第二章误差.ppt

1、2020/7/31,计算物理,1,第 二 章误差,2.1误差的来源与分类 2.2 误差与有效数字 2.3 函数的误差估计 2.4 近似数的四则运算及数值计算中需要注意的几个问题,2020/7/31,计算物理,2,从实际工程问题出发,一直到算出问题结果,这其中的每个过程都会产生误差。计算物理中的误差来自四个方面: 模型误差、观测误差、方法误差（截断误差、舍入误差）,计算物理中的误差,2.1 误差的来源与分类,2020/7/31,计算物理,3,（a）模型误差。将实际问题归结为数学问题时，总要忽略一些主观上认为是次要的因素，附加若干限制。例如点粒子近似。人们对客观事物的认识是逐步深入的，这样建立的“

2、理想化”的数学模型，虽然具有“精确”而“完美”的外表，实质却只是客观现象的近似而粗糙的描述，这种近似描述就隐含着误差，这就是模型误差。如自由落体运动忽略了空气的阻力。,2.1 误差的来源与分类,2020/7/31,计算物理,4,（b）观测误差。在数学模型中，往往包含有若干参变量，如物体密度，物态方程与本构方程参数，热量交换系数等等。这些参量一般是通过实验观测确定的，因而不可避免会存在观测误差。如自由落体运动中的时间和重力加速度就是观测值。观测值的精度依赖于仪器和人的操作。,2.1 误差的来源与分类,2020/7/31,计算物理,5,（c）方法误差。在实际解题过程中，数学模型常常比较复杂，不能获

3、得精确解，要用数值方法得到计算结果，模型的准确解和数值方法的准确解之差称为方法误差。,2.1 误差的来源与分类,2020/7/31,计算物理,6,例如：指数函数ex可展开成下列幂级数形式,但在实际计算时，不可能计算无穷多项，只能截取有限项：,用Sn(x)作为ex的近似值，其截断误差为,2.1 误差的来源与分类,截断误差属于一种方法误差,2020/7/31,计算物理,7,由于计算机只能进行有限位运算，所以在运算过程中会不断地按某种规则进行舍入，此即舍入误差。舍入误差实质上也是方法误差。 计算物理课程中关注的就是方法误差（截断误差、舍入误差）,2.1 误差的来源与分类,用有限项近似无限项时,因为截

4、去部分项而产生的误差，称为截断误差 用有限位近似无限位时,由舍入产生的误差，称为舍入误差,2020/7/31,计算物理,8,绝对误差,2.2 误差与有效数字,设 为准确值，,为 的一个近似值，,为近似值的绝对误差，,简称误差.,2020/7/31,计算物理,9,绝对误差限,2.2 误差与有效数字,若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即,误差 可正可负,通常准确值 是未知的，,因此误差 也未知.,则 叫做近似值的误差限，,它总是正数.,工程上常用,表示近似数及绝对误差,2020/7/31,计算物理,10,相对误差,2.2 误差与有效数字,把近似值的误差 与准确值 的比值,称为近

5、似值 的相对误差，,记作 .,2020/7/31,计算物理,11,相对误差限,2.2 误差与有效数字,实际计算中，,由于真值 总是未知的，,作为 的相对误差，,通常取,相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差 限，,记作,2020/7/31,计算物理,12,例题：,2.2 误差与有效数字,测量会议室的长和宽，测量结果为会议室长30m,宽为10m， 长的误差不超过5cm,宽的误差不超过2cm,则长和宽可写成:,L(长)=300.05(m) W(宽)=100.02(m),长和宽哪一个精度高呢?,可用相对误差来衡量:,因此,测得的长的精度比测得的宽的精度要高。,2020/7/31,计算物理,1

6、3,四舍五入原则,2.2 误差与有效数字,舍入后使绝对误差限不超过其末位数的半个单位。 若需舍入的部分刚好是末位的半个单位时，要使末位凑成偶数。,例：,对0.7135 0.7265 0.73251分别取三位小数,结果 分别为: 0.714 0.726 0.733,当然事实上,在程序设计语言中,不一定按第2条规则来做,2020/7/31,计算物理,14,有效数字和有效数,2.2 误差与有效数字,若近似值 的绝对误差限不超过某一位的半个单位，,从该位向左数到 的第一位非零数字共有n位，就说 有n 位有效数字. 用有效数字表示的数称为有效数。,例如：设x = = 3.14159265 取x*= 3.

7、14，则|x*- x| = 0.00159265 0.005 = （绝对误差限）有效位3,2020/7/31,计算物理,15,有效数字和有效数,2.2 误差与有效数字,再如,设x = = 3.14159265 取x*= 3.141，则|x*- x| = 0.00059265 0.005 = （绝对误差限）有效位3,若设x = = 3.14159265 取x*=3.142，则|x*- x| = 0.0004073 0.0005= 有效位4,上述做法其实就是通常的四舍五入法。,2020/7/31,计算物理,16,有效数字和有效数,2.2 误差与有效数字,例题: 设准确值为x = 3.78695，分

8、析近似值 = 3.7869， = 3.7870分别具有几位有效数字。 解：| - x| = 0.00005= （小数点后第4位），有效位5。 | - x| = 0.00005= （小数点后第4位），有效位5。,2020/7/31,计算物理,17,数的浮点表示,2.2 误差与有效数字,任一个有效数 均能表示成一个0.1-1之间的数与 的乘积(m为任何整数）的形式：,其中，a1是第一位不是零的数字, 有n位有效数字,分别为 a1,a2,an,2020/7/31,计算物理,18,有效数字与相对误差的关系,2.2 误差与有效数字,因为,所以,2020/7/31,计算物理,19,有效数字与相对误差的关系

9、,2.2 误差与有效数字,由上述结果可归纳成下面的定理,若 具有 位有效数字，,则其相对误差限为,2020/7/31,计算物理,20,有效数字与相对误差的关系,2.2 误差与有效数字,反过来,也成立,即:,若 的相对误差限为,则 具有n位有效数字。,证明：因为 ，所以,即,所以 具有n位有效数字。,2020/7/31,计算物理,21,对于函数 ,如果自变量 被近似值 代替, 那么函数值 被 代替,可由微分中值定理估计 的精度:,2.3 函数的误差估计,可看成是函数的绝对误差关于自变量的绝对误差的放大数,称为绝对误差条件数.,2020/7/31,计算物理,22,因为,2.3 函数的误差估计,所以

10、称为相对误差条件数,2020/7/31,计算物理,23,2.3 函数的误差估计,当 为多元函数，如计算 时.,的近似值为 ，,则 的近似值为,函数值 的误差 为,2020/7/31,计算物理,24,2.3 函数的误差估计,于是误差限,而 的相对误差限为,2020/7/31,计算物理,25,2.3 函数的误差估计,由于,知 ，,故只要取 ，,即只要对 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就 小于0.1%.,要使 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取,解:1)设取 位有效数字，,例题,几位有效数字?若求 ，B 20,B需要取几位有效数字,才能 保证 近似值的相对误差小于0.1?,由有效数字与相对

11、误差关系的定理,就有,2020/7/31,计算物理,26,2.3 函数的误差估计,2)设,方法一:,相对误差条件数,注意到B的a1有可能是1,也可能是2,应考虑最坏的情况,取 a1 =1.要寻找一个n,使 成立.可知当n取4时能满足上式,所以B取4位有效数字.,2020/7/31,计算物理,27,2.3 函数的误差估计,方法二:可以利用绝对误差条件来解答. 要使 近似值相对 误差限小于10-3,则应使,且 为满足题设,希望 可见若B取4位有效数字,则 能保证 近似值的相对误差限小于10-3,2020/7/31,计算物理,28,2.4 近似数的四则运算,两个近似数 与 ，其误差限分别为 及 ，,

12、它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为,2020/7/31,计算物理,29,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,1. 避免相近二数相减,例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。, 几种经验性避免方法：,当 | x | 1 时：,改变计算公式,2020/7/31,计算物理,30,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,2. 避免大数吃小数,例：计算 的根。,精确解为, 算法1：利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相

13、加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： -b=109+1=0.100000001010+0.00000000 1010 =0.10000000 1010 = 10 9,小数被吃掉,2020/7/31,计算物理,31,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,方法：提高数值计算精度或采用别的算法,2020/7/31,计算物理,32,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,3. 要避免用绝对值小的数去除绝对值大的数,数值计算中，除数的绝对值远小于被除数的绝对值，将会使商的数量级增加，甚至造成溢出错误；而且当除数稍有一点误差，就会对计算结果造

14、成很大的误差。如3.1416/0.0013141.6，当分母有了0.0001的误差时，也就是变为0.0011则商变为3.1416/0.00112856，商的误差已经变的非常巨大,2020/7/31,计算物理,33,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,4. 注意计算步骤的简化，减少算术运算的次数。,2020/7/31,计算物理,34,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,5. 算法或公式要稳定,稳定性是指在数值计算中，误差的传播能否得到控制这样一个性质。,用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.,计算 并估计误差.,由分部积分可得计

15、算 的递推公式,若计算出 ，,代入，可逐次求出 的值.,例题,2020/7/31,计算物理,35,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,而要算出 就要先计算 .,并取 ，,则得 ，,计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入.,若用泰勒多项式展开部分和,用4位小数计算，,截断误差,2020/7/31,计算物理,36,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,当初值取为 时，用（3.2）递推的计 算公式为,计算结果见表1-1的 列.,用 近似 产生的误差 就是初值误差，,它对后面计算结果是有影响的.,2020/7/31,计算物理,37,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,2020/7/31,

16、计算物理,38,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,从表中看到 出现负值，,这与一切 相矛盾.,因此，当 较大时，用 近似 显然是不正确的.,实际上，由积分估值得,2020/7/31,计算物理,39,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,计算公式与每步计算都是正确的，计算结果错误的原因,主要就是初值 有误差 ，由此引起以后各步 计算的误差 满足关系,容易推得,这说明 有误差 ，则 就是 的 倍误差.,2020/7/31,计算物理,40,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,例如， ，,若 ，,这就说明 完全不能近似 了. 它表明计算公式（A）,若换一种计算方案.,由（3.3）取 ，,取,则,是数值不稳定的.,由,2020/7/31,计算物理,41,2.5 数值计算中需要注意的几个问题,将公式倒过来算，,即由 算出 ，公式为,计算结果见表1-1的 列.,可以看出 与 的误差不超过 .,2020/7/31,计算物理,42