单项式的系数是指单项式中的数字因数9

26、已知：单项式与的和是单项式，那么 【答案】7【解析】因为单项式与的和是单项式，所以单项式与是同类型，所以m=4，n-1=2，所以m=4，n=3，所以710若2x=3，2y=5，则2x+y= 【答案】15.【解析】考查同底数幂的乘法【解答】：2x=3，2y=5，2x+y=2x2y=35=15 11计算：= ；【答案】5【解答】：12计算： ，= 【答案】3x-1 4x【解析】（1）原式=（9）（3x）+3x（3x）=3x1（2）原式=4x13因式分解：x2y2xy2= 【答案】xy（x2y）【解析】多项式中有公因式，所以提取公因式xy，得到x2y2xy2= xy（x2y）14分解因式：a3b-2a2b2+ab3= 【答案】ab（a-b）2【解析】试题解析：a3b-2a2b2+ab3=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2考点：提公因式法与公式法的综合运用15已知am=3，an=2，则 ， 【答案】18；【解析】试题解析：a2m+n=（am）2an=322=18；am-n=aman=32=考点：1同底数幂的除法；2同底数幂的乘法；3幂的乘方与积的乘方16（2016湖北荆州3分）将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为 【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案【解答】