自动控制原理胡寿松第3章

1、,第三章 线性系统的时域分析法,时域分析 控制系统在典型输入信号作用下，根据输出量的时域表达式和波形，分析系统的稳定性、动态性能(快速性与平稳性)和稳态性能（准确性）。,分析性能,3.1 系统时间响应的性能指标,研究系统对典型输入信号响应的原因： 1，系统输出响应除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和输入信号的形式有关； 2，系统性能的衡量标准，可以由不同系统对同一输入的响应建立。 选取典型输入信号的原则： 1，模拟实际输入信号 2，便于理论分析,典型输入信号,1、阶跃函数,A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数,A 为常量,常用来模拟开关的导通和系统的启动等,当A=1时,称为单位斜坡函数,其拉氏

2、变换为：,2、斜坡函数Ramp,如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的，它等于单位阶跃函数对时间的积分。,当A=1时，称为单位抛物线函数，其拉氏变换为：,3、抛物线函数,与阶跃函数和斜坡函数配合，可以描述运动物体的位置。,4、脉冲函数,令0,则称为单位脉冲函数(单位冲激函数),记为（t） ,其拉氏变换为：,常用来模拟瞬时干扰,5、正弦函数,其拉氏变换为：,0,当输入信号突然发生跳变时，这时输出量还处在原有的平衡状态，这样就出现了偏差，这个偏差控制输出量达到新的平衡，这就是一个调节过程。,t,0,1,r(t),t,0,1,c(t),1,2,理想的 调节过程,实际,

3、二、系统响应过程,整个调节过程分为两个阶段:,动态过程,稳态过程,动态过程 输出量激烈变化，用动态性能描述,稳态过程 输出量稳定在新的平衡状态，用稳态性能描述,描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间的变化状况的指标。,上升时间,峰值时间,调节时间,误差带,超调量% = %,B,A,注意tr的另一种定义。,三、动态性能指标,动态性能指标,1、延迟时间td 响应曲线第一次达到终值一半所需的时间； 2、上升时间tr 定义一：阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需时间 定义二：阶跃响应曲线从零开始第一次上升到稳态值所需时间 3、峰值时间tp 阶跃响应曲线（超过稳态值）到达第一个峰值所

4、需时间,动态性能指标,4、超调量 5、过渡过程时间ts 阶跃响应曲线进入并保持在允许误差范围所对应的时间称为过渡过程时间或称调整时间 6、振荡次数N 在0tts内，阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半成为振荡次数。,稳态性能指标,稳态误差： 时间趋于无穷大时，系统输出量的实际值与期望值之差,cr(t)为输出量的期望值,小结,延迟时间 上升时间 峰值时间 最大超调（量） 过渡过程时间 振荡次数,评价响应速度 快速性,评价阻尼程度 平稳性,动态性能指标：,稳态性能指标：稳态误差,准确性,1、上升时间和峰值时间反映了系统的响应速度；超调量反映了系统的阻尼程度；调节时间同时反映系统响应速度和阻尼程度的综

5、合性指标。 2、除一、二阶系统外，精确确定这些指标的解析式相当困难。,小结,控制系统时域分析,3.2 一阶系统的时域分析,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。 一阶系统的数学模型为,常见的温度控制系统和液位控制系统中的控制对象都属于一阶系统,+,r(t),+,R,C,c(t),先求出输出c(t)，分析输出曲线，引入性能指标（动态、稳态） * 分析固有特性时，可假设初始条件为零时来分析,1 单位阶跃响应,稳态分量,瞬态分量,由系统输出上升到稳态输出的0.632倍所需时间，可以确定系统参数T,输出起点的斜率为1/T,动态性能,稳态性能,令期望输出等于输入量，则误差为：,稳态误差为：,2 一阶

6、系统的单位脉冲响应,R(s)1,T越小，惯性越小，响应越快,单位脉冲响应,在零初始条件下，当系统的输入信号是单位冲激函数（t）时，系统的输出信号称为系统的单位脉冲响应（单位冲激响应）。 单位冲激响应就是系统传递函数G(S)的反拉氏变换g(t) 单位冲激响应也是系统的数学模型,3 一阶系统的单位斜坡响应,是稳态分量，也是斜坡函数,与输入信号斜率相同，时间滞后一个时间常数T。,是瞬态分量，按指数规律衰减到零，衰减速度由极点决定,3 一阶系统的单位斜坡响应,误差和稳态误差：,稳态误差为一个时间常量T,部分分式展开法中的各项系数,4 一阶系统的单位加速度响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无

7、限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,一阶系统对典型输入信号的响应,系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数 系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,3.3 二阶系统的时域分析,二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。 1. 二阶系统的数学模型,无阻尼自振角频率（自然频率）,阻尼比,下图两个单位反馈闭环系统均为二阶系统的典型形式,二阶系统的闭环极点分布,特征根：,无阻尼,过阻尼,欠阻尼,临界阻尼,发散,发散,分析当 取不同值时的响应及性能指标,针对不同的典型输入信号 求出二阶系统的时域响应C(t)。,二

8、阶系统的单位阶跃响应,(1)欠阻尼( )二阶系统的单位阶跃响应,称为有阻尼自振角频率,稳态分量为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为,包络线,-决定收敛速度,(2)过阻尼( ),临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,当 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程， 响应过程单调上升，与过阻尼一样，无超调，但它是这一类响应中最快的,(3)临界阻尼( ),（4） =0（零阻尼）,系统处于无阻尼振荡状态，暂态响应为恒定振幅的周期函数，频率为n(也称为无阻尼自然振荡角频率)。 同样的，如果系统以n 做等幅震荡，则

9、可以断定，系统传递函数必有共轭虚根 j n ，对高阶系统也成立，此时系统处于临界稳定状态。,不稳定,典型二阶系统的单位阶跃响应,取不同值（ 0）时二阶系统的位阶跃响应的曲线,P. 80 图3-10,二阶欠阻尼单位阶跃响应性能指标,二阶欠阻尼系统的极点位置与响应,该表达式为td的隐函数表达式，用曲线拟合法求解。,a.延迟时间,将阻尼比取值区间设为(0,2),在该区间内对阻尼比取值，并逐点计算y，记录各点数据，同时得曲线A。,用二次曲线B（抛物线）在阻尼比区间为（0, 1.6）范围内逼近曲线A。,用一次曲线C（直线）在阻尼比区间为（0, 1）范围内逼近曲线A。,由Wolfram Mathemati

10、ca解出二次曲线和一次曲线的表达式分别为：,以课本上的结论为准：,c.峰值时间,b.上升时间,d.最大超调量,e.调整时间,法一：,法二：包罗曲线法,f.,振荡次数,n不变，提高，可以降低超调量，但同时会降低响应速度。 不变，提高n，可以提高响应速度。,*响应速度和平稳程度是一对矛盾，在允许出现超调的控制系统中，通常取0.40.8。,时的响应曲线。,0.2,0.3,0.1,0.4,0.8,一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量 减小。,分别为1、2、3、4时的响应曲线。,一定时，系统的超调量不变。随 的增大，响应速度加快。,二阶系统欠阻尼阶跃响应稳态性能指标,设期望输出为输入量，则误差

11、为：,系统极点具有负实部，则稳态误差为：,典型的二阶系统可以准确跟踪阶跃输入信号,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,磁盘驱动读取系统采用永磁直流电机驱动读取手臂转动的角度。其转动位置的偏差信号通过磁头读取预先录制在磁盘上的索引信号产生。假定磁头足够精确，可以取反馈通道传递函数H(s)=1，驱动电机的放大器增益为Ka 。,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,磁头由直流电机驱动，忽略电枢转动时的反电动势，其输入电压与电枢电流的简化关系为：,转矩与电流的关系为：,忽略负载的变化，转矩与转速的关系为：,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,转角与转矩的关系为：,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,系统参数有如下典型值

12、：,系统方框图为：,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,电枢回路的时间常数远小于转矩与负载之间的时间常数，因此可以忽略掉。,电枢回路的时间常数,转矩与负载之间的时间常数,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,系统传递函数为：,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,Ka可调整控制器对被控对象控制作用的强度，取Ka =50：,可得到系统参数：,系统性能指标：,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,要求磁头位置超调量不能超过20%，则Ka如何取值？,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,首先分析Ka与动态性能指标的关系,得到Ka与n和之间的关系,Ka越大， n越大，越小。系统响应速度越快，平稳程度越差。由与超调量之间的关系式,

13、两类问题,性能指标,系统模型,已知性能指标，求系统参数 已知系统参数，求性能指标,例1.,求：,思考1,磁头驱动系统中，提高Ka可以提高响应速度，但同时也会增大超调量。如果要加快响应速度又不致使超调量过大，可采取什么方法？,近似简化,思考1,系统传递函数,减小转动惯量Jm，既可以提高响应速度，也可以增大阻尼比。,思考2,三个典型二阶系统的单位阶跃输出如图，试画出其极点在复平面上的相对位置。,1,2,3,典型二阶系统欠阻尼阶跃响应小结,延迟时间,上升时间,峰值时间,反应响应的快速性，阻尼比越小，无阻尼自振角频率越大，td，tr和tp越小，响应速度越快。,典型二阶系统欠阻尼阶跃响应小结,调整时间,

14、综合反映响应的快速性和平稳性。阻尼比越大，调整时间越短，平稳性越好；无阻尼自振角频率越大，调整时间越短，响应速度越快。,超调量,振荡次数,反映响应平稳性，阻尼比越大，超调量越小，振荡次数越少，平稳性越好。,稳态误差为零,典型二阶系统欠阻尼阶跃响应小结,二阶系统的另一种典型形式,K越大，响应越快，超调量越大； T越大，响应越慢，超调量越大。,3. 二阶系统的单位脉冲响应,利用线性定常系统的齐次性，将二阶系统单位阶跃响应对时间求导数，即可得到二阶系统的单位脉冲响应。 或对系统闭环传递函数直接进行拉氏反变换，得不同值时二阶系统的单位脉冲响应,二阶系统的单位脉冲响应,按取值，分别做反拉普拉斯变换得到,

15、结论： 如果脉冲响应g(t)不改变符号，则系统的=1，即为临界阻尼或过阻尼； 峰值时间tp可应用求极值的方法得到 。,二阶系统的单位斜坡响应,欠阻尼状态下单位斜坡响应,典型的二阶系统不能准确跟踪斜坡输入信号，n越大，越小，稳态误差越小。,不同取值下，二阶系统的单位斜坡响应,二阶系统单位斜坡响应的稳态误差,稳态误差,K为开环传递函数的增益，称为开环增益。,开环增益越大，响应速度越快，斜坡响应的稳态误差越小，但超调量会增加。准确性与平稳性相矛盾。,典型二阶系统另一种形式：,二阶系统在欠阻尼状态下对典型输入信号的响应,二阶系统性能的改善-串联比例微分环节,加入串联比例微分环节后，对系统性能有什么影响

16、？,比例微分环节,比例,微分,m(t)为正，系统加速向期望值靠近。,c(t)接近期望值，m(t)为负，系统减速，防止过大超调。,二阶系统性能的改善-串联比例微分环节,阻尼比增大，无阻尼自振角频率不变，系统增加一个闭环零点-z。,二阶系统性能的改善-串联比例微分环节,开环传递函数：,开环增益不变,闭环传递函数：,二阶系统性能的改善-串联比例微分环节,二阶系统性能的改善-串联比例微分环节,由c(t)表达式，可采用与典型二阶系统相似的方法求取动态性能指标。,增大阻尼比，减小超调量，缩短调节时间；,串联比例微分环节的作用小结,该环节会放大高频噪声，在系统输入噪声较强的场合不适用。该环节的输入信号为偏差

17、信号，能量较弱，需要较大的放大作用，为了不放大噪声，需要选用高质量的放大器。,不改变系统开环增益，引入该环节后，可以适度的提高原系统的开环增益，减小稳态误差，而不至于提高超调量；,加入速度反馈后，对系统性能指标有何影响？,二阶系统性能的改善-速度反馈控制,速度反馈环节,速度反馈环节的输出量为输入量微分（速度）的Kt倍,二阶系统性能的改善-速度反馈控制,闭环传递函数：,阻尼比增大，无阻尼自振角频率不变，系统超调量减小。,二阶系统性能的改善-速度反馈控制,将系统框图变为典型形式，有开环传递函数,开环增益,开环增益变小，系统对斜坡输入的稳态误差增大。,串联比例微分环节的作用小结,增大阻尼比，减小超调

18、量；,减小开环增益，增大斜坡输入响应的稳态误差。设计中可适当增大原系统的开环增益。但原系统开环增益增加过多，会提高系统的无阻尼自振角频率（自然频率），若系统存在高频噪声，可能引起系统共振；,速度反馈的输入信号为系统输出信号，能量强，对反馈元件没有过高的质量要求。,Matlab在时域分析中的应用简介,线性系统在Matlab中的表示方法 Matlab中的时域分析函数,线性系统在Matlab中两种表示方法,TF (Transfer Function),num = 1 0; 传递函数分子 Matlab中 a b c形式表示多项式 a*s2+b*s+c,den = 1 2 1; 传递函数分母,sys =

19、 tf(num,den) 用sys表示系统传递函数，则传递函数为num/den的形式，其中num和den分别为分子和分母多项式,在命令行中依次运行 den = 1 2 1 num=1 0 sys=tf(num,den) 命令行中显示 Transfer function: s - s2 + 2 s + 1,ZPK (zero-pole-gain ),在命令行中输入 sys = zpk(,0 -1,1),Zero/pole/gain: 1 - s (s+1),线性系统在Matlab中两种表示方法,Matlab中的时域分析函数,step(sys),系统阶跃响应,num = 1 ; den = 1 1

20、 4; sys = tf(num,den),Transfer function: 1 - s2 + s + 4,step(sys),y,t=step(sys); y,t,ans = 0 0 0.0116 0.1571 0.0431 0.3142 . 0.2488 10.2102 0.2492 10.3673,可用数组存储阶跃响应输出点用于分析,Matlab中的时域分析函数,damp(sys),阻尼比分析,num = 1 ; den = 1 1 4; sys = tf(num,den),Transfer function: 1 - s2 + s + 4,Eigenvalue Damping Fr

21、eq. (rad/s) -5.00e-001 + 1.94e+000i 2.50e-001 2.00e+000 -5.00e-001 - 1.94e+000i 2.50e-001 2.00e+000,damp(sys),极点,n,单位冲激响应,Impulse(sys),Matlab中的时域分析函数,Matlab中没有单位斜坡响应函数 可以用以下方法产生单位斜坡响应：,用step函数产生,的单位阶跃响应,相当于产生G(s)的单位斜坡响应,Matlab中的时域分析函数,t=0:0.1:12;num=1; zeta1=0.1;den1=1 2*zeta1 1;sys1=tf(num,den1); z

22、eta2=0.2;den2=1 2*zeta2 1;sys2=tf(num,den2); zeta3=0.4;den3=1 2*zeta3 1;sys3=tf(num,den3); zeta4=0.7;den4=1 2*zeta4 1;sys4=tf(num,den4); zeta5=1.0;den5=1 2*zeta5 1;sys5=tf(num,den5); zeta6=2.0;den6=1 2*zeta6 1;sys6=tf(num,den6); y1,T1=step(sys1,t); y2,T2=step(sys2,t); y3,T3=step(sys3,t); y4,T4=step(

23、sys4,t); y5,T5=step(sys5,t); y6,T6=step(sys6,t); plot(T1,y1,T2,y2,T3,y3,T4,y4,T5,y5,T6,y6) xlabel(omega_n t),ylabel(y(t) title(zeta=0.1,0.2,0.4,0.7,1,2),grid,3.4 高阶系统的时域分析,系统传递函数高于二阶的系统为高阶系统,工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。,原因： 1、高阶系统的计算比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。,高阶系统的单位阶跃响

24、应,系统传递函数,高阶系统阶跃响应,在单位阶跃信号下的响应：,进行拉氏反变换：,高阶系统阶跃响应,高阶系统阶跃响应,高阶系统的时间响应，由一阶系统和二阶系统系统的时间响应函数项组成；,如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t的增长，由系统极点引入的时间响应函数趋于零。,运动模态,一阶模态,pj0 一阶收敛模态,pj0 一阶发散模态,二阶模态,二阶收敛模态,二阶等幅振荡模态,二阶发散模态,运动模态,一阶收敛模态 p0,一阶传递函数p0,运动模态,一阶发散模态 p0,一阶传递函数p0,零极点分布,运动模态,运动模态,传递函数,零极点分布,运动模态,运动模态,传递函数,零极点分布,运动模态,运动

25、模态,传递函数,零极点分布,运动模态小结,17:51,运动模态小结,响应曲线的类型由闭环极点决定 如果有一个闭环极点位于s右半平面，则导致整个系统的响应是发散的。,运动模态小结,响应曲线的形状由闭环极点和零点共同决定 对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大，其对应时间分量的衰减速度越快，反之衰减速度越慢。,在部分分式展开各项系数（留数）的计算中，闭环零点的大小会影响留数的大小。,运动模态小结,零点和极点的相对位置，对c(t)的影响：,高阶系统的动态特性主要由靠近虚轴且远离零点的极点（主导极点）决定,a.零极点相互靠近，则对应Ai就越小，对c(t)影响越小； b.零极点很靠近，对c(t)几乎

26、没影响； c.零极点重合偶极子，对c(t)无任何影响； d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对c(t)影响大。,闭环极点： -0.5000 + 1.9365i -0.5000 - 1.9365i,闭环极点： -10.0000 -0.5000 + 1.9365i -0.5000 - 1.9365i,高阶系统的时间响应举例,二阶系统,三阶系统,闭环极点： -0.5000 + 1.9365i -0.5000 - 1.9365i,闭环极点： -0.1 -0.5000 + 1.9365i -0.5000 - 1.9365i,高阶系统的时间响应举例,二阶系统,三阶系统,一阶系统,高阶系统时间响应结

27、论汇总,1、瞬态分量的各个运动模态衰减的快慢取决于对应的极点和虚轴的距离，越远衰减得越快,2、各模态对应的系数和初相角取决于零极点的分布。若某一极点越靠近零点，则相应的系数越小。若一对零极点相距很近，该极点对应的系数就非常小。若某极点远离零点，越靠近原点和其他极点则相应系数越大,3、系统零点和极点共同决定了系统响应曲线形状。对系数很小的运动模态或远离虚轴衰减很快的运动模态可以忽略，这时高阶系统就近似为较低阶系统。,4、高阶系统中离虚轴最近的极点，如果他与虚轴的距离比其他极点距离的1/5还小，并且该极点附近没有零点，可以认为系统的响应主要由该极点决定。称之为主导极点。 非主导极点对应时间响应在上

28、升时间之前能基本衰减完，只影响0tr一段，对过渡时间ts等性能指标无影响，主导极点可为实数，也可为共轭复数 具有一对共轭复数主导极点的高阶系统可当作二阶系统分析,高阶系统时间响应结论汇总,5、非零初始条件下，高阶系统响应同样可以认为是由两部分组成：零初始条件下输入信号产生的响应，与零输入时由非零初始条件应起的响应。 其中，纯粹由初始条件引起的响应又称零输入响应 它是系统所有运动模态的线性组合,高阶系统时间响应结论汇总,17:51,1、去除传递函数中影响较小的极点； 2、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为二阶或三阶系统。,注意：保持系统闭环增益，即(0)不变。,高阶系统简化思路,高阶系统简

29、化举例：磁头驱动系统,高阶系统简化举例：磁头驱动系统,下面我们从主导极点的概念出发简化系统，原系统闭环传递函数为,系统没有零点，因此忽略s3将系统简化为二阶系统，其传递函数为,闭环增益为1，闭环极点为,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,原系统和简化系统（主导极点法）的单位阶跃响应曲线,原系统,简化系统,高阶系统简化举例：磁头驱动系统,在之前课程的分析中，我们忽略电枢回路时间常数，将系统简化为,简化后的闭环传递函数为,闭环增益为1，闭环极点为,二阶系统分析举例：磁头驱动系统,原系统和简化系统（时间常数法）的单位阶跃响应曲线,原系统,简化系统,高阶系统的时域分析小结,高阶系统单位阶跃响应时域表达形式

30、,五种运动模态,响应曲线的类型和形状与零极点之间的关系,高阶系统简化条件和方法,3.5 线性定常系统的稳定性,稳定是控制系统能够正常运行的首要条件 对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。 自动控制理论的基本任务之一 分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施,稳定物理意义,图a 摆运动示意图 （稳定系统）,A,f,图b 不稳定系统,图c 小范围稳定系统,d,f,c,A,系统受到干扰后，能够回到原平衡状态，则系统是稳定的。,用单位冲激函数模拟系统在零平衡状态（c(0)=0）下受到的干扰，则系统输入单位冲激函数，当t趋于时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的平衡状态，即,稳定的

31、数学意义,则系统是稳定的。,运动模态,17:51,*当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，则有 ，此时系统是稳定的。 *如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的， 此时 不成立，系统不稳定。 *如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则c(t)作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。,线性系统稳定,闭环特征方程式的根都位于S的左半平面,充要条件,线性系统稳定的条件,系统稳定性几点说明,1、线性系统的稳定性是系统的固有特征（结构、参数）与系统的输入信号无关，而非线性系统常常与外界信号有关； 2、由于系统输出信号中瞬态分量，

32、是由闭环极点所决定的运动模态的线性组合。对于稳定系统，这些运动模态随时间的推移而趋于零； （稳定系统的输出信号中的瞬态分量都趋于零） 3、线性定常系统，如不稳定，输出信号将随时间的推移趋于无限大。实际系统，系统不稳定，其物理变量不会无限增大，往往形成大幅值的等幅振荡或趋于所能达到的最大值；,4、如有闭环极点实部为零（位于虚轴上），其余极点都具有负实部，这时称系统为临界稳定； 这时系统输出信号将出现等幅振荡，振荡的角频率就是纯虚根的正虚部。反之，如输出做等幅振荡，可知闭环特征方程有纯虚根。 如极点为原点，则输出信号为常数。 工程上，临界稳定属于不稳定，因为参数的微小变化会使极点具有正实部而导致系

33、统不稳定,系统稳定性几点说明,如何判别系统稳定性？,1、求出闭环极点？,2、实验？,高阶系统难求,如果不稳定，可能导致严重后果,劳斯稳定判据(Rouths stability criterion),将各项系数，按下面的格式排成劳斯表,劳斯表,用一个正数去除或乘某一整行不改变结论,劳斯表中第一列的系数均为正值 系统稳定 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，系统不稳定！其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,系统特征方程系数没有为零的项(无缺项，否则可能为临界稳定),线性系统稳定,必要条件,劳斯判据,充要条件,已知一调速系统的特征方程式为,例3-5,试用劳斯判

34、据判别系统的稳定性。,解：列劳斯表,该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。,已知某调速系统的特征方程式为,例3-6,求该系统稳定的K值范围。,解：列劳斯表,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：,劳斯判据的特殊情况,劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余项不全为零 劳斯表中出现全零行,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定,以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列,1、劳斯表某一行中的第一项等于零（而该行

35、的其余项不全为零）,判定,判定方法,已知系统的特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,劳斯表第一列中系数的符号变化2次，则该方程在S右半平面上有两根，系统为不稳定,解：列劳斯表,-3 (0) 2 -3-2/ 2,用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。,辅助方程式的根也是特征方程的根！且辅助方程式阶数总是为偶数，也就是其根的数目总是偶数。 辅助方程的根为大小相等符号相反的实根或共轭虚根。,2、劳斯表中出现全零行,判定方法,判定,列劳斯表,第一列无符号变化，则无正实部特征根，有两对共轭虚根， 可以判断，系统做等幅振荡，

36、振荡的频率为 2， 显然这个系统处于临界(不)稳定状态。 同时，利用辅助方程还可以解出剩余的两个根,2、实际系统希望s左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。,1、稳定判据能回答特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根离虚轴的距离远近，也就是稳定程度。,问题,例3-8 用劳斯判据检验下列特征方程,是否有根在S的右半平面上， 并检验有几个根在垂线S=-1的右方。,解： 1)列劳斯表,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。,令s=z-a代入原方程式中，得到以z为变量的特征方程式。 然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线s=-a右侧。此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根

37、距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,劳斯判据的应用,令,代入特征方程：,列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线S=-1的右方。,已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答,例3-9,时，闭环系统的稳定条件是什么？,列劳斯表,解:,闭环系统的特征方程为,利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,例. 已知方框图，系统以,的频率做等幅振荡,试确定振荡时的参数,控制系统的性能,动态性能,稳态性能,稳态误差,稳态误差是描述系统稳态性能常用的一个性能指标，反映系统的控制精度，即准确性。,3.6 线性系统的稳

38、态误差计算,3.6.1 误差的定义,1，从输入端定义,2，期望值和实际值之差,由反馈控制原理可知，当偏差为零时，实际输出就等于期望输出，即,两种定义下误差的关系,输入信号引起的误差Er(s),负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。 它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。,控制对象,控制器,扰动作用下的误差En(s),输出对扰动的传递函数,系统对扰动期望输出为零，扰动产生的输出端误差信号为,或参考误差的定义，首先把扰动产生的偏差表示出来,则扰动产生的误差为,在本课程中，我们采用第二种定义方式来定义误差。,后续的部分讨论以单位负反馈为例，即,此时，误

39、差用偏差e(t)来表示。,稳态误差（以单位负反馈为例）,c(t)包含两个分量：瞬态分量与稳态分量，所以误差信号e(t)也包含瞬态分量与稳态分量。,如典型一阶系统对单位斜坡输入的误差为,瞬态分量,稳态分量,瞬态分量,稳态分量,稳态误差,稳定系统的误差瞬态分量的终值为零,因此稳态误差可以表示为,误差稳态分量的终值即为稳态误差,误差为期望输出与实际输出之差，与偏差的关系为,典型控制系统的误差分为两部分,误差定义小结,误差,偏差,输入带来,扰动带来,单位负反馈系统中，E(s)=E(s)。,典型控制系统的误差可以表示为,稳定的单位负反馈系统的稳态误差可表示为误差的终值,误差定义小结,当sE(s)的极点均

40、位于s左半平面（包括坐标原点）时,可以使用拉普拉斯变换终值定理求稳态误差,求稳态误差 方法一:终值定理,对于单位负反馈系统,# 满足上述条件时，用相同的方法也可以求偏差的终值。,例3-10 已知r(t)=t, f(t)=-1(t),求系统稳态误差,时，求稳态误差,例,终值定理求稳态误差小结,1，使用终值定理求稳态误差必须满足以下条件： sE(s)的极点均位于s左半平面（包括坐标原点） 可以用劳斯判据判断该条件是否成立。,2，终值定理可以求出误差的终值，但不能得到误差的时域表达式。,系统型别由开环传函中串联积分环节的数目决定,3.6.2 系统类型（系统型别）,系统类型（系统型别）的两种定义：,当

41、,时，系统就为0型、1型、2型、,1. 以开环传递函数定义,2. 以偏差传递函数定义,中，s=0的零点个数代表系统型别,（1）单位阶跃输入,典型输入信号下的稳态误差和稳态误差系数 以单位负反馈为例讨论,（2）单位斜坡输入,（3）单位抛物线输入,系统型别举例,典型一阶系统,典型二阶系统,典型一阶系统和二阶系统的系统型别均为1，所以对单位阶跃信号响应的稳态误差为0，对单位斜坡响应的稳态误差分别为 T 和 1/K。,方法二:静态误差系数求稳态误差,以上结论是针对单位负反馈的，如不是单位负反馈，则求出的是稳态偏差,例3-11,调速系统框图如下。输出信号c(t) r/min, kc=0.05V/(r/m

42、in)求r(t)=1(t)V时的稳态误差,特殊输入信号下的两种方法求误差（以单位负反馈为例）,当输入信号具有如下形式时,输入信号的有限阶导数为0， 如果误差传递函数可以写成如下形式,动态误差系数法求稳态误差的关键是将误差传递函数展开成s的幂级数。特点是能求出稳态误差的时间表达式。 适用于输入信号和扰动信号是时间t的有限项的幂级数的情况。此时偏差传递函数的幂级数只需取几项就足够了,方法三: 动态误差系数法,将传递函数的分子分母多项式按s的升幂排列，再作多项式除法，结果按升幂排列,方法四:长除法,例14、单位负反馈系统的开环传递函数为 输入信号r(t)=4+6t+3t2 求稳态误差的时间函数,方法

43、五:通用公式法（留数法）,极点：,极点：,时，求稳态误差,例,减小或消除稳态误差的措施,控制对象,控制器,减小或消除稳态误差的措施,1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的 前向通道增益 2）提高系统型别 3）采用复合控制（下一节内容）,复合控制（前(顺)馈+反馈）,不增大开环增益前提下提高系统抑制干扰能力,前馈控制作用，能实现既减小系统的稳态误差，合理选择参数又能保证系统稳定性不变。 可以对输入信号及扰动信号分别加入顺馈补偿,复合控制,按输入进行补偿,按输入补偿的复合控制系统,系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入量，具有理想的时间响应特性。,由于G1(s)一般具有比较复杂的形式

44、，故全补偿条件的物理实现相当困难。在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿，或者在对系统性能起主要影响的频段内实现近似全补偿，以使的形式简单并易于实现。,完全消除误差的物理意义,前馈补偿装置在系统中增加了一个输入信号Gr(s)R(s)其产生的误差信号为,与原输入信号产生的误差信号相比，大小相等而方向相反。,误差传递函数为,简化系统如图,部分补偿方法,设开环传递函数有如下形式，可知原系统为零型。,令,则,部分补偿方法,且,系统型别提高为1型,令,且,系统型别提高为2型,原系统的的稳态误差是多少？要求系统的稳态误差为零，确定a、b。,定义误差,部分补偿举例,对扰动进行补偿,为了补偿扰动对系统输出的影响,由于 分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故上式 的条件在工程实践中只能近似地得到满足。,控制系统时域分析总结,哈勃望远镜能将644km以外的目标聚集在一枚硬币大小的面积上，其指向系统框图如图所示。试设计控制器增益Ka