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文档简介

1、2 曲面的第一基本形式,2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 2.2 曲面上两方向的交角 2.3 正交曲线族和正交轨线 2.4 曲面域的面积 2.5 等距交换 2.6 保角变换,2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长,给出曲面S ： 上的曲线C ： 或 对于曲线C 有 或者,若以s表示曲面上曲线的弧长,考虑C的弧长有,则有 令 则有,设曲线 上两点 ，则弧长为 （*）是关于微分 的一个二次形式，称 为曲面 的第一基本形式，用 表示： 它的系数 称为曲面 的第一类基本量。,对于曲面的特殊参数表示 ，有 则 由（2.19）有 曲面的第一基本形式为,由第一类基本量定义知 又根据拉格朗日

2、恒等式可知第一基本形式的判别 式 因此第一基本量 满足不等式 第一基本形式是正定的。也可有 直接得出。,注：曲面的第一基本形式 是不变量（参数变换下不变）,例1 求球面 的第一基本形式。,.,解：,例 2 求正螺面的第一基本形式。,解：,2.2曲面上两方向的交角,前面提过曲面 上一点 的切方向 称为曲面上的方向，表示为 给出一方向 就等于给出一对值 ，由于 方向和 的长度无关，所以给出 就能确 定曲面上的一方向。以后用 或 表示曲面上的一方向。,给出曲面上两个方向 和 ，我们 把向量 和 间的交角称为方向 和 间的角。,求方向 和 间的角 。由于 所以 由于,由此得 的表达式 由上式推出曲面上两个方向 和 垂直的 充要条件是,特别地有坐标曲线 和 的交角 有表达式,注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0 。,例3 证明旋转面 的坐标网是正交的。,解：,2.3正交曲线族和正交轨线,给出两族曲线 如果他们正交，可以得出 即 或,另外如果给出一族曲线 则另一族

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