2019年高考数学一轮复习 不等式选讲 第2节 不等式的证明学案 理 北师大版

1、第二节不等式的证明【教材传真】(教师专用)通过一些简单的问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法和分析法。(对应于学生手册的第206页)基础知识填充1.基本不等式定理1:假设a，bR，那么a2 B2 2ab。当且仅当a=b时，等号成立。定理2:如果A和B是正数，那么，当且仅当A=B时，等号成立。定理3:如果A，B a=b=c是正数，那么。当且仅当A=B=C时，等号成立。定理4:(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an是n个正数，那么,当且仅当A1=A2=.=An，等号成立。2.柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：如果a，b，c和d都是实数，那么(a2 B2) (C2 D2)

2、(AC BD) 2(当且仅当ad=BC，等号成立)。(2)柯西不等式的向量形式：设和是两个向量，那么| | | | | |，当且仅当是零向量，或者有一个实数k，那么=k，等号成立。(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，然后。(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，那么(a a a) (b b b) (a1b1 a2b2 anbn) 2当且仅当bi3.不等式的证明方法证明不等式的常用方法包括比较、综合和分析。(1)比较法：比较法和差分法的基础是：步骤A-B0AB是：“产生差异变形判断差异的符号”。变形是手段，而变形的目的

3、是判断符号的不同。比较法：如果B0，如果你想证明AB，你只需要证明a 1。(2)综合分析方法：综合方法：利用一些已证明的不等式和不等式的性质，导出待证明的不等式。这种方法叫做综合法，即“因势利导”的方法。分析方法：从待验证的不等式出发，分析使该不等式成立的充分条件，并将证明不等式转化为判断这些充分条件是否成立的问题。如果你能确定这些充分条件是可用的，你就能判断原来的不等式成立。这种方法叫做分析方法，即“抓住结果和原因”的方法。基本能力自我测试1.(思考和分析)判断下列结论的对错。(正确输入“”，错误输入“”)(1)比较法应该判断公式的符号并得出结论。()(2)综合方法是从原因到结果的思维方法。

4、它从已知的条件出发，经过逐步推理，最终得出有待证明的结论。()(3)分析方法，也称为反推证明法或保果原因法，从要证明的结论开始，逐步寻找结论成立的必要条件，最终达到已知条件或已证明的事实。()(4)在使用反证的方法时，“反假设”不能作为推理的条件。()回答 (1) (2) (3) (4)2.(教科书改编)如果A B 1，X=A，Y=B，那么X和Y之间的大小关系是()xy B.xyC.xyD.xyA x-y=a+-=a-b+=。ab 1，a-b 0表示a 1，所以 0，即x-y 0，所以x Y3.如果甲=-，乙=-，丙=-，那么甲，乙和丙的大小关系是()A.abcB.acbC.bcaD.cabA

5、 a=，b=，c=，这可以通过“分子”的物理化学得到。所以abc。假设a 0，b 0并且ln (a b)=0，则的最小值为_ _ _ _ _。TutorialNo。4从问题的含义来看，a b=1，a 0，b 0，所以=(a b)=22+2=4，当且仅当a=b=时等号成立。5.已知x 0和y 0，证明了(1 x y2) (1 x2 y) 9xy。证明因为x 0和y 0，因此1 x2 y23 0，1 x2 y 3 0，因此，(1 x y2) (1 x2 y) 33=9xy。(对应于学生手册的第207页)用比较法证明不等式假设a 0和b 0，验证：。证明方法1:-()=+=+=0，+.方法2:因为=

6、-1-1=1。和a 0，b 0， 0，+.正则方法利用差分比较法证明不等式的步骤：(1)差分；(2)变形；(3)判断差异的象征；(4)得出结论，其中“变形”是关键。通常，差被形成为因子相乘或平方和的形式，然后通过结合不等式的性质来判断差。注：商的比较方法有相似的步骤，但要注意它比较两个正数的大小，商和“1”的大小应该在步骤(3)中判断。【跟踪培训】(临川一中，2018)甲乙，并验证：A4 6A2b2 B44AB (A2 B2)。证明因为A4 6a2b2 B4-4ab (A2 B2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4。和ab，所以(a-b

7、) 40，因此a4 6a2b2 b44ab (a2 B2)。不等式证明的综合方法(2017年国家卷二)已知a0，b0，A3 B3=2。证据：(1)甲(乙)(A5 B5)4；(2)a+b2。证明 (1)(甲)(乙)(A5 B5)=A6 AB5 A5B B6=(a3+B3)2-2 a3 B3+ab(a4+B4)=4+ab(a2-B2)24。(2)因为(a b) 3=a3 3a2b 3ab2 B3=2 3ab (a b)2+(a+b)=2+，因此，(a b) 3 8，所以a b 2。常规方法 1。综合方法的本质是从原因中引出结果。证明的逻辑关系是ab1b2 bnb (a是已知的条件或数学定义、定理和

8、公理，b是待证明的结论)，其常用的书面表达是“、”或“.2.用综合方法证明不等式，应着重分析已知与已验证之间的区别和联系，以及不等式的左右两端之间的区别和联系。合理的变换和已知不等式的恰当选择是证明的关键。跟踪训练知道a0，b0，a b=1，验证：(1)+8；(2)9。证明(1)*甲乙=1，a0，b0，+=+=2=2=2+44+4=8(当且仅当a=b=，等号成立)， 8。(2)=1，从(1)开始 8。9.用解析法证明不等式(1)让a、b、c0和ab BC ca=1，并验证a b c ;(2)设x1，y1，证明x y xy。TutorialNo。因为a、b、c0、因此，有必要证明，只要证明(a

9、b c) 2 3。即a2 B2 C2 2 (ab BC ca) 3。和ab BC ca=1，因此，应证明a2 B2 C2 2 (ab BC ca) 3 (ab BC ca)。也就是说，a2 B2 C2 ab BC ca。ab BC ca =a2 B2 C2(当且仅当a=b=c时，等号成立)。因此，原来的不等式成立。(2)因为x1和y1，为了证明x y xy，仅证明xy (x y) 1 y x (xy) 2。因为y x (xy) 2-xy (x y) 1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(

10、x-1)(y-1)，X1，y1，因此，(xy-1) (x-1) (y-1) 0，因此，要证明的不等式是有效的。【常规方法】用解析法证明不等式的注意事项：用解析法证明不等式时，不要把“反求”误认为“反推”。分析方法的过程只需要寻求充分条件，而不是充分必要条件。也就是说，分析方法的思维是逆向思维，所以在证明问题时，要正确使用“证明”和“只需要证明”等连接性“关键词”。跟踪培训 (2018广州综合测试(2) (1)已知A B C=1，证明：(A 1) 2 (B 1) 2 (C 1) 2 ;(2)如果不等式| x-a | | 2x-1 | 2适用于任意实数x，则得到实数a的取值范围。证明 (1)方法1

11、:因为甲乙丙=1，因此，(a1)2(B1)2(C1)2=a2 B2 C2 2(a b c)3=a2 B2 C2 5。因此，有必要证明(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 ,只要证明A2 B2 C2 即可。因为A2 B2 C2=(公元前)2-2(公元前公元前)(a+b+c)2-2(a2+b2+c2)，因此，3 (a2 B2 C2) (a b c) 2。因为甲乙丙=1，A2 B2 C2 。因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 。方法2:因为a b c=1，因此，(a1)2(B1)2(C1)2=a2 B2 C2 2(a b c)3=a2 B2 C2 5。因此，有必要证明(a

12、 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 ,只要证明A2 B2 C2 即可。因为a2 a，B2 b，C2 c，因此，a2 B2 C2(a b c)。因为甲乙丙=1，A2 B2 C2 。因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 。方法3:因为(a 1) 2 (a 1)，(b+1)2+(b+1)，(c+1)2+(c+1)，因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (a 1) (b 1) (c 1)。因为a b c=1，因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 。(2)让f (x)=| x-a | | 2x-1 |，那么“不等式| x-a | | 2x-1 |

13、2适用于任何实数x”等价于“f (x) min 2”。当a，f (x)=此时，f (x)最小值=f=-a，要保持| x-a | | 2x-1 | 2，需要-a 2。解决方案是-。当a=，f (x)=| 2x-1 |=3 2，即不能成立。当a，f (x)=此时，f (x)最小值=f=a，要保持| x-a | | 2x-1 | 2，需要一个- 2。解决方案是a。综上所述，实数a的取值范围是。柯西不等式的应用x，y和z都是实数。(1)如果x y z=1，验证：3；(2)如果x 2y 3z=6，求x2 y2 z2的最小值。解决方案 (1)证明：因为(2)(12 12 12)(3x 1 3Y 2 3Z 3)=27。So 3。当且仅当x=，y=，z=0时，取等号。(2)因为6=x 2y 3z ,因此，x2 y2 z2 当且仅当x=，即x=，y=，z=，x2 y2 z2具有最小值。法律方法 1。用柯西不等式证明的关键是适当变形，使之成为它的结构形式。当一个公式的形式与柯西不等式的左侧或右侧相同时