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文档简介
1、1.5 多项式的分解,在中学代数里我们学过因式分解,就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中,有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了,但是当时没有理论根据,到底能不能再分下去?,这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。,这样的因式称为平凡因式。,我们感兴趣的是,除了平凡因式外,,还有没有其他的因式?,定义1.5.1,等价定义:,在数域F上可约。,由定义可得:, 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。,性质,性质1,性质2,则,证:设,证:,由性质2,,推论:,二、因式分解,问题:,是否可分解为,不可约多项式的乘积?,定理1.5.1:,证(归纳法):,n=1时,命题显然
2、成立。,假设命题对一切小于n的多项式成立,则当,时,,多项式的乘积。,问题:,则,定理1.5.2:,中任一个次数大于零的多项式,分解成不可约多项式的乘积:,成不可约因式的乘积分解式是唯一的,此即若有两,个分解式:,则有 r=s;,),证(对分解式中的因式个数用数学归纳法证明):,当r=1时,结论显然成立。,由归纳假设知,这时有r-1=s-1。,故r=s,且,三、标准(典型)分解式,故,首项系数提出来,使之成为首一不可约多项式,,首项系数,每个多项式的标准分解式是唯一的。,利用多项式的标准分解式可以判断一个多项,式是否整除另一个多项式。,利用多项式的标准分解式可以直接写出,例如:,则,解:,即有 。,例1.5.2:,求,在,上的标准分解式。,解:
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