第7章 差分方程.ppt

1、第7讲 差分方程,数学建模与数学实验,西南科技大学理学院数学系,主讲教师: 彭煜 鲜大权 杨学南,西南科技大学网络教育系列课程,第9章 差分方程,9.1 差分方程模型 对一数列，把数列中的 和前面的 关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫做递推关系。,例1: 汉诺塔问题：个大小不同的圆盘仪其半径大小依次套在桩A上，在的在下，小的在上，现要将n个盘移到空桩B或C上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A也可利用，设移动n个盘的次数为，试建立关于的差分方程。,解 先将A上的n-1个盘按题设要求移到C上， 这需要移动 次，再将A上的最大盘移到B 上，这需要

2、一次，最后将C上的n-1个盘按要 求移到B上，这又需要移动 次，于是得差分方程：,A,B,C,例2 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。,解: 因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以,定义为fibonacci数列。,92 差分方程的解法,本节主要介绍常系数线性差分方程的解法.,9.2.1 常系数线性齐次差分方程的解法,形如：,的差分方程，称为,的k阶常系数线性齐次差分方程，其中,为常数，,，

3、方程:,(1),(2),称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。,例1求Fibonacci数的通项:,解 : 差分方程的特征方程为：,特征根:,是互异的，所以，得通解:,由初始条件,得,联立解得:,故,例3 求解,初始值,解: 特征方程,特征根为,因而得通解,将,代入，得,故:,例4 求解,初始值,解 特征方程,特征根为-1，-1，-1，2。因而通解为,故:,代入初始条件定出,定理3: 差分方程,的特征方程,的特征根出现一对共轭复根,和相异的,个根,则差分方程的通解为:,其中,。,922 常系数线性非齐次差分方程的解法,定义 形如,(,为常数，,的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程

4、,常系数线性非齐次差分方程,对应的齐次差分方程为,定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即,其中,是对应齐次差分方程的通解，,是非齐次差分方程的特解。,如何求非次差分方程的特解,参照常微分非齐次方程的解法.,例6 求非齐次方程的特征方程,的通解。,解 对应的齐次方程的特征方程,解得二重根,所以对应的齐次方程的通解为,由所给非齐次差分方程的右端，可以设其特解为,将,代入原方程解得,故非齐次差分方程的通解为,例9 求解汉诺问题：,解 对应的齐次方程的通解为,观察特解为,因为初始条件,故有解,93 差分方程的平衡点及稳定性,931 一阶线性方程的平衡点及稳定性,

5、一阶线性常系数分方程,的平衡点由,解得，为,当,时，若,则平衡点,是稳定的，否则是不稳定的。,(1),容易看出，可以用变量代换方法将方程 （1）的平衡点的稳定性问题转换为,(2),的平衡点,而对于方程（2），因为其解可表为,的稳定性问题，,所以当且仅当|a|1时，方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点）才是稳定的。,对于n维向量,和nn常数矩阵A构成的,方程组,(3),其平衡点稳定的条件是A的特征根,均有,即均在复平面上的单位圆内,9.4 建模案例：最优捕鱼策略,941 问题简介,生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益考虑具有4个年龄组：1龄鱼，4龄鱼

6、的某种鱼该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投人的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1渔业上称这种方法式为固定努力量捕捞,该鱼群本身有如下数据： 1. 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(l/年),其平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(单位:g); 2. 1龄鱼和2龄鱼不产卵,产卵期间,平均每条4龄鱼产卵量为1.109 (个)，3龄鱼为其一半； 3. 卵孵化的成活率为1.22 /(1.22 n）（n为产卵总量）；,有

7、如下问题需要解决： l）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量； 2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.l，3.29（ 条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取作怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高,k单位时间4龄鱼的捕捞强度系数,942 基本假设（略）,鱼群数向量,单位时间的自然死亡率,c年存活率，c=1-0.80.2,孵化卵成活率,=1.22 1011/（1.221011n）,m龄鱼的平均产卵量，m为 1.109 （个），3龄鱼为其一半,943 模型建

8、立,这里只讨论问题2），即可持续捕获策略模型以一年为一个离散化的单位时间,记年初鱼群为,下一年的鱼群数为:,显然，,是,到年底存活下来的鱼群数,时,中还包括,指上一年由卵孵化而得到1龄鱼,中存活数,据此可建立如下差分方程：,因为3龄鱼与4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1， 故有,写成矩阵形式：,其中,仔细考察矩阵P，当4龄鱼捕捞强度系数,时，不论上一年鱼群数目如何，下一年的鱼群将出现负数这个结论显然是荒缪的事实上，只要3龄鱼和4龄鱼不被同时捕光，下一年4龄鱼存在存活，即鱼群数不会出现负数,造成这种现象的原因是单位时间离散化程度不够精细假设单位时间为一个月，定义月死亡率为,，月存活率（l,），月

9、捕捞系数,应为 c0.2，从而得,=0.1255考虑一年中各月鱼群数目的分布， 不难得到如下分析：,为 k，则年存活率,一个月实际存活率：,二个月实际存活率：,三个月实际存活率：,八个月实际存活率：,九个月实际存活率:,因只前八月捕捞，后四月只有自然死亡,一年后实际存活率：,同理可得第i月捕捞率：,因此可得,一年后3龄鱼实际存活数：,一年后4龄鱼实际存活数：,该年3龄鱼总捕捞数,该年4龄鱼总捕捞数,该年3龄鱼产卵总量：,该年4龄鱼产卵总量：,因此矩阵应当为：,关于鱼群的差分方程为：,X（t1）PX（t） （1）,为实现持续捕获(1）式，必须存在稳定解：,X（t）PX（t）,由差分方程稳定性理论知其充要性为：对P的 所有特征根，有,用Mathematica软件包按上述步骤得最优解如下：,MAX：f=5.943 89 g=59 43