西工大-现代控制理论课件

1、现代控制理论，控制系统的状态空间分析与综合，2，绪论，经典控制理论：数学模型：线性稳态高阶微分方程和传递函数；分析方法：时域法(低阶13阶)根轨迹法频域法适用于现场：单输入单输出(SISO)线性时不变系统。缺失点：只能反映输入和输出之间的外部特征，难以揭示系统的内部结构和运行状态。现代控制理论：数学模型：以差分方程为代表的动态方程分析方法由一阶微分方程组成：精确时域分析方法适用领域：(1)多输入多输出系统(多输入多输出，SISO，SIMO) (2)非线性系统(3)时变系统的优点：(1)它可以描述系统的内部运行状态(2)它便于考虑初始条件(与传递函数相比)(3)它适用于多变量，非线性， 时变等复

2、杂大系统控制(4)便于计算机分析和计算(5)便于优化设计和控制性能：线性系统理论，最优控制等自适应控制，近似分析，第1章，控制系统的状态空间描述，第2章，线性系统的运动分析，第3章，控制系统的李雅普诺夫稳定性分析，第4章，线性系统的可控性和可观性，第5章， 线性系统的非奇异线性变换和系统的正则分解，第6章，线性时不变控制系统的综合分析，4，1.1系统数学描述的两种基本方法1.2状态空间描述中常用的基本概念1.3系统的传递函数矩阵1.4线性时不变系统动态方程的建立，第1章控制系统的状态空间，5。 规范控制系统总框图、1.1系统数学描述的两种基本方法，6。典型的控制系统由受控对象、传感器、执行器和

3、控制器组成。受控过程有几个输入和输出。数学描述方法：输入输出描述(外部描述):高阶微分方程和传递函数矩阵。状态空间描述(内部描述):它是基于系统内部结构的对系统的完整描述。7，输入：系统上的外部动作(激励);控制：人工刺激；输入控制和干扰。输出：系统的受控量或从外部测量的系统信息。如果输出由传感器测量，这也称为观察。状态、状态变量和状态向量：一组能够完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的独立(最小数量)变量称为系统状态；每个变量都被称为状态变量。当一个状态被表示为由各种状态变量组成的向量时，它被称为状态向量。状态空间：以状态向量的每个分量为坐标轴的N维空间称为状态空间。状态轨迹：系统在某一

4、时刻的状态，可视为状态空间中的一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，在状态空间中描述了一条轨迹，称为状态轨迹或状态轨迹。状态方程：描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统状态方程，它不包含输入微积分项。一般来说，状态方程是非线性和时变的，可以表示为输出方程。描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当传感器获得输出时，也称为观测方程。输出方程的一般形式是动态方程：状态方程和输出方程的组合称为动态方程，也称为状态空间表达式。一般形式是：1.2状态空间描述常见的基本概念，8或离散形式，线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差

5、分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统动力学方程的一般形式是线性时不变系统：线性系统的a、b、c、d或g、h、c、d中的所有元素都是常数。也就是说，在离散形式中，如果有9，则分别写入状态矩阵A、控制矩阵B、输出矩阵C和前馈矩阵D3360。众所周知，为了写作方便，连续系统和离散系统通常分别缩写为S(A，B，C，D)和S(G，H，C，D)。线性系统的结构图：线性系统的动力学方程通常用结构图来表示。在图中，I是()恒等式矩阵，S是拉普拉斯算子，Z是单位延迟算子。10.讨论：1 .状态变量的独立性。2.因为状态变量的选择不是唯一的，所以状态方程、输出方程和动态方程也不是唯一的。然而，由自变量

6、描述的系统的维数应该是唯一的，这与状态变量的选择方法无关。3.动态方程对系统的描述是完整的，即系统中的任何变量都可以用状态方程和输出方程来描述。例11试图确定图8-5中(a)和(b)所示电路的独立状态变量。在图中，u和I分别是输入电压和输入电流，y是输出电压，xi是电容电压或电感电流。电容电压和电感电流不是所有电路中的独立变量。对于图8-5(a)，不失一般性，假设电容器的初始电压值都是0、1和1。因此，只有一个变量是独立的，并且只能选择一个状态变量，也就是说，可以通过使用任何一个变量作为状态变量来确定电路的行为。事实上，三个串并联电容可以等效于一个电容。对于图(b)，x1=x2，因此它们是相关

7、的。电路中只有两个变量是独立的，即(x1和x3)或(x2和x3)。一组变量如(x2，x3)可以被指定为状态变量。12，设初始条件为零，对线性时不变系统的动力学方程进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数矩阵定义为，而系统的动力学方程称为，在例1-2中，试求系统的传递函数矩阵。求解已知系统的传递函数矩阵，13，1.4 .1通过物理模型建立动力学方程，1.4建立线性定常系统的动力学方程，RLC电路，试着写出RLC电路方程，如图例1-3所示，选择几组状态变量，建立相应的动力学方程，并讨论所选状态变量之间的关系。物理意义明确的常见变量有：电流、电阻电压、电容电压和电荷、电感电压和磁通量。根据独立性的要

8、求，三组变量，即电阻器的电压和电流、电容器的电压和电荷、电感器的电流和磁通量不能选择作为系统的状态。根据回路电压定律，电路输出y为，1)让状态变量为电感电流和电容电压，即状态方程为，输出方程为，14，其矢量矩阵形式为，缩写为，2)让状态变量为电容电流和电荷，即有，3)让状态变量(物理量没有明确的含义。例1-4由质量、弹簧和阻尼器组成的具有两个输入和三个输出的机械位移系统如图所示，它有两个外部作用：力F和阻尼器气缸速度V，输出是质量的位移、速度和加速度。试着写出系统的动力学方程。它们是质量、弹簧刚度和阻尼系数；x是质量的位移。根据牛顿力学，系统的外力F、惯性力M、阻尼力f(V)和弹簧回复力构成平

9、衡关系。系统的微分方程如下：这是一个二阶系统。如果质量的初始位移和速度已知，系统在输入作用下的解可以唯一确定，因此质量的位移和速度被选为状态变量。准备。由问题可知，系统有三个输出，让、16，所以系统状态方程可以由系统微分方程导出，其向量矩阵形式为，1.4.2从高阶微分方程建立动态方程1)微分方程不包含输入量的导数项：选择N个状态变量为是，得到动态方程，17，这里首先研究情况。为了避免状态方程中的输入导数项，我们可以根据以下规则选择一组状态变量。比方说，例子15和18，它们的展开式是、其中有n个待定常数。从上面公式的第一个方程，我们可以得到有n个输出方程。其余(n)个状态方程如下。式的导数有：1

10、9，它们将由和的所有导数表示。完成后，可以得到上式中所有导数的系数为零，并且可以确定H的值。因此，系统的动力学方程为，其中，20。如果输入只包含二次导数，它可以是1.4。3动态方程由系统传递函数建立，综合除法的应用是，其中它是与输入和输出直接相关的前馈系数。当G(s)的分母度数大于分子度数时，它是严格有理真分数，分子度数项的系数分别为、下面介绍导出几个标准动力学方程的方法：1)以Z为中间变量的级数分解图。将被分解成两个串联的部分，用、和状态变量，21，那么状态方程是，并且输出方程是矢量矩阵形式，其中、和，当它具有上述形状时，阵列被称为伴随矩阵，并且对应的状态方程被称为可控规范形式。当、的形式不

11、变时、22、当、不变、当，如果按下下面的公式选择状态变量，其中t是转置符号，则有、形状特征需要注意。如果动力学方程有这种形式，它被称为可观测的标准形式。自证：可控范式和可观测范式是同一传递函数的不同实现。可控标准和可观测标准的状态变量图如下：(对偶关系)、可控标准状态变量图、可观测标准状态变量图，23。在例1-6中，设二阶系统微分方程为，试着写出可控标准和可观测标准的动态方程，并分别确定状态变量与输入和输出之间的关系。解系统的传递函数是，因此，可控标准动态方程的每个矩阵是，它由G(s)串联分解，并引入中间变量Z、状态变量与输入和输出之间的关系可以通过考虑Y的导数来导出。可观测标准动力学方程中的

12、每个矩阵是，24，状态变量和输入输出的关系是，系统的可控标准形和可观测标准形的状态变量图：(a)可控标准形的实现(b)可观测标准形的实现(2)当只包含单个实极点时，动力学方程可以转化为可控标准形或可观测标准形。如果D(s)可以分解为D(s)=系统的单个实极点，那么传递函数可以展开为部分分数的和、25，并且它是极点处的余数，如果状态变量的逆变换结果被展开，则Y(s)=U(s)、如果状态变量为Y(s)=，则执行逆变换，并使用，展开，其向量矩阵形式为，其状态变量图如图(b)所示。对偶关系对角动态方程的状态变量图如下：27，(a) (b)，对角动态方程状态变量图，3)当传递函数包含多个实极点时，除如果

13、在D(s)=公式中，D(s)可以分解为三重实极点和单实极点，那么传递函数可以推广为下列部分分数之和：28，其状态变量的选取方法与包含单实极点时相同，可以分别得到向量矩阵形式的动力学方程：29及其对应的状态变量。上述两个公式也有对偶关系。Jordan型动态方程的状态变量图，30，1.4 .4由差分方程和脉冲传递函数建立离散动态方程单输入单输出线性时不变离散系统差分方程的一般形式如下：两端取Z变换并排序，G(z)称为脉冲传递函数，利用Z变换关系和，可以得到如下动态方程：缩写为，31，1.4 .5由传递函数矩阵(传递函数矩阵的实现)建立动态方程并给出传递函数。如果一个系统(a，b，c，d)可以被建立

14、，那么这个系统(a，b，c，d)就是G(s)的实现。这仅限于单输入多输出和多输入单输出系统。SIMO系统的实现：单输入多输出系统结构图，1)该系统可视为由q个独立的子系统组成，且传递矩阵为：32，其中d为常数向量；它是一个不可约的严格有理真分式函数(即分母阶大于分子阶)。一般来说，有不同的特点和不同的分母。让最小公分母为：一般形式为，它将被串联分解并引入中间变量Z，这样如果将矩阵A写成伴随矩阵，就可以得到可控标准实现的状态方程：每个子系统的输出方程为：33，每个子系统的输出方程为：正如您所看到的，MISO系统的实现：多输入单输出系统结构图， 系统由p个独立的子系统组成，系统的输出合成为：34，

15、其中、假设D(s)为最小公分母，那么、如果将A矩阵写成伴随矩阵的转置形式，就可以得到可观测标准实现的动力学方程：35，例1-7已知单输入多输出系统的传递函数矩阵是，并且得到其传递矩阵的可控标准实现和对角实现。 在示例1-7中，单输入多输出系统的传递函数矩阵是已知的，并且获得了其传递矩阵的可控标准实现和对角实现。因为系统是单输入多输出的，所以输入矩阵只有一列，输出矩阵有两行。将转化为严格有理真分数，每个元素的最小公分母为，因此，可控标准动力学方程为：36，可确定系统的极点为-1，-2，它们构成对角状态矩阵的元素。由于输入矩阵中只有一列，因此不能选择剩余的极点来形成输入矩阵，而只能选择所有元素都为1的输入矩阵。因此，对角实现的状态方程为：其输出矩阵由对应于极点的残差组成，并且-1和-2处的残差分别为：因此其输出方程为，37。本章作业：83，84，85，87，38。第二章线性系统的运动分析。2.1线性时不变连续系统的自由运动2.2状态转移矩阵的性质2.3线性时