中考二次函数 动点专题含答案

1、模式模式 1 1：平行四边形：平行四边形 分类标准：分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况PCBA、 （1）当边是对角线时，那么有ABBCAP/ （2）当边是对角线时，那么有ACCPAB/ （3）当边是对角线时，那么有BCBPAC / 例题例题 1 1：（山东省阳谷县育才中学模拟 10）本题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)， B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数关系

2、式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、0 为顶点的四边形 为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标. 练习：练习：图 1，抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 D32 2 xxy （1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 PF/DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何

3、值时，四边形 PEDF 为平行四边形？ 设BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系 模式模式 2 2：梯形：梯形 分类标准：分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点 p 使得四点构成梯形，则可分成以下几种情况PCBA、 （1）当边是底时，那么有ABPCAB/ （2）当边是底时，那么有ACBPAC / （3）当边是底时，那么有BCAPBC / 例题例题 2 2：已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为(4,0)，点 C 的坐标为，直线)20(， 与边 BC 相交于点 Dxy 3 2 (1)求点 D 的坐标； (2)抛物线经过点 A、D、O，求此抛

4、物线的表达式；cbxaxy 2 (3)在这个抛物线上是否存在点 M，使 O、D、A、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 练习：练习：已知二次函数的图象经过 A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x4，设顶点为点 P，与 x 轴的另一交 点为点 B （1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； （2）如图 1，在直线 y2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒个单位长度的速度由点

5、 P 向点 O 运动，2 过点 M 作直线 MN/x 轴，交 PB 于点 N 将PMN 沿直线 MN 对折，得到P1MN 在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式 模式模式 3 3：直角三角形：直角三角形 分类标准：分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置 例如：请在抛物线上找一点 p 使得三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况PBA、 （1）当为直角时，AABAC （2）当为直角时，BBABC （3）当为直角时，CCBCA 例题例题 3：如图 1，已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点

6、（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C(0，3)，对 称轴是直线 x1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC 的函数表达式； （3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限 当线段时，求 tanCED 的值； 3 4 PQAB 当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标 练习：练习：如图 1，直线和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0）4 3 4 xy （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）动点 M

7、从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个 单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值 模式模式 4 4：等腰三角形：等腰三角形 分类标准：分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置 例如：请在抛物线上找一点 p 使得三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况PBA、 （1）当为顶

8、角时，AABAC （2）当为顶角时，BBABC （3）当为顶角时，CCBCA 例题例题 4 4：已知：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上， OA2，OC3，过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； （2）将EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为，那么 EF2GO 是否成立？若

9、成立，请给予证明；若不成 5 6 立，请说明理由； AB C OP Q D y x （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由 练习：（练习：（2012 江汉市中考模拟）江汉市中考模拟）已知抛物线 yax2bxc(a0)经过点 B(12，0)和 C(0，6)，对称轴为 x2 (1)求该抛物线的解析式 (2)点 D 在线段 AB 上且 ADAC，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动

10、点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请 求出此时的时间 t(秒)和点 Q 的运动速度；若存在，请说明理由 (3)在(2)的结论下，直线 x1 上是否存在点 M，使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由 模式模式 5 5：相似三角形：相似三角形 突破口：寻找比例关系以及特殊角突破口：寻找比例关系以及特殊角 例题例题 5 5：（据荆州资料第：（据荆州资料第 5858 页第页第 2 2 题改编）题改编）在梯形 ABCD 中，ADBC，BAAC，B = 450，AD = 2，BC

11、 = 6，以 BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A 在 y 轴上。 （1）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式。 （2）求ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标，并求M 的半径。 （3）E 为抛物线对称轴上一点，F 为 y 轴上一点，求当 EDECFDFC 最小时，EF 的长。 （4）设 Q 为射线 CB 上任意一点，点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点 P、Q，使得以 P、Q、C 为顶点的与ADC 相似？若存在，直接写出点 P、Q 的坐标，若不存在，则说明理由。 x y D BC A O 模拟题汇编之动点折叠问题 1.（2012 深圳模拟）（本题

12、12 分）已知二次函数与轴交于 A（1，0）、B（1，0）两点.cbxxy 2 x （1）求这个二次函数的关系式； （2）若有一半径为r的P，且圆心 P 在抛物线上运动，当P 与两坐标轴都相切时，求半径r的值. （3）半径为 1 的P 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时，P 与 y 轴相离、相交？ 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的cbxxy 2 坐标为（3，0），与 y 轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物 线的函数表达式； （2）连结PO、PC，并把POC沿 C O

13、翻折，得到四边形 POPC， 那么是否存在点P，使四边形 POPC 为菱形？若 存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：解：将 B、C 两点的坐标代 y=kx+b, 0=3k-3, k=1,y=x-31 分 将 B、C 两点的坐标代入得：，解得： 3 03 c cb 3 2 c b 所以二次函数的表达式为： .3 分32 2 xxy （2）存在点 P，使四边形 POP C 为菱形.设 P 点坐标为（x，）， / 32 2 xx PP 交 CO 于 E.若四边形 POP C 是菱形，则有 PCPO.5 分 / 连结 PP 则 PECO 于 E，OE=EC= / 2 3 =.= .

14、6 分y 2 3 32 2 xx 2 3 解得=，=（不合题意，舍去） 1 x 2 102 2 x 2 102 P 点的坐标为（，）.9 分 2 102 2 3 3.（2012 江西模拟）已知抛物线交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B,C（点 B 在点 C 的右侧）.过点 A 作垂 2 34yxx 直于 y 轴的直线 l. 在位于直线 l 下方的抛物线上任取一点 P，过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线 l 于点 Q.连接 AP. （1）写出 A，B，C 三点的坐标； （2）若点 P 位于抛物线的对称轴的右侧： 如果以 A，P，Q 三点构成的三角形与AOC 相似，求出点 P 的坐标；

15、 若将APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 M.是否存在点 P，使得点 M 落在 x 轴上.若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由. A B MP C D N 4.（2012 安庆模拟）在直角梯形 ABCD 中，B90，AD1，AB3，BC4，M、N 分别是底边 BC 和腰 CD 上的 两个动点，当点 M 在 BC 上运动时，始终保持 AMMN、NPBC (1)证明：CNP 为等腰直角三角形； (2)设 NPx，当ABMMPN 时，求 x 的值； (3)设四边形 ABPN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 取何值时，四边形 ABPN 的面积最大，最

16、大面 积是多少 解：（1）过 D 作 DQBC 于 Q，则四边形 ABQD 为平行四边形 DQ=AB=3，BQ=AD=1 QC=DQ DQC 中C=QDC=45 RtNPC 为等腰 Rt (4 分) （2） MP=AB=3, BM=NPABMVMPNV NPC 为等腰 Rt PC=NP= x BM=BCMPPC=1x 1- x= x x= 2 1 当时，x = (8 分)ABMVMPNV 2 1 （3）=(AB+NP) BP=(3+ x)(4x)=+ x+ 6=( x-)+6.125(11 分) ABPN S四边形 2 1 2 1 2 1 2 x 2 1 2 1 2 1 当 x 取时，四边形

17、ABPN 面积最大，最大面积为 6.125. (14 分) 2 1 5.（2012 宝应模拟）在直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（2，2），点 C 是线段 OA 上的一个动点（不运 动至 O，A 两点），过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，以 CD 为边在右侧作正方形 CDEF. 连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴 于点 B，连接 OF,设 ODt. 求 tanFOB 的值； 用含 t 的代数式表示OAB 的面积 S； 是否存在点 C, 使以 B，E，F 为顶点的三角形与OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的 B 点的坐标；若不存 在，请说明理由 y x BE F D O

18、 A C y x B E F D O A C (1)作 AHx 轴于 H，交 CF 于 P A(2,2) AH=OH=2 AOB=45 CD=OD=DE=EF= 3 分t 1 tan 22 t FOB t (2)CFOB ACFAOB 即 APCF AHOB 2 2 tt OB 6 分 2 2 t OB t 12 (02) 22 OAB t SOB AHt t (3)要使BEF 与OFE 相似,FEO=FEB=90 只要或 OEEF EBEF OEEF EFEB 即:或 2BEt 1 2 EBt 当时, ,2BEt4BOt (舍去)或 B(6,0) 8 分 2 4 2 t t t 0t 3 2

19、 t 当时, 1 2 EBt () 当 B 在 E 的右侧时, 5 2 OBOEEBt (舍去)或 B(3,0) 10 分 25 22 t t t 0t 6 5 t () 当 B 在 E 的左侧时,如图，, 3 2 OBOEEBt (舍去)或 B(1,0) 12 分 23 22 t t t 0t 2 3 t 6.（2012 广东预测）（本小题满分 12 分）如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点. 8 9 2 5、 ) 14 , 8 (A (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），yBxCDCD 试求点、的坐标；BCD (3)设点是轴上的任意一点，

20、分别连结、PxACBC 试判断：与的大小关系，并说明理由.PBPABCAC D A Ox y C B (第 24 题图) C x y A B D E OP 解：（1）（4 分）设抛物线的解析式为1 分 8 9 2 5 2 xay 抛物线经过)14, 8(A，解得： 2 分 8 9 2 5 814 2 a、 2 1 a （或） 1 分 8 9 2 5 2 1 2 xy2 2 5 2 1 2 xxy （2）（4 分）令得，1 分0 x2y)2 , 0(B 令得，解得、2 分0y02 2 5 2 1 2 xx1 1 x4 2 x 、 1 分)0 , 1 (C) 0 , 4(D （3）（4 分）结论：

21、 1 分BCACPBPA 理由是：当点重合时，有 1 分CP、BCACPBPA 当，直线经过点、，直线的解析式为 3 分、CPAC)14, 8(A)0 , 1 (CAC22 xy 设直线与轴相交于点，令，得，ACyE0 x2y ，)2, 0( E 则关于轴对称)2 , 0()2, 0(BE、x ，连结，则，ECBC PEPBPE ，AEECACBCAC 在中，有APEAEPEPA 1 分BCACAEPEPAPBPA 综上所得1 分BCACBPAP 7.如图，已知二次函数 yx2bxc 的图象经过 A(2，1)，B(0,7)两点 (1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当 x 为何值时，y0?

22、 (3)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l，与抛物线交于 C、D 两点(点 C 在对称轴的左侧)，过点 C、D 作 x 轴的垂线，垂 足分别为 F、E.当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标 解：解：(1)把 A(2，1)，B(0,7)两点的坐标代入 yx2bxc，得 Error!，解得Error!. 所以，该抛物线的解析式为 yx22x7， 又因为 yx22x7(x1)28，所以对称轴为直线 x1. (2)当函数值 y0 时， x22x70 的解为 x12 ， 2 结合图象，容易知道 12 x0. 22 (3)当矩形 CDEF 为正方形时，设 C 点的坐标为(m，n)， 则 n

23、m22m7，即 CFm22m7. 因为 C、D 两点的纵坐标相等， 所以 C、D 两点关于对称轴 x1 对称， 设点 D 的横坐标为 p，则 1mp1， 所以 p2m，所以 CD(2m)m22m. 因为 CDCF，所以 22mm22m7， 整理，得 m24m50，解得 m1 或 5. 因为点 C 在对称轴的左侧，所以 m 只能取1. 当 m1 时， nm22m7(1)22(1)74. 于是，点 C 的坐标为(1,4) 8.如图，在ABC 中，已知 ABBCCA4cm，ADBC 于 D，点 P、Q 分别从 B、C 两点同时出发，其中点 P 沿 BC 向终点 C 运动，速度为 1cm/s；点 Q

24、沿 CA、AB 向终点 B 运动，速度为 2cm/s，设它们运动的时间为 x(s)。 求 x 为何值时，PQAC； 设PQD 的面积为 y(cm2)，当 0 x2 时，求 y 与 x 的函数关系式； 当 0 x2 时，求证：AD 平分PQD 的面积； 探索以 PQ 为直径的圆与 AC 的位置关系，请写出相应位置关系的 x 的取值范围(不要求写出过程)。 Q DC B A P O 解：当 Q 在 AB 上时，显然 PQ 不垂直于 AC。 当 Q 在 AC 上时，由题意得：BPx，CQ2x，PC4x， ABBCCA4，C600， 若 PQAC，则有QPC300，PC2CQ 4x22x，x ， 4

25、5 当 x (Q 在 AC 上)时，PQAC； 4 5 当 0 x2 时，P 在 BD 上，Q 在 AC 上，过点 Q 作 QHBC 于 H， C600，QC2x，QHQCsin600 x 3 ABAC，ADBC，BDCD BC2 1 2 DP2x，y PDQH (2x)x 1 2 1 23 3 2 x2 3x 当 0 x2 时，在 RtQHC 中，QC2x，C600， HCx，BPHC BDCD，DPDH， ADBC，QHBC，ADQH， OPOQ SPDOSDQO， AD 平分PQD 的面积； 显然，不存在 x 的值，使得以 PQ 为直径的圆与 AC 相离 当 x 或时，以 PQ 为直径的

26、圆与 AC 相切。 4 5 16 5 当 0 x 或 x或x4 时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相交。 4 5 4 5 16 5 16 5 9.已知抛物线与轴交于 A、B 两点，且点 A 在轴的负半轴 2 2(1)2yxkxk xx 上，点 B 在轴的正半轴上x （1）求实数 k 的取值范围； （2）设 OA、OB 的长分别为 a、b，且 ab15，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，以 AB 为直径的D 与轴的正半轴交于 P 点，过 P 点作D 的y 切线交轴于 E 点，求点 E 的坐标。x 解：（1）设点 A（，0），B（，0）且满足0 1 x 2 x 1 x 2 x 由题意可知

27、，即 02 11 kxx 2k （2）15，设，即，则，即， abaOA ax 1aOB5 ax5 2 0a ，即 2 21 21 55 45 aaaxx aaaxx 2 52 412 ak ak ，即，解得，（舍去） 12 ak0325 2 aa 1 1 a 5 3 2 a 抛物线的解析式为 3k 54 2 xxy （3）由（2）可知，当时，可得， 054 2 xx 1 1 x5 2 x 即 A（1，0），B（5，0） AB6，则点 D 的坐标为（2，0） 当 PE 是D 的切线时，PEPD 由 RtDPORtDEP 可得 DEODPD 2 即 ，故点 E 的坐标为（，0） DE 2322

28、9 DE 2 9 10.如图，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A（2,0），B（1, 3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐标； （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点 P 使 SPAD4SABM成立，求点 P 的坐标 x y CB _ D _ A O 解：解：（1）、因为点 A、B 均在抛物线上，故点 A、B 的坐标适合抛物线方程 解之得：；故为所求 4 分 40 3 ac ac 1 4 a c 2 4yx （2）如图 2，连接 BD，交 y 轴于点 M，则点 M 就是所求作的点 设 BD 的解析式为，则有， ，ykxb 20 3 kb kb 1 2 k b 故 BD 的解析式为；令则，故8 分 2yx0,x 2y (0, 2)M (3)、如图 3，连接 AM，BC 交 y 轴于点 N，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB 易知 BN=MN=1，易求2 2,2AMBM ；设， 1 2 222 2 ABM S A 2 (