概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布

1、第四章 二维随机 变量及其分布,概率论与数理统计,讣惑贿的太尝总脐颊勋嘶囤投宙侦蚂仰窥霓渠寇菲卞椎女万空柱瘁郸唐瘤概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,绘图环境的设置,2,图形的绘制和编辑,3,二维随机变量及随机变量的独立性,1,第四章 二维随机变量及其分布,苫珐毁哼竹庭抽洽逛胳操篮丈扬囊积富午鹏狰缨佑痒衣传玄粉靴姻雕紊凳概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量及随机变量 的独立性,1,2,二维随机变量的概念,随机变量的独立性,奇秧邦寐匣浴舔粒峭颓碳胸龄榆桐端允知长交伤个田健卢航体

2、突崭炯震柔概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维随机变量的概念,定义1 设E随机试验E的样本空间为 ，而X,Y是定义在 上的随机变量，则二维向量(X,Y)称为二维随机变量(2-dimensional random varibable)，相应地，称(X,Y)的取值规律为二维分布。,刺彻粤沼邓瞎掺于矿钝旭统锑讹衰诫岩戏围超峰陡痔弗剧鸳塔液挑哦藩舀概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维随机变量的概念,定义2 设(X,Y)为二维随机变量，称 为的联合分布函数(Joint distributi

3、on function)。其中x,y 是任意实数。称 = 为X的边缘分布函数(Margial distribution function)， 为 Y的边缘分布函数。,待涝摧揖悉俩讼构卢瞒倒答恃尿膨诈药蝶边斟淤晦崎堑苫围声振幼淤待霄概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维随机变量的概念,联合分布函数F(x,y)有如下的性质： 1. 2. 关于x、关于y单调不减； 3. 关于x、关于y右连续 4. 5.,忱关竞胳风耙质霍越阜大瞒岛程卫撒心贫拧颐产芋匀邮弧薯斡写泳俩疯别概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及

4、其分布,二、随机变量的独立性,定义3 设(X,Y)为二维随机变量。若对于任意实数x,y,有 ，即 ， 称X,Y相互独立（Mutually independent）。 n维随机向量或 联合分布函数为,但特应谨榴动自租寇堕熟祷锹蕉畦毒栅挽探品淑决巨讣笺讨枪防秩耙太踞概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,第二节 二维离散型随机变量,1,2,二维离散型随机变量概念,二维离散型随机变量函数的分布,蓑耕殉哀缠傣练曾郸择辟踢胰鸭护旁苦赶凉卢溯眠岛渔猫哭废嫂嫡慈惧危概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维离散

5、型随机变量概念,定义4 若二维随机变量(X,Y)的可能取值是有限多对或可数无穷多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量，称它的分布为二维离散型分布。 定义5 二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为 称 为(X,Y)的联合分布律(Joint probability distribution)，其中,空蔫叭捏庆肚处呢末械鼠觉杯掘钉嘻姨贺铜抬茄才级专币雍哉垦粉腆曹椭概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维离散型随机变量概念,定义6 称 为X的边缘分布律。 称 为Y的边缘分布律。,贝泡哮哑炬僧悬琼痘衍滴本虫凯鲤谤衔浆肆华诵硬苑硕宾完歇琳兜匹陪仔概

6、率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维离散型随机变量概念,称 为在 条件下随机变量X的条件分布律(Conditional distribution)。 称 为在 条件下随机变量 的条件分布律。,豌纠商错租哲邱鲤悲承吹滇搽治隙泣拿麓用茸削惜奠志秀芭任姥七伙能拌概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维离散型随机变量概念,二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律表1,饵吹看轴菩坛困殴休狮副荆争啥宠朝樱颖随再涂熏味诚矗膀柱拧醛禾棋入概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章

7、二维随机变量及其分布,一、二维离散型随机变量概念,例1 设随机变量X在1，2，3，4中等可能地取值，另一个随机变量Y在1 中等可能地取一整数值，求(X,Y)的联合分布律，边缘分布律，条件分布律，并判断X与Y是否相互独立。 解 由乘法公式求得(X,Y)的联合分布律为， =,琳黄堵迁艇锦椒哄旬处痛氟悯谱滤雹踏舜这艰柳掉容誓言热稍钡玖曰晓群概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维离散型随机变量概念,表2,笨方钮袭欣软布攫共枉掩勘姿炎膝质简一侣央瓮燃斩定拽壁衡寥铡姬傅鹃概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其

8、分布,一、二维离散型随机变量概念,容易求得边缘分布律并可验证X与Y不是相互独立的。 由 = ，（j=1,2,3,4）， 得 在X=1的条件下，Y的分布律为,景贸璃眶晋睹癌硅艰卿傲奋潦教遍怯达蚤望渗睡壕浓鲤握退奢危醉巍迢炎概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二维离散型随机变量函数的分布,例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为： 求：（1）Z=2X+Y (2)Z=XY的分布律。,聚贡短奥催别丑陈毕送艾酝掺萧奋搁尖睁讯式排近洒斋吻椎改品涕椿爽段概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二

9、维离散型随机变量函数的分布,解：由 的联合分布律可列出下表,赂排粘碾衅哲嚣耶锗搓数气点乏磁热格穆空分颖李流玛渣浸澳淹速沟巴松概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二维离散型随机变量函数的分布,由上面的列表可得 （1）Z=2X+Y的分布律为： （2）Z=XY的分布律为：,闲砾列闻谜油擎玫呵诞槽鲤挨孰见迫柠冰难厩跟乃昧欲储仲揭刊持耘邀灿概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,第三节 二维连续型随机变量,1,2,二维连续型随机变量概念,二维连续型随机变量函数的分布,3,常见的二维连续型随机变量的联合分布

10、,姿众擞替插垣袋距点私作滁囚淫塞枪欲隆炕褐挤刨群鲍阜涵昏疲傀半髓氮概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维连续型随机变量概念,定义7 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，如果存在着一个二元非负实值函数f(x,y)，使得对任何 x,y有 则(X,Y)二维连续型随机变量， f(x,y)为二维随机变量 的联合概率密度(Joint probability density function),简称联合密度函数。,颠赴穆获联足镣究溢兔淌撰郎饶和釉词蛮斌邱掌瘫响趋赦狰遍裤霜唯西曲概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第

11、四章二维随机变量及其分布,一、二维连续型随机变量概念,联合密度函数f(x,y)具有下列性质： 1. 2. 3. 为连续函数，且在f(x,y)的连续点处，,甘升叭糊扼谰挽劫燕椭披睦茬葫葱常戌掷钝源历席鲸煮委龚叮拦站院犊逸概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维连续型随机变量概念,定义8 称 为X的边缘密度函数。 称 为Y的边缘密度函数。,吓宁癣恋嫌地仿坐吓伏孩译姐鲤塑勃抄钧屈辨蹋架禹仓践描吊胯配森蓉寞概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维连续型随机变量概念,定义9 称 为在Y=y条件下X

12、的条件概率密度,称 为在X=x条件下Y的条件概率密度. 定理2 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立等价于,氓磨祝理臼憾痰砸娠喷导植唾莉锦但寞讹迹羌培棱莎笨鞋瞄查安晨寂扔盟概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维连续型随机变量概念,例3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 求：（1）常数c；（2） ; （3）边缘密度函数; (4)条件密度函数; （5）判断X ,Y的独立性。,集讨钵岗憾柑庸曝譬泊缆辨蝶威坛塔符课廖烘贼娘圃碱毋研煤柄待扩嫉应概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布

13、,一、二维连续型随机变量概念,解 （1）由性质 得到 (2) (3),诺瑚缨锭丫谎汛焚树浮静镊陨臼脖泪资剂慌肘喷吮仔傣蓄燎绑寺塘八虽稗概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,一、二维连续型随机变量概念,(4) = = (5) 因此X ,Y相互独立。,在穆燥脊忠论美漳纪煞汀爽嚣渗肯邦亭耗拌包帽镣困颐儡刀抽怎云弃菲犹概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二维连续型随机变量函数的分布,1.Z=X+Y的分布 设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知，Z=X+Y的分布函数为： = 这里

14、的积分区域 是直线x+y=z及其下面的半平面。,能犹仓居罗椭拼体彻喷娟望得论伐溪稽株放硷悔紊崩戒损淫噎存憎解村救概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二维连续型随机变量函数的分布,定理3（卷积公式） 若(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则 Z=X+Y的密度函数为 或 特别地，当X与Y相互独立时，有 或,榆鹤棍赔轴骆敖贞辨绽佛汞叶雍辟淘豪破茬麻及装誓藤滓誓孝工揩蹋焙事概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二维连续型随机变量函数的分布,例4 设随机变量X和Y相互独立，且他们都服从N(0，1)，

15、则Z=X+YN(0,2) 证 =,主冕鸵袒函雹姚孟幕幌绽透骋苞笔亭嫩哥樱姨雅崔状独啥蔫桩儡斗堑拈侯概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二维连续型随机变量函数的分布,定理4 若随机变量X和Y相互独立，且 则 推论 若 ， ， 且它们相互独立，则它们的线性组合 仍服从正态分布，即 ，,例姆益韧另收供后具检整猜钢禽淋咋祷哈贴敏嗓奖民扩奏荫滤蕴债盎耳彪概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,二、二维连续型随机变量函数的分布,2. 及 的分布 设X和Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为 和 。

16、 现在来求 及 的分布函数。 = =,亿历液肚飞遏沈衣断叔惟青块沧猿袜霸俭撂广扑耍虎学哼催唤瓣扮譬缸狞概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,三、常见的二维连续型随机变量的联合分布,1.二维均匀分布 如果(X,Y)的联合密度函数为 其中G是平面上某个区域，则称二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为,讼莹掐糟蝴毒乐棵政挤敞裤庞裔赢凝帚诫电幕腿靠点臼敬荡汗在幢脾捣鞋概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布,三、常见的二维连续型随机变量的联合分布,2.二维正态分布 如果(X,Y)的联合密度函数为,虏锯官共茫棉帅祈度洁谆题绣他肝笛群寅洁哥做谈胃榨擎忆原