2020年广东二模试卷(理科数学)

1、2020年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=x|(x7)(x+3)0，B=x|2x22，则AB=()A. x|3x22B. x|3x7C. x|2x7D. x|2x222. 已知复数z=i(ai)(i为虚数单位，aR)，若1a0的解集为()A. (3,3)B. (,2)(1,4)C. (,4)(1,2)D. (,3)(0,3)7. 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若FAFB=0，则该双曲线的离心率为()A. 5B. 2C. 3D. 28. 已知四边形ABC

2、D中，AD/BC，A=30，AB=23，AD=5，E在CB的延长线上，且AE=BE，则AEDB=()A. 1B. 2C. 12D. 39. (x+y+2)6的展开式中，xy3的系数为()A. 120B. 480C. 240D. 32010. 把函数f(x)=2sinx的图象向右平移3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，关于g(t)的说法有：函数g(x)的图象关于点(3,0)对称；函数g(x)的图象的一条对称轴是x=12；函数g(x)在3,2上的最上的最小值为3；函数g(x)0,上单调递增，则以上说法正确的个数是()A. 4个B.

3、3个C. 2个D. 1个11. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，连接A1C.若当三棱锥A1CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1CDE外接球的体积为823，则a=()A. 2B. 2C. 22D. 412. 已知函数f(x)=12ax2+cosx1(aR)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为()A. (,0)B. (,01,+)C. (,11,+)D. (,0)1，+)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x，y满足约束条件x+y30,xy30x10,，则z=y2x的最大值是_14. 已知cos(+12)=3

4、5，则sin(2+23)=_15. 从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60的有_对16. 如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆(x1)2+y2=1交于C，D两点，若2|AC|=|BD|，设直线l的斜率为k，则k2=_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列an和bn满足anbn+1an+1bn2anan+1=0，且a1=1，b1=1，设cn=bnan(1)求数列cn的通项公式；(2)若an是等比数列，且a2=3，求数列bn的前n项和Sn18. 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况

5、，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30的产品为合格品旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示质量指标频数(15,202(20,258(25,3020(30,3530(35,4025(40,4515合计100(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高根据已知图表数据填写下面列联表(单位：件)，并判断是否有95%的把握认为“产品质

6、量高与新设备有关”非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其，中n=a+b+c+d(3)用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望19. 如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，BDPA，E是BC上一点，且EC=3BE，设ACBD=O(1)证明：PO平面ABCD；(2)若BAD=60，PAPE，求二面角APEC的余弦值20

7、. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，P是椭圆C上一点若椭圆C的离心率为22，且PF1F1F2，PF1F2的面积为22(1)求椭圆C的方程；(2)已知O是坐标原点，向量m=(1,1)过点(2,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点若点Q(x,y)满足OQm=1，OM+ON=OQ，求的最小值21. 已知函数f(x)=aexexa(a0)(1)求直线l的直角坐标方程；(2)已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线于点A，且直线l1与直线l的夹角为45，若|PA|的最大值为6，求a的值23. 已知函数f(x)=|x1|+|x+3|(1)解不等式：

8、f(x)6；(2)若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2493答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A=x|(x7)(x+3)0=x|3x7，B=x|2x22，AB=x|2x7.故选：C求出集合A，B，由此能求出AB本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】解：因为复数z=i(ai)=1+ai，所以|z|=a2+1，由于1a2，即1a20，则有x130x13，解可得x21x4，即不等式的解集为(,2)(1,4)；故选：B根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析

9、可得关于x的取值范围，即可得答案本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集7.【答案】D【解析】解：如图，由FAFB=0，得AOB=90，即AOF=45，ba=tan45=1，即a=b则e=ca=1+(ba)2=2故选：D由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到ba=1，则离心率可求本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题8.【答案】A【解析】解：在ABD中，由余弦定理有，BD2=AB2+AD22ABADcos30=12+25223532=7，BD=7，易知ABE=A=30，又AE=BE，AB=23，故BE=3co

10、s30=2，AEDB=(BEBA)(ABAD)=BEABBEADBAAB+BAAD=223cos150+25+(23)2+523cos150=1故选：A先由余弦定理求得BD=7，再根据题设条件求得BE=2，而AEDB=(BEBA)(ABAD)展开，利用数量积公式化简求解即可本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题9.【答案】C【解析】解：把(x+y+2)6的展开式看成6个因式(x+y+2)的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含xy3的项；故含xy3项的系数为：61532222=240

11、故选：C把(x+y+2)6的展开式看成6个因式(x+y+2)的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含xy3的项，求出xy3项的系数本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目10.【答案】C【解析】解：把函数f(x)=2sinx的图象向右平移3个单位长度，得y=2sin(x3)，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)=2sin(2x3).g(3)=2sin(233)=30，函数g(x)的图象不关于点(3,0)对称，故错误；g(12)=2sin(63)=2，函数

12、g(x)的图象的一条对称轴是x=12，故正确；当x3,2时，2x33,23，则2sin(2x3)3,2，即函数g(x)在3,2上的最上的最小值为3，故正确；当x0,时，2x33,53，可知函数g(x)在0,上不单调，故错误正确命题的个数为2故选：C通过平移变换与伸缩变换求得函数g(x)的解析式由g(3)0判断错误；由g(12)=2求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数g(x)在0,上不单调判断错误本题考查命题的真假判断与应用，考查y=Asin(x+)型函数的图象与性质，是中档题11.【答案】B【解析】解：在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，

13、所以：A1DE为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：AK=12DE=12a2+a2=22a；要想三棱锥A1CDE的体积最大；需高最大，则当A1DE面BCDE时体积最大，此时三棱锥A1CDE的高等于：12DE=12a2+a2=22a；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥A1CDE的外接球球心在OH上；三棱锥A1CDE外接球的体积为823；所以球半径R=2；如图：OH2=OC2CH2； AO2=AG2+GO2；即：R2a2=OH2；R2=(22aOH)2+(22a)2；联立可得a=2；故选：B要想体积最大，需高最大，当A1DE面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论本题考查的知识

14、要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型12.【答案】D【解析】解：因为f(x)=sinx+ax(xR)令g(x)=sinx+ax，则g(x)=cosx+a，所以当a1时，g(x)=cosx+a0，即g(x)在R上单调递增，又g(0)=sin0=0，所以x0,+)，f(x)0，当x(,0)，f(x)0，所以k2=1m2=16+122，故答案为：16+122由题意设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长|AB|的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得|CD|为圆的直径，求出|AC|+|BD|的值，再由题意可得|A

15、C|的值，由题意可得A的横坐标，代入直线的方程，可得A的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题17.【答案】解：(1)依题意，由anbn+1an+1bn2anan+1=0，可得anbn+1an+1bn=2anan+1，两边同时乘以1anan+1，可得bn+1an+1bnan=2，即cn+1cn=2，c1=b1a1=1，数列cn是以1为首项，2为公差的等差数列，cn=1+2(n1)=2n1，nN*(2)由题意，设等比数列an的公比为q，则q=a2a1=31=3，故an=13n1=3n1，nN*由(1)知，cn=2n1，且cn=bnan，则bn=c

16、nan=(2n1)3n1，所以：Sn=130+331+(2n1)3n1，3Sn=131+332+(2n1)3n，得：2Sn=1+231+232+233+23n1(2n1)3n，=1+2323n1313(2n1)3n，=2(2n2)3n，所以Sn=(n1)3n+1【解析】(1)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式(2)利用乘公比错位相减法的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型18.【答案】解：(1)估计新设备所生产的产品的优质品率为30+25+15100100%=70%，估计旧设备所生产

17、的产品的优质品率为5(0.06+0.03+0.02)100%=55%(2)补充完整的22列联表如下所示，非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200K2=200(30554570)275125100100=4.83.841，有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”(3)由(1)知，新设备所生产的优质品率为0.7，而X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C30(10.7)3070=0.027，P(X=1)=C31(10.7)2071=0.189，P(X=2)=C32(10.7)1072=0.441，P(X=3)=C33(10.7)0073=

18、0.343X的分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343数学期望E(X)=00.027+10.189+20.441+30.343=2.1【解析】(1)由频数分布表可知，将(30,45的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将(30,45的频率/组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；(2)先填写22列联表，再根据K2的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；(3)由(1)知，新设备所生产的优质品率为0.7，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学

19、期望本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题19.【答案】(1)证明：四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，BDAC，BDPA，PAAC=A，BD平面PAC，PO平面PAC，BDPOPA=PC，O是AC的中点，POACAC平面ABCD，BD平面ABCD，ACBD=O，PO平面ABCD；(2)解：由(1)知，PO平面ABCD，BDAC以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设四边形ABCD的边长为4，PO=a四边形ABCD是菱形，BAD=60，ABD与BCD

20、都是等边三角形OA=OC=23P(0,0，a)，A(23,0，0)，C(23,0，0)，E(32,32,0)，PA=(23,0,a)，PE=(32,32,a)，EC=(332,32,0)PAPE，PAPE=(23,0,a)(32,32,a)=0，即3+a2=0，得a=3PA=(23,0,3)，PE=(32,32,3)设平面PAE的法向量为m=(x1,y1,z1)，由mPA=23x13z1=0mPE=32x1+32y13z1=0，取z1=2，得m=(1,533,2)；设平面PEC的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，由nEC=332x232y2=0nPE=32x2+32y23z2=0，取x2=

21、1，得n=(1,3,2)设二面角APEC的平面角为，则cos=|mn|m|n|=155二面角APEC的余弦值为155【解析】(1)由已知可得BDAC，BDPA，由直线与平面垂直的判定可得BD平面PAC，得到BDPO.再由POAC.进一步得到PO平面ABCD；(2)由(1)知，PO平面ABCD，BDAC.以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设四边形ABCD的边长为4，PO=a.由PAPE列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APEC的余弦值本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与

22、思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题20.【答案】解：(1)依据题意得ca=22，所以c2a2=a2b2a2=1b2a2=12，所以a2=2b2，因为PF1F1F2，故设P(c,y0)，代入椭圆方程得y0=b2a，所以PF1F2的面积为：12|F1F2|y0|=cb2a=22联立a2=2b2cb2a=22c2=a2b2，解得b=1，a=2b=2，所以椭圆C的方程为：x22+y2=1(2)由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：y=k(x2)，联立y=k(x2)x22+y2=1，消去y并整理得(1+2k2)x28k2x+8k22=0，所以=(8k2)24(1+2k2)(8

23、k22)0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k221+2k2，因为OM+ON=OQ，所以(x1+x2,y1+y2)=(x,y)，当k=0时，=0，当0时，x=x1+x2=8k2(1+2k2)，y=y1+y2=1k(x1+x2)4k=4k(1+2k2)，因为OQm=1，所以x+y=1，所以8k2(1+2k2)+4k(1+2k2)=1，所以=8k24k(1+2k2)=4(1k+11+2k2)=4(1k+12(k+1)24(k+1)+3)=4(112(k+1)+3k+14)44264=26，当且仅当k=621时取等号，且k=621满足0，所以26，

24、综上min=26【解析】(1)根据题意可得方程组联立a2=2b2cb2a=22c2=a2b2，解得b，a，进而得出椭圆C的方程(2)设直线l的方程为：y=k(x2)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k221+2k2，因为OM+ON=OQ，得(x1+x2,y1+y2)=(x,y)，当k=0时，=0，当0时，x=x1+x2=8k2(1+2k2)，y=y1+y2=1k(x1+x2)4k=4k(1+2k2)，因为OQm=1，所以x+y=1，代入化简得=8k24k(1+2k2)化简，利用基本不等

25、式可得出答案本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题21.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域是R，f(x)=aexe，a0时，f(x)0对xR恒成立，f(x)在R递减，函数无极值，0a0，解得：xlnea，令f(x)0，解得：xlnea，f(x)在(,lnea)递减，在(lnea,+)递增，x=lnea时，f(x)取极小值1，f(lnea)=aelneaelneaa=1，即elnaa+1=0，令m(x)=elnxx+1(0xe)，则m(x)=exx，0x0，m(x)在(0,e)递增，m(1)=0，a=1；(2)a=1，f(x)=exex1，f(x)+2xxln(x+1)0ex+(2e)x1xln(x+1)0，令g(x)=ex+(2e)x1x2(x0)，g(x)=ex2x+2e，令h(x)=ex2x+2e，(x0)，h(x)=ex2，令h(x)0，解得：xln2，令h(x)0，解得：x0，h(1)=0，存在x0(0,ln2)使得h(x0)=0，g(x)在0,x0)递增，在(x0,1)递减，在(1,+)递增，g(0)=g(1)=0，g(x)min=0，x0时，ex+(2e)x1x20，即ex+(2e)x1x2，令q(x)=xln(x+1)，(x0)，则q(x)=11x+10对于x0恒成立，q(x)在0,