解非线性方程-1

1、第二章解非线性方程(组)的迭代法、剖面、实际应用中有很多非线性方程的例子，比如，(1)光的衍射理论中x tan x=0的根(2) 对于任何a和b，“行星轨道”(planetary orbits )校正需要x a sin x=b根(3)数学中的n次多项式xna1xn-。 方程式的根的数值补正算可以大致分为3个步骤： (1)判断根的存在性(2)确定根的分布范围(根的隔离) (3)根的精确化。根的隔离、1 .分析法：利用函数f (x )的各种性质的分析确定根的分布范围。 例如，尝试f (x)=x3- 6x2 9x-1=0的各根的分布范围。 间隔根区间是(0，1 )，(1，3 )，(3，4 )，2 .

2、依次搜索法：方程式f (x)=0的所有实根存在的区间a， 首先确定b，根据所选择的步骤h=()的函数值的异号和实根的个数来确定间隔根区间，根据需要能够调整步骤h，始终能够找到所有的间隔根区间。 解：方程根据设定为=max |-3.2|，|1.9|，|0.8|=3.2。 v=(1/0.8) max1，|-3.2|，|1.9|=4，所得到的： 0.2 | | 4.2，即- 4.2-0.2，0.24.2取n=，2.1对分法(对区间法)，原理： f (x) Ca，b单调f (x )是通过修正基本思想：间隔根区间的中点，阶段性地缩小间隔根区间，得到方程式的近似根数列xn。 (1)首先，将a、b等分为两个

3、小区间，将点标记为x0=(a b)/2，判断根属于哪个小区间，并截断在没有根的区间中残留有根区间a 1、b1，即，如果f (x0)=0，则为x* (x0) 得到一系列有根区间： a0、b0=a、b、a1、b1、a2、b2、ak、bk，其中，bk-ak=(bk-1-ak-)是求出该点的方程式的根x*，将每次2分钟后的有根区间ak、bk的中点xk=(ak bk )/2作为根x*， (1)对于给定的数字序列中的给定精度，对分法所需的步骤数k :停止条件或误差控制方法：(2)事后估计误差，确定是否满足所得到的中点，以及(3)使用、x1、x2 或者，保不定x的精度，用x*、2、例1对分法求出(1，2 )

4、内的根，要求绝对误差不超过解： f(1)=-50-。解：因为f (0)0.所以f (x )在(0，1 )内是有根的。(a，b )=(0，1 )，表示修正运算结果：由ka bk xk f (xk )表示的符号001.500010.5000.75000.87503.87500.8122 24 100.7724 0.7729求出x10=0.7729、误差为| x* - x10|1/211 .Remark1:奇数条， findsolutionstotheequationx3usethebisectionmethodtocomputeasolutionwithanaccuracyof 107.deter

5、minethenumberofiterationstouse.0 可以用0前的公式修正的世代数为k=23 .Remark2:区分根和特异点，consider f (x )=tanxontheinterval (0，3 ) . use the 20 iterationsofthebisectionmethodandseewhathappens.explaintheresultsthatyouobtained.(如右图所示)，对remark330优点：函数性质的要求2.2简单迭代法、基本思想：首先把方程式f (x)=0改写成某等价形式，用等价形式建构相应的迭代式，然后选择有方程式的初始近似根x0，

6、代入迭代式反复修正根的近似值，把满足精度要求的(f (x)=0改写成以下的等价形式，(2)结构迭代格式根据由(1)，2 )，(3)给定的初始值x0根据迭代公式得到一个数列x0，x1，其中(x )被称为迭代函数，并且由于把f (x)=0转换成等效方程x=(x )的方法不是唯一的，所以迭代格式也有不唯一的，如果有的话收敛的话发散当还取初始值，这样类推时，x3=0. 9940 x4=0. 9990 x5=0. 9998 x6=1. 0000 x7=1. 0000，收敛，因此，原方程式的解为x=1.0000，存在相同方程式的不同的重复格式，收敛性对于b，如果存在常数(0 1 )以使不等式| g (x1

7、) - g(x2)| |x1 - x2|成立，则称为g(x )，在(ii)a、b中不等式： | (x1) - (x2) |x1 - x2|，(0 1 )为(1) (x， b存在唯一的不动点x* () (3) k次迭代得到的近似不动点xk和精确不动点x*有误差估计公式：定理2.2，(x )证明a，b有不动点，不要动，k的情况下，xk收敛于x *？ 由于|x*-x|=|(x*)-(x)|x*-x|.01，因此，如果有x=x*、xa、b，则满足| xk-x *|(xk-1 )-(x * )| xk-1-x *|2|xk-2-x *|k|x0- x b上是连续的，另外，根据中介变量定理，x *。 可知

8、存在b，即，G (x*)=0，即，x*=(x* ) .因此，| xk - x*| /(1-) | xk - xk -1|.这证明了最初的估计式即，如果第二个估计式成立，则不需要Remark :定理条件，而且难以验证定理2.2中的压缩条件，一般(x )是a、b上的压缩映射，例子3:知道方程式2x 7 - lgx0，求出方程式的含根区间，用迭代法求出该方程式解：在此调查区间3.5、4中的迭代法的收敛性时，f (3.5)0将方程式变为等价的形式：根据x(lg x 7 )/2、定理4.2可知，如果存在重复格式xk 1(lg xk 7)/2 x*的闭合附近U(x*，)=x*-，x* (0)，则可以是任意

9、的重复格式xk1=(xk)(k=0， 的定理2.x*为不动点，(x )和(x )在包括x*的相邻U(x* ) (即开区间)内连续，| (x*)| L 1的情况下，在示例43360一般迭代法中获得x3- x -1=0的正实根x*，并获得解3366 因此，因为方程式在(2，4 )中至少有一个根，方程式在(2，)中只有一个根x*，而且只有x * (2，4 )将方程式转换为等效方程式： x2ln x，所以可以使用x0(2，)例5:一般迭代法将方程式x ln x2的区间(2， 中的根，| xk-xk-1|/| xk|10 - 8，以及kxi8. 14617745291461916281114619306013146193200 kxi0. 00000013.0986122893.1309543623.1413378664.14464878131460371433.146143611，另一种重复格式： 注意：对于相同非线性方程的重复格式，在收敛的情况下收敛可能快，也可能收敛可能慢，如图3.00000013.1479184333.1461934413.1461934413.