积分变换第二章课件2

1、2.2,Laplace 变换的性质,这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质. 为了叙述方便, 假定在这些性质中, 凡是需要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分定理中的条件. 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.,说明,注意和Fourier变换比较区分.,本节内容,七、小结,一、线性性质,二、微分性质,六、 初值定理与终值定理,三、积分性质,四、位移性质,五、 延迟定理,这个性质表明了函数线性组合的Laplace变换等于各个函数Laplace变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出.,一、线性性质,设,a , b 是常数,则,二、微分性质,证明: 由Laplace变换

2、的定义,并利用分部积分可得,推论:,二、微分性质,此性质可以使我们有可能将 的微分方程 转化为 的代数方程。,二、微分性质,利用微分性质求函数 f(t)=cos kt 的Laplace变换.,移项化简得,由于,则,即,利用微分性质求函数f (t)= tm的Laplace变换,(其中m是正整数).,由于,而,所以,即,而,象函数的微分性质,若,则,推论:,象函数的微分性质:,求函数 f (t)=tsin kt 的Laplace变换.,因为,由象函数的微分性质,有,同理,三、积分性质,根据微分性质:,推论:,三、积分性质,由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分性质: 若L f (t)=F

3、(s), 则,三、积分性质,求函数,的Laplace变换.,，由微分性质得,其中F (s)=L f (t).此公式常用来计算某些积分.,例如,因为,所以,四、位移性质,证明: 根据Laplace变换式, 有,L eat f (t)=F (s-a) (Re (s-a)c),若L f (t)=F (s), 则有,上式右边只是在F ( s)中将s换为s-a, 得 L e at f (t)=F (s-a)(Re (s-a)c),性质表明了一个象原函数乘以指数函数eat的Laplace变换等于其象函数做位移a.,四、位移性质,求L ea t t m.,利用位移性质，,求L e at sin k t.,利

4、用位移性质，,证明:,五、延迟性质,若L f (t)= F( s), 又t0时f (t)=0, 则对于任一非负数t0, 有,函数 与f (t)相比, f (t)从t=0开始有非零数值. 而 是从 开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t. 从它的图像讲, 是由 沿t轴向右平移 而得, 其Laplace变换也多一个因子 .,五、延迟性质,O,t,t,f (t),f (t -t),五、延迟性质,求函数,的Laplace变换.,t,O,则,求如图所示的阶梯函数 f (t) 的Laplace变换.,利用单位阶跃函数u (t)可将f (t)表示为,3A,2A,A,O,t,4A,f (t),利用Laplac

5、e变换的线性性质及延迟性质, 可得,当 时, 有 ,所以, 上式右端括号中为一公比的模小于1的等比级数, 从而,一般地, 若L f (t)=F (s), 则对于任何 , 有,求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换.,由前图可知,所以,求如下图所示的半正弦波 的Laplace变换.,由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的Laplace变换为,从而,这是一个求周期函数Laplace变换的简单方法, 即设 是周期为 的周期函数, 如果,且 则,六、初值定理与终值定理,1.初值定理,证明: 根据Laplace变换的微分性质,存在,也存在.,六、初值定理与终值定理,若 且 的奇点全在s平面的左半

6、部, 则,2. 终值定理,证明: 根据定理给出的条件和微分性质,两边取s0的极限, 得,六、初值定理与终值定理,六、初值定理与终值定理,这个性质表明 在t时的数值(稳定值), 可以通过 的Laplace变换乘以s取s0时的极限值而得到, 它建立了函数 在无限远的值与函数 在原点的值之间的关系. 在Laplace变换的应用中, 往往先得到 再去求出 但经常并不关心函数 的表达式, 而是需要知道 在t和t0时的性态, 这两个性质给了我们方便, 能使我们直接由 来求出 的两个特殊值,六、初值定理与终值定理,若,根据初值定理和终值定理,得,七、小结,线性性质：,微分性质：,积分性质：,若L f (t)=F (s)