九年级数学下册 2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根教案 （新版）北师大版

1、2.5二次函数和一元二次方程第二课，用二次函数求方程的近似根1.将使用二次函数的图像来寻找一维二次方程的近似根；(强调)2.进一步理解二次函数与一维二次方程的关系。(困难)一、形势导入根据函数y=x2 2x-5(如图所示)(精确到0.1)的图像，你能找到方程x2 2x-5=0的近似根吗？根据图像，抛物线和X轴之间有两个公共点，分别位于1和2，-4和-3之间，所以二次方程x2 2x-5=0有两个根，分别位于1和2，-4和-3之间。这两个根分别是1.5和-3.5吗？二、合作探索询问点：用二次函数求方程的近似根类型1用二次函数估计一维二次方程的近似根二次方程x2-2x-1=0的近似根通过使用二次函数

2、的图像来估计(精确到0.1)。分析：根据函数与方程的关系，函数图像与X轴交点的横坐标是对应方程的解。解：方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1和x轴交点的横坐标。制作二次函数y=x2-2x-1的图像。如图所示，从图中可以看出，该方程有两个根，一个在-1和0之间，另一个在2和3之间。首先，找出-1和0之间的根。当x=-0.4时，y=-0.04；x=-0.5时，Y=0.25。因此，x=-0.4(或x=-0.5)是方程的近似根。类似地，x=2.4(或x=2.5)是方程的另一个近似根。方法概述：解决这个问题的关键是找到对称轴，然后用图像解决，培养学生数形结合的思维方法。类型2列出一维二次方

3、程的近似根下表列出了函数y=ax2 bx c中x和y的相应值(a、b和c是常数，a0)，因此公式ax2 bx c=0的根x的值范围为()x6.176.186.196.20y-0.03-0.010.020.04A.6x6.17 B.6.17x6.18C.6.18x6.19 D.6.19x6.20分析：从表中的数据来看，在6.17 x 6.20的范围内，y随着x的增加而增加。当x=6.18，y=-0.01，当x=6.19，y=0.02，并且方程ax2 bx c=0的根x的值范围是6.18 方法概述：利用抛物线的增减来确定抛物线与X轴交点坐标的可能位置。变式训练：参见学练优“课后巩固与提升”的第一个

4、问题类型3使用图像找到二次方程的近似根假设二次函数y=ax2 bx c的图像如图所示，单变量二次方程ax2 bx c=0的近似根是()A.x1-2.1，x20.1 B.x1-2.5，x20.5C.x1-2.9，x20.9 D.x1-3，x21解析：二次函数y=ax2 bx c可以从图像中获得。图像的对称轴为x=-1，对称轴右侧的图像与x轴的交点到原点的距离约为0.5，x20.5；如果对称轴是x=-1，那么=-1， x1=2 (-1)-0.5=-2.5。因此，x1 -2.5，x20.5，所以选择b .方法概述：要解决这个问题，首先需要根据图像估计一个根，然后根据对称性计算另一个根。估计值的准确性

5、直接关系到计算的准确性，因此估计值应尽可能准确。变式训练：见本课时学练优“班级标准训练”第六题类型4使用二次函数和线性函数的图像来寻找方程的根二次函数y=2x2-2和函数y=5x 1是已知的。(1)你能用镜像法求解2x2-2=5x 1方程吗？(2)请通过求解方程来验证(1)的解。分析：(1)根据函数图像的交点坐标求出相应方程的解，即可得到答案；(2)根据因式分解，可以得到方程的解。解决方法：(1)在平面直角坐标系中绘制y=2x2-2，函数y=5x 1的图像，如图所示。图像交点的横坐标是-，3，所以2x2-2=5x 1的解是x1=-，x2=3；(2)从(1)可以看出，交点的横坐标是等式2x2-2

6、=5x 1的解，该解被简化为2x2-5x-3=0，并被因子化为(2x 1) (x-3)=0。解是x1=-和x2=方法概述：用图像法求一维二次方程的近似根，图像交点的横坐标就是方程的解。变式训练：参见学练优“课后巩固与提升”第四题类型5二次函数和其他函数的合成当用图像求解二次方程x2 x-3=0时，我们的方法之一是在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x 3，两个图像相交的横坐标就是方程的解。(1)填空：用图像求解二次方程x2 x-3=0，也可以如下求解：在平面直角坐标系中画一条抛物线y=_ _ _ _ _ _ _ _ _和一条直线y=-x，交点的横坐标即为方程的解；(2)给定函数y=

7、-(如图所示)的图像，使用该图像找到方程-x 3=0的近似根(结果保持两个有效数字)。分析：(1)二次方程x2 x-3=0可转化为x2-3=-x，所以二次方程x2 x-3=0的解可视为抛物线y=x2-3与直线y=-x相交的横坐标；(2)函数y=-和直线y=-x 3的交点的横坐标是方程x 3=0的近似根。解决方案：(1) x2-3(2)图像如下所示：方程-x 3=0的近似根是x1=-1.4和x2=4.4。方法概述：利用二次函数图像寻找一维二次方程的近似根的步骤是：(1)制作函数图像，从图像中确定方程的解的个数；(2)根据图像的交点位置和y=h确定交点横坐标的范围；(3)观察图像，得到方程的近似根。变式训练：参见学练优课后练习“巩固与提升”三、黑板设计用二次函数求方程的近似根1.用二次函数估计一维二次方程的近似根2.列出或使用图像找到一维二次方程的近似根3.用二次函数和一次函数的图像求方程的根在教学过程中，教师作为引导者