系统的复频域分析实验报告

1、实验六 系统的复频域分析信号的拉普拉斯变换 （6.1）是连续时间傅立叶变换地推广。连续时间傅立叶变换在研究连续时间信号与系统中是很有用的。然而，许多信号不存在傅立叶变换而存在拉普拉斯变换，这使得拉普拉斯变换成为线性时不变系统分析的一种有用方法。对一大类信号来说，它们的拉普拉斯变换可以表示为s的多项式之比，即 这里和分别称作分子和分母多项式。能表示成多项式之比的变换称为有理变换，这里作为满足线性常系数微分方程的LTI系统的系统函数中常常出现。除了一个标量因子外，有理变换是完全由多项式和的根决定的，这些根分别称为零点和极点。由于这些根在LTI系统的研究中起着重要的作用，所以它们以零极点图的方式展现

2、出来的是很方便的。这一章将用拉普拉斯变换在复频域研究LTI系统的一些性质。6.1 MATLAB函数lsim（用于系统函数）目的 用lsim仿真由系统函数表征的因果LTI系统的输出。相关知识 第二章所讨论的是如何用lsim命令仿真一个输出满足一个线性常系数微分方程的因果LTI连续时间系统。因为系统函数唯一地表征了关联系统输入和输出的微分方程。所以由系统函数表征的因果LTI系统的输出也能够用lsim仿真。如果系统函数给出如下形式： （6.2）那么，对输入地系统的系统输出就能用lsim(b,a,x,t)仿真，其中MATLAB向量b和a包含了分子分母s多项式的系数。 例如，考虑系统函数，其系数由向量b

3、=1 1/2和a=1 -2定义。命令lsim(b,a,x,t)将系统对由向量x给出的输入，在向量t给定的时刻上的系统的时间响应应存入向量y中，向量y和输入向量x有相同数量的元素。基本题1定义系数向量a1和b1用以描述由下面系统函数表征的因果LTI系统： a1=1 -2; %分子系数b1=1 2; %分母系数 2定义系数向量a2和b2用以描述由下面系统函数表征的因果LTI系统： a2=0 3; %分子系数b2=1 0.3; %分母系数 3定义系数向量a3和b3用以描述由下面系统函数表征的因果LTI系统： a3=2 0; %分子系数b3=1 0.8; %分母系数 4利用lsim和前面部分定义的向量

4、求这些因果LTI系统对由t=0:0.1:0.5，x=cos(t)给出的输入的输出。代码：a1=1 -2; b1=1 2;a2=0 3; b2=1 0.3; a3=2 0; b3=1 0.8; t=0:0.1:0.5x=cos(t); y1=lsim(a1,b1,x,t); y2=lsim(a2,b2,x,t); y3=lsim(a3,b3,x,t);t,x,y1,y2,y3结果：ans = 0 1.0000 1.0000 0 2.0000 0.1000 0.9950 0.6334 0.2948 1.8366 0.2000 0.9801 0.3261 0.5779 1.6667 0.3000 0

5、.9553 0.0692 0.8468 1.4910 0.4000 0.9211 -0.1444 1.0991 1.3105 0.5000 0.8776 -0.3205 1.3323 1.12626.2作连续时间的零极点图目的 这一节要学习如何在一个零极点图上展现有理系统函数的零极点。相关知识 一个有理系统函数的零极点能用函数roots计算出。例如，对于系统函数为 的LTI系统，其零极点可用执行如下命令而计算出： b=1 -1; a=1 3 2; zs=roots(b)zs = 1 ps=roots(a)ps = -2 -1 一个简单的零极点图可以用在复数s平面内，在每个极点的位置放一个x，在

6、每个零点的位置放一个o来完成，也即 plot(real(zs),imag(zs),o); hold on plot(real(ps),imag(ps),x); grid axis(-3 3 -3 3)基本题1下列每个系统函数都对应于稳定的LTI系统。用roots求每个系统函数的零极点，如上所示的利用plot画出零极点图并作适当标注。(i) (ii) (iii) 代码：a1=1,5;b1=1,2,3;a2=2,5,12;b2=1,2,10;a3=2,5,12;b3=1,4,14,20;zs11=roots(a1);ps11=roots(b1);zs21=roots(a2);ps21=roots(

7、b2);zs31=roots(a3);ps31=roots(b3);subplot(3,1,1)plot(real(zs11),imag(zs11),o);hold on;plot(real(ps11),imag(ps11),x);subplot(3,1,2)plot(real(zs21),imag(zs21),o);hold on;plot(real(ps21),imag(ps21),x);subplot(3,1,3)plot(real(zs31),imag(zs31),o);hold on;plot(real(ps31),imag(ps31),x); 若干不同的信号能有相同的拉普拉斯变换有

8、理表达式，但有不同的收敛域。例如，具有单位冲激响应为的因果和反因果LTI系统就有相同的分子和分母多项式的有理系统函数为 然而，它们有不同的系统函数，因为 它们有不同的收敛域。2对1中每个有理表达式，确定它们的收敛域。a1=1,5;b1=1,2,3;a2=2,5,12;b2=1,2,10;a3=2,5,12;b3=1,4,14,20;zs11=roots(a1);ps11=roots(b1);zs21=roots(a2);ps21=roots(b2);zs31=roots(a3);ps31=roots(b3);abs(zs11)abs(zs21)abs(zs31)结果ans = 5ans = 2

9、.4495 2.4495ans = 2.4495 2.44953对输入和输出满足下面微分方程： 的因果LTI系统，求系统函数的零点和极点，并完成一幅适当标注的零极点图。a=1,-3;b=1,2,5;zs=roots(a);ps=roots(b);plot(real(zs),imag(zs),o);hold on;plot(real(ps),imag(ps),x);grid;axis(-4 4 -3 3);6.3 MATLAB函数freqz目的 学习用函数freqz绘制LTI系统的频率响应。相关知识 一个稳定的LTI系统可以完全用它的频率响应来表征。若是系统输入的CTFT，那么。就给出了系统输出

10、的CTFT。输入和输出满足线性常系数微分方程的LTI系统是一类重要的系统，其部分原因是因为这些系统的频率响应很容易求得。即满足下面微分方程的LTI系统： 其频率响应可直接得出为 函数freqz(b,a)能用于计算并画出这个频率响应，其中向量b和a分别包含系数和。在b和a中系数的排列次序与对lsim输入所要求的次序是完全相同的。 现考虑一阶微分方程，它描述的是一个因果、稳定的LTI系统的输入输出关系。这个系统的频率响应是。如果对freqz(b,a)没有提供宗量，那么将自动画出的幅值和相位。执行如下命令： a=1 3; b=3; freqs(b,a)就可得到下图。可用其频率特性表达式自行确认下图的

11、幅值和相位是正确的。 命令freqz自动选择画出的频率范围。如果想要在特定的值上画出，或者在一个不同于由freqz自动选定的频率范围画出，可以将这些频率作为输入给出。例如，执行如下命令 w=linspace(0,3*pi); H=freqz(b,a,w)就产生在区间内，100个等间隔上的。基本题1利用freqz画出微分方程描述的一个因果、稳定的LTI系统的频率响应的幅值和相位。代码：a=3,4,1;b=1,0,5;freqs(b,a);6.4 系统的时域和频域特性目的 考虑几个由线性常系数微分方程描述的稳定的LTI系统，对这些系统要求计算它们的单位冲激响应和频率响应。尽管用频率响应或单位脉冲响

12、应都足以完全表征一个LTI系统，但是将会明白有时候既从时域，又从频域来考虑系统特性是很有利的。相关知识 因为系统对任意输入的响应由卷积给出,所以一个LTI系统的单位冲激响应完全表征了该系统。如果系统是稳定的，那么该系统的一个等效表示就由它的频率响应给出，这时连续时间傅立叶变换是由关联的。基本题考虑由下面微分方程给出的一类因果LTI系统 其中以保证稳定性。定义系统I是满足上式，的系统，系统II是的系统。1 用解析法导出对应于上式的稳定LTI系统的频率响应，同时确定这个频率响应的幅值和相位。分析：本系统的频率响应特性为H(jw)=a0/(jw+a0)，幅值为a0*a0/(w*w+a0*a0),相位

13、为-actan (-w/a0)。2定义w=linspace(0,10)，利用freqz计算系统I和系统II在w频率上的频率响应，在单一的图上画出这两个频率响应的幅值。这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致吗？代码：w=linspace(0,10);a=3;b=1 3;a1=1/3;b1=1 1/3;subplot(211)H=freqz(a,b,w)plot(abs(H);subplot(212)H1=freqz(a1,b1,w)plot(abs(H1); 分析：由图形与表达式可知，这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致3用函数impulse计算系统I和系统II在向量t=linspace(0,5)所定义的时间样本点上的单位冲激响应。代码：t=linspace(0,5)a=1,3;b=3;a1=1 1/3;b1=1/3;subplot(211),impulse