第五章 第四节.ppt

1、第四节 数 列 求 和,1.公式法 (1)使用已知求和公式求和的方法. (2)数列求和常用公式：,n2,2.裂项相消法 把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.,3.错位相减法 (1)适用的数列：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列. (2)方法：设Sn=a1b1+a2b2+anbn, 则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1， -得：(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1，就转化为根据公式可求的和.,4.其他求和方法,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)如果已知等差数

2、列的通项公式，则在求其前n项和时使用公 式 较为合理.( ) (2)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和 ( ) (3)当n2时， ( ),(4)求Sn=a+2a2+3a3+nan之和时只要把上式等号两边同时乘 以a即可根据错位相减法求得.( ) (5)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列， 那么Skm=mSk.( ) (6)如果数列an是公差d0的等差数列，则 ( ),【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性 可知. (2)正确.根据等比数列的求和公式可知. (3)正确.直接验证或倒推可知正确. (4)错误.需要分a=0,a=1，以及a0且a

3、1三种情况求和. (5)正确.根据周期性可得. (6)正确.直接验证或倒推可得. 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列. 若a1=1，则S4=( ) (A)7 (B)8 (C)15 (D)16 【解析】选C.4a1，2a2，a3成等差数列， 4a1+a3=4a2，即4a1+a1q2=4a1q, q2-4q+4=0,q=2,S4=15.,2.sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=( ) (A)44.5 (B)45 (C) (D)89 【解析】选A.设S=sin21+sin22+sin23

4、+sin288 +sin289, 则S=sin289+sin288+sin287+sin22+sin21, 即S=cos21+cos22+cos23+cos288+cos289, 与第一个式子相加，得2S=89，所以S=44.5.,3.等差数列an的通项公式为an=2n+1，其前n项和为Sn，则数 列 的前10项和为( ) (A)70 (B)75 (C)100 (D)120 【解析】选B.因为等差数列an的通项公式为an=2n+1，所以 Sn=n2+2n,所以 3+4+5+1275.,4.数列an的通项公式an=2n-(-1)n，设此数列的前n项和为Sn，则S10S21S100的值是( ) (

5、A)9 746 (B)4 873 (C)9 736 (D)9 748,【解析】选A.当n为奇数时，an=2(n+1)；当n为偶数时， an=2(n-1)， 故有 故S10S21S100=9 746.,5.一个数列an，当n是奇数时，an=5n+1；当n为偶数时， 则这个数列的前2m项的和是_. 【解析】所有奇数项的和 所有 偶数项的和 两部分相加即得. 答案:2m+1+5m2+m-2,考向 1 公式法求和 【典例1】解答下列各题： (1)已知数列an的前n项和Sn=32n-n2，求数列|an|的前n 项和Tn. (2)已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+

6、 (-1)nnln 3，求其前n项和Sn.,【思路点拨】(1)根据数列an的前n项和可得数列an的通 项公式，根据求出的通项公式把数列|an|分段求解. (2)由于存在(-1)n，按照n为奇数和偶数分别求解.,【规范解答】(1)当n=1时，a1=S1=31，当n2时，an=Sn-Sn-1 =33-2n， an=33-2n(nN*)，即数列an是公差为-2，首项为31的等 差数列， 令an=33-2n0，则n16， 故当0n16时，Tn=Sn=32n-n2；,而当n17时， Tn=S16-(a17+a18+an)=-Sn+2S16， 即Tn=-32n+n2+2(3216-162)=n2-32n+

7、512，,(2)Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3) +-1+2-3+(-1)nnln 3, 所以当n为偶数时，,当n为奇数时， 综上所述，,【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式. (3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(-1)n.,【变式训练】解答下列各题： (1)在等差数列an中，a1=-60，a17=-12,求其前30

8、项的绝对值之和. (2)已知数列an为等比数列，a2=6,a5=162.设Sn是数列an的前n项和，求Sn.,【解析】(1)设等差数列的前n项和为Sn， 前n项的绝对值之和为Sn， 由-60+16d=-12得d=3， an=-60+3(n-1)=3n-63， 由此可知当n20时，an0；当n21时，an0， S30=-(a1+a2+a20)+a21+a30,=S30-2S20, 即S30= =765.,(2)设等比数列an的公比为q，则a2=a1q,a5=a1q4， 依题意得 解得a1=2,q=3，得,考向 2 裂项相消法求和 【典例2】解答下列各题. (1)已知数列an的前n项和Sn=3n2

9、-2n，求数列 的前n项 和Tn. (2)已知数列4n-2n(nN*)的前n项和为Sn， 求数列 bn的前n项和Tn. 【思路点拨】(1)求出数列an的通项公式，裂项求和. (2)求出Sn并对Sn进行分解，裂项bn即可.,【规范解答】(1)当n2时， an=Sn-Sn-1 =(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1) =6n-5.,当n=1时，a1=S1=1，所以an=6n-5(nN*). 所以设 故,(2)根据等比数列求和公式得 Sn= (22n-1)-2(2n-1) = 2(2n+1)(2n-1)-3(2n-1) = (2n+1-1)(2n-1).,所以,【拓展提升】常见的裂项方法(其

10、中n为正整数),【提醒】裂项相消法要注意相消后剩下的是哪些项，不要 漏写或写错，如求 的前n项和时，剩下的是,【变式训练】等差数列an的各项均为正数，a1=3，前n项和 为Sn，bn为等比数列, b1=1，且S2b2=64 ,S3b3=960. (1)求an与bn. (2)求和：,【解析】(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数， an=3+(n-1)d，bn=qn-1. 依题意有 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.,(2)Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2), ,考向 3 错位相减法求和 【典例3】(1)数列n4n-1的前n项和Sn=_. (2)(2013济南

11、模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,且满 足Sn=3n+k. 求k的值及数列an的通项公式； 若数列bn满足 求数列bn的前n项和Tn.,【思路点拨】(1)写出和式Sn后，把该式等号两边同时乘以4后两式相减. (2)利用an=Sn-Sn-1求解，求出bn,利用错位相减法求和. 【规范解答】(1)设an=n4n-1, Sn=a1+a2+an =1+241+342+n4n-1，,4Sn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n， 两式相减得 -3Sn=1+41+42+43+4n-1-n4n 答案:,(2)当n2时，由an=Sn-Sn-1=3n+k-3n-1-k=23n-1, 因为an是

12、等比数列，所以a1=2,an=23n-1. a1=S1=3+k=2,所以k=-1.,【互动探究】把本例题(1)中“数列n4n-1”改为 “数列 ”，求其前n项和Sn.,【解析】由题得 则 两式错位相减得,【拓展提升】错位相减法求和的关注点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.,【变式备选】a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列an 是递增的等差数列，数列bn的前n项和为Sn，且 (1)求数列an，bn的通项公式. (2)记cn=anbn，求

13、数列cn的前n项和Tn.,【解析】(1)解x2-12x+27=0得x1=3,x2=9， 因为an是递增的，所以a2=3，a5=9，,在 中，令n=1得b1=S1= 当n2时， 两式相减得 所以bn是等比数列，bn=,两式相减得： 所以,【满分指导】解答数列求和问题 【典例】(12分)(2012江西高考)已知数列an的前n项和 (其中kN*),且Sn的最大值为8. (1)确定常数k，求an. (2)求数列 的前n项和Tn.,【思路点拨】,【规范解答】(1)当n=k，kN*时， 取最大值， 即 2分 故k2=16，因此k=4,3分 从而 (n2). 又 ，5分 所以 6分,(2)设 7分 所以 1

14、2分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2013兰州模拟)等差数列an中，若 则 =( ) (A) (B) (C)1 (D)2 【解析】选C.,2.(2012重庆高考)在等差数列an中，a2=1，a4=5,则an的 前5项和S5=( ) (A)7 (B)15 (C)20 (D)25 【解析】选B.因为a2=1，a4=5，所以a1+a5=a2+a4=6，所以数列 的前5项和,3.(2012大纲版全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn， a5=5，S5=15，则数列 的前100项和为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1，所以an

15、=1+(n-1)=n， 所以 又,4.(2013苏州模拟)已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2 则该数列的前20项的和 为_.,【解析】当n为奇数时，an+2=an+1，故奇数项组成了首项为1， 公差为1的等差数列，其前10项之和等于 当n为偶数时，an+2=2an，故偶数项组成了首项为2，公比为2的 等比数列，其前10项之和为 所以，数列an的前20项之和为55+2 046=2 101. 答案:2 101,5.(2012江西高考)已知数列an的前n项和Sn=kcn-k (其中c，k为常数)，且a2=4，a6=8a3. (1)求an. (2)求数列nan的前n项和Tn.,【解析】(1)当n1时，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)， 则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2)， c=2.a2=4， 即k(c2-c1)=4，解得k=2， an=2n(n1)， 当n=1时，a1=S1=2， 综上所述an=2n(nN*).,(2)nan=n2n，则 Tn=2+222+323+n2n 2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1 -得 -Tn=2+22+23+2n-n2n+1， Tn=2+(n-1)2n+1.,1.若数列