第二章 第4讲 函数的单调性与最值.ppt

1、第4讲,函数的单调性与最值,1函数的单调性的定义,设函数 yf(x)的定义域为 A，区间 IA，如果对于区间 I 内 的任意两个值 x1，x2，当 x1x2 时，都有_，那么就说 y f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 yf(x)的_； 如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1x2 时，都有_， 那么就说 y f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ，I 称 为 y f(x) 的,_,单调增区间,f(x1)f(x2),单调减区间,f(x1)f(x2),2用导数的语言来描述函数的单调性 设函数 yf(x)，如果在某区间 I 上_，那么 f(x)为 区间 I 上的增函数；如果在

2、某区间 I 上_，那么 f(x)为,区间 I 上的减函数,f(x)0,f(x)0,3函数的最大(小)值 设函数 yf(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0A，使得对于 任意 xA，有_恒成立，那么称 f(x0)为 yf(x)的最大 值；如果存在定值 x0A，使得对于任意 xA，有_恒 成立，那么称 f(x0)为 yf(x)的最小值,f(x)f(x0),f(x)f(x0),Ak,1函数 yx26x 的减区间是(,),D,A(，2 C3，),B2，) D(，3,2函数 y(2k1)xb 在实数集上是增函数，则(,),A,1 2,Bk,1 2,Cb0,Db0,3已知函数 f(x)的值域是2,3，则

3、函数 f(x2)的值域为(,),D,A4,1 C4,10,5,B0,5 D2,3,单调减区间是_,0，),5指数函数 y(a1)x 在(，)上为减函数，则实数 a,的取值范围为_.,1a2,4若函数f(x)(m1)x2mx3(xR)是偶函数，则f(x)的,例1：已知函数f(x)x2(x0，aR),考点1 利用定义判断函数的单调性,a x,(1)判断函数 f(x)的奇偶性；,(2)若 f(x)在区间2，)是增函数，求实数 a 的取值范围,当a0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数,解：(1)当a0时，f(x)x2为偶函数,【互动探究】,2x x1,在区间(0,1)上,1试用函数单调性的定义判断

4、函数 f(x) 的单调性,考点2 利用导数判断函数的单调性,函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数 a 的取值范围 解题思路：本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题 求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区 间的子区间的关系求解,解析：函数f(x)的导数为f(x)x2axa1. 令f(x)0，解得x1或xa1. 当a11即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意 当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数 依题意应有：当x(1,4)时，f(x)0. 当x(6，)时，f(x)0. 所以4a16，解得5

5、a7， 所以a的取值范围是5,7,【互动探究】,mf(x)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_.,m1,考点3 函数的最值与值域 例3：求下列函数的值域：,程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A,(A，,解题思路：关于 x 的一次分式函数，可通过求关于 x 的方程 在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)， 观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于 x 的二次方,B,xx1,B 是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数 或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别式求函数的值域,【互动探究】 3求下列函数的值域：,易错、易混、易漏 6求函数的单调区间时没有考虑定义域 例题：(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x),log2(4xx2)的单调递减区间是(,),A(0,4),B(0,2),C(2,4),D(2，),正解：由4xx20 得0x4，又由u4xx2(x2)24 知函数u 在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数f(x) log2(4xx2)的单调递减区间是(2,4)故选C. 【失误与防范】易忽略 x 需满足4xx20 这个条件,C,求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、 图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域， 都必须考虑函数的定义域,有的函数既无最大值也无最小