第六章《概率论与数理统计教程》课件.ppt

1、第六章 参数估计,概率论与数理统计教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著,大 纲 要 求,一、理解点估计的概念. 二、了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性） 三、掌握矩估计法和极大似然估计法. 四、理解区间估计的概念. 五、会求单个正态总体的均值和方差的置信区间. 六、了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.,学 习 内 容,6.1 参数的点估计 6.2 衡量点估计量好坏的标准 6.3 正态总体参数的区间估计 6.4 两个正态总体均值差与方差比 的区间估计,数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体.推断的基本内容包括两个方面:一是依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围;二

2、是依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.本章先介绍求近似值和近似范围的方法.,XP(), XE(), XN(,2),用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计.,点估计 区间估计,在要求的精度范围内指出参数所在的区间,6.1 参数的点估计,参数估计,用某一数值作为参数的近似值,1. 点估计,定义 设总体X分布函数为F(x;1,2,m), i为未知 参数(i=1,2,m), X1,X2,Xn 为来自该总体的s.r.s,若以 统计量 =i(x1,x2,xn) 作为i的近似值,则称 为i 的估计值(抽样后),也称 为i的估计量(抽样前).由于近似 值(实数)与实数轴的点一一对应,姑且又称 为

3、i的点估计 量（或值).,X分布为F(x;)待估,选择统计量,估计量,带入样本值,估计值,即:,2. 点估计的方法,一、 矩估计法,将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代，布列方程组或方程，所得到的解，作为总体未知参数的点估计值。,例1 设总体X在区间0， 上服从均匀分布，其中 0 是未知参数, 如果取得样本观测值为 求 的矩估计值,解：因为总体X的概率密度 总体X的一阶原点矩 ， 样本一阶原点矩 由矩估计值方法得 所以得到 的矩估计量 而 的矩估计值就是,解： 因为总体X的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶原点矩，我们有 由矩估计值方法得 所以得到矩估计量 而矩估计值是,例2 设总

4、体 ,其中 及 都是未知参数，如 果取得样本观测值为 求 及 的矩估计值。,（1）基本思想 甲乙两人比较射击技术，分别射击目标一次，甲中而乙未中，可 以认为：甲射击技术优于乙射击技术。 事件A发生的概率为0.1或0.9，观察一次，事件A发生了，可以认 为：事件A发生的概率为0.9。 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观察结果出现的可能性最大.,二、 最大似然估计法,（2） 似然函数 设总体X为连续型,Xf(x;1,2,m), i为待 估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为

5、来自该总体的s.r.s, 则（X1,X2,Xn）的联合密度函数为 如果,设总体X为离散型,P(X=x)=P(x;1,m),i为待估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的s.r.s,则 P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m) （X1,X2,Xn）的似然函数为,如 XP(),即,样本观察值出现可能性的大小跟似然函数在该样本值处的函数值有关, L越大, 样本观察值越可能出现.,若似然函数 在 取到最大值,则称 分别为 的 最大似然估计.,（3）方法与步骤,（2）写出对数似然函数(对似然函数求导),（3）写出似然方程,（4）求解似然方程并写出估计量,(只有一个待

6、估参数时求 ),例 3 求参数为p的0-1分布的最大似然估计.,P(X=0)=1-p P(X=1)=p,P(X=x)=px(1-p)1-x ( x=0,1),解得,最大似然估计为,例4. XN(,2),求参数,2的最大似然估计.,解:,例5. 设X服从0,区间上的均匀分布,参数 0,求的最大似然估计.,解:由题意得:,无解.,考虑L的取值,要使L取值最大,应最小,取,此时,L取值最大,所以,所求最大似然估计为,应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现.,6.2 衡量点估计量好坏的标准,设 为的一个点估计,若 则称 为的一个无偏估计.,容易明白,对同一个未知参数,采用不同的方法找

7、到的点估计可能不同,那么,自然要问:究竟是用哪一个更“好”些呢?这里介绍三个评价标准.,标准一:,注意:无偏估计不是唯一存在.,设总体X的均值和方差分别为： 则 （1）样本均值 是总体均值 的无偏估计量； （2）样本方差 是总体方差 的无偏估计量。,两个重要结论,设 和 是 的两个无偏估计,若 ，则称 比 更有效,设统计量 是未知参数 的点估计量，样本 容量为 n ，若对任意 则称 为 的一致估计.,两个重要结论 （1）设总体X的均值 ，方差 则样本均值 是总体均值 的一致估计量。 （2）样本方差 是总体方差 的一致估计量。,点估计有使用方便、直观等优点,但它并没有提供关于估计精度的任何信息,

8、为此提出了未知参数的区间估计法.,如:对明年小麦的亩产量作出估计为:,若设X表示明年亩产量,则估计结果为,P(800X1000)=80%,明年小麦亩产量八成为800-1000斤.,6.3 正态总体参数的区间估计,区间估计,1. 区间估计的定义,设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的s.r.s , 如果能够找到两个统计量 ,使得随机区间 包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参 数的区间估计.即 当 成立时, 称概率 为置信度或置信水平; 称区间 是 的置信度为 的置信区间; 分别称为置信下限和置信上限.,注意:点估计给出的是未知参数的一个近似值;区间估计给出的是未知参数的一个近

9、似范围,并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度.,说法1: 以概率 包含 ; 说法2: 以概率 落入 ; 说法3: 不包含 的概率为 ; 说法4: 以 的概率落在 之外;,例 2 . 设总体XN(,2),其中 2已知, X1,X2,Xn为X 的 一个样本,求一个区间,使之以1-的 概率 包含的真值.,解:(1)选择包含的分布已知函数:,(2)构造Z的 一个1-区间:,不妨设,即,(3)变形得到的1-置信区间:,所求1-置信区间为,P(|Z|)=1-,/2,/2,1-,=z/2,-,P(|Z|)=1-,置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越

10、好.一般来说,置信区间取成对称区间.,注意:,2. 求置信区间的方法与步骤:,第一步 构造一个含未知参数的分布已知的随机变量(样本的函数)Z,Z中除待估参数外不含其它任何未知参数,一般是从未知参数的点估计着手,再进行加工来构造;,第二步 对给定的置信度 ,根据Z的分布定出满足 的a,b(叫分位数或临界点);,第三步 利用不等式变形,求出未知参数的 置信区间.,3.单个正态总体均值和方差的区间估计:,(1)选择包含的分布已知函数:,(2)构造Z的 一个1-区间:,(3)变形得到的1-置信区间:,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,1）2已知,求的置信度为1-置信区间：,例 3.

11、 设总体XN(,0.92),X1,X2,X 9为来自总体的简单随 机样本，样本均值为5，求的置信度为95%的置信区间。,解:由题意得:,这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为,其中,n=9,z0.025=1.96,代入得,4.412,5.588,所求置信区间为,(4.412，5.588),设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,2）2未知,求的置信度为1-置信区间：,(1)选择包含的分布已知函数:,(2)构造T的 一个1-区间:,(3)变形得到的1-置信区间:,/2,/2,1-,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,3）求2置信度为1-的置信区间：,总体均值 已

12、知， 由定理3知，样本函数 选取 ，使得 所以,即：,的置信水平为 的置信区间为：,(a)选择包含2的分布已知函数:,(c)变形得到2的1-置信区间:,/2,/2,1-,1,2,1-/2,(b)构造 的 一个1-区间:,总体均值 未知，则 的置信区间,6.4 两个正态总体均值差 与方差比的区间估计,1.两个正态总体均值差的区间估计:,设原总体XN(1,12),改变后的总体Y N(2,22),X, Y相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值和样本方差分别记为,1) 12, 22已知, 1- 2的1-置信区间:,(1)选择包含1- 2的分布已知函数:,(2)构造Z的 一个1-区间:,

13、(3)变形得到1- 2的1-置信区间:,2) 12=22=2, 2未知,1- 2的1-置信区间:,(1)选择包含1- 2的分布已知函数:,(2)构造T的 一个1-区间:,(3)变形得到1- 2的1-置信区间:,2. 两个正态总体方差比 12/22的1-置信区间:,(1)选择包含12/22 的分布已知函数:,(2)构造F的 一个1-区间:,(3)变形得到12/22 的1-置信区间:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,(1),(2),(1)选择包含12/22 的分布已知函数:,(2)构造F的 一个1-区间:,(3)变形得到12/22 的1-置信区间:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,实际操作起来,依据样本,按照第三步求出的 置信区间,查出分位数,算得上下限,最后写出数值区间,单正态总体参数的区间估计,双