2013北京航空航天大学线性代数课件-第一章--行列式的定义.ppt

1、,欢迎选修 线性代数,朱立永,北京航空航天大学 数学与系统科学学院,这一讲的主要内容,这门课程的主要内容 这门课程的特点及考核方式 行列式的定义,线性代数课程简介,英文名字：Linear Algebra 线性代数是讨论有限维空间中线性关系经典理论的课程； 它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科大学本科各专业的重要基础理论课； 本课程不仅是学生必须掌握的数学基础，同时也在现代科学技术的各个领域有着十分广泛的应用。,本课程的主要内容,行列式（第1章) 矩阵（第2章) 向量的线性相关性（第3章) 线性方程组（第4章) 矩阵的相似标准型（第5章) 二次型（第6章) 线性空间（第7章-自学内容） 线性变换

2、（第8章自学内容） 线性代数的一些应用（第9章-自学内容）,主要教材 线性代数，高宗升 周梦 李红裔编，北京航空航天大 学出版社，2009。 其它参考书 （1）线性代数，周德润等编，北京航空航天大学出版社，1996 （2）线性代数，同济大学数学教研室编，高等教育出版社 （3）线性代数，谢邦杰编，人民教育出版社，1978 （4）高等代数，北京大学数学系编，北京大学出版社，2003 （5）线性代数复习必备，自印。,参考资料,本门课程的特点,具有较强的抽象性和逻辑性 各部分内容有紧密的联系,课程安排及考核方式,总学时：48=36课内学时 + 12学时习题课 课内教师讲授，课外学生自学与作习题 考核方

3、式及成绩评定 1. 期末闭卷笔试，占总成绩的90 2平时作业占10,其它要注意的几点,课前一定要做好预习 课后要认真完成作业 有问题要及时问（baidu/google），（答疑时间和地点?) 办公室：学院路校区图书馆西配楼519室， Email：,第一章 行列式,行列式是由解线性方程组引进的，是研究线性代数的重要工具，它在自然科学的许多领域有着广泛的应用。,本章的主要内容,1.1 n阶行列式,1.1.1 排列与逆序,1.1.2 二阶与三阶行列式,1.1.3 n阶行列式的定义,1.1.1 排列与逆序,定义1.1.1 由自然数1，2，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为j1,j2,jn,1，

4、2，n可组成n！个不同的n阶排列 按数字的自然顺序由小到大的排列称为标准排列或自然排列.,定义1.1.2 在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用 (j1,j2,jn)表示排列j1,j2,jn的逆序数. 逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列.,对一个n阶排列 j1,j2,jn ，如何求它的逆序数呢？,设这个排列中排在j后面比j小的数的个数为 (j) ，则排列j1,j2,jn的逆序数为, ( j1,j2,jn ) = (j1) + (j2) + + (jn-1),例1.1.1 求排列32

5、514与n(n-1) 321的逆序数.,定义1.1.3 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换.,定理1.1.1一次对换改变排列奇偶性.,推论 任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列,并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同.,1.1.2 二阶与三阶行列式,设二元一次线性方程组,（1.1.6）,用消元法去解此方程组，得,（1.1.7）,为了便于记忆，引入记号,(1.1.8),式(1.1.8) 称为二阶行列式.D中横写的称为行，竖写的称为列. 数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i表示这个元素所在的行，称为行指标，第二个下标

6、j表示这个元素所在的列，称为列指标.,行列式中从左上角到右下角的连线称为主对角线，从右上角到左下角的连线称为副对角线. 由(1.1.8)可知，二阶行列式的值是主对角线上元素a11,a22的乘积减去副对角线上元素a12,a21的乘积.按照这个规则，我们有,二元线性方程组（1.1.6）的解可用二阶行列式表示成,同理，考虑三元一次线性方程组,(1.1.9),应用消元法先后消去x2和x3，得到,把x1的系数记为式(1.1.10）,类似: 三阶行列式 对角线法则:实线上元素之积为正,虚线上元素之积为负.,由于D中共有三行三列,我们把它称为三阶行列式.因为它由方程组(1.1.9)中变元的系数组成,又称其为

7、方程组(1.1.9)的系数行列式.如果 D0,容易算出方程组(1.1.9)有唯一解:,其中Dj(j=1,2,3)分别是在D中把第j列的元素换成方程组(1.1.9)右端的常数项b1,b2,b3得到.,由上面的讨论,自然会想到如何把二阶、三阶行列式推广到一般的 n阶行列式,并用它来表达由 n个未知量 n个方程所组成的线性方程组的解.通过观察二阶、三阶行列式,发现它们有以下特点：,(1) 二阶、三阶行列式的每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积,其代数和即为该行列式之值. 二阶行列式有2!项，三阶行列式有3!项.,(2) 代数和中每一项前的符号有以下规律：行指标取成标准排列时，由列指标组成排列的奇偶

8、性决定每项前的正负号,偶者为正,奇者为负.,综上,我们有,1.1.3 n阶行列式的定义,定义1.1.4 由n2个元素排成n行n列,以,记之，称其为 n阶行列式,它代表一个数值.此数值是取自上式中不同行不同列的n个元素,乘积的代数和，其中j1,j2,jn是数字1,2,n的 某一个排列，故共有n!项。,每项前的符号按下列规定：当 j1,j2,jn为偶排列时取正号，当 j1,j2,jn为奇排列时取负号，即,(1.1.11),表示对 1,2,n这n个数组成的所有排列 j1,j2,jn取和.,其中,当n=1时, 即为一阶行列式,我们规定 |a|=a; n=2,3时,即为前面定义的二阶、三阶行列式.,为了书写方便,n阶行列式也可记为 Dn=|aij|n.,例1.1.2 计算n阶下三角形行列式,特别地,对于对角形行列式,有,例1.1.3 计算n阶行列式,在行列式的定义中,我们规定n个元素相乘时,元素的行指标按标准排列,由列指标排列的逆序数决定各项前的正负号. 那么能否在定义中 n个元素的相乘项里把元素的列指标排列按标准