2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题学案理北师大版

1、高考的特殊突破导数在高考中的应用测试现场自检1.如果函数f(x)=2 sinx(x0，)在p点的图像的切线平行于函数g (x)=2在q点的图像的切线，那么直线PQ的斜率是()A.B.2C.D.回答一f(x)=2cos x-2，2的分析，g(x)=2(当且仅当x=1时，取等号)。当两个函数的切线平行时，XP=0，xq=1。即P(0，0)的斜率，q，线PQ是。2.(2017年国家二级)如果x=-2是函数f(x)=(x=-2 ax-1) ex-1的极值点，则f(x)的最小值为()A.-1b-2e-3c . 5e-3d . 1回答一解析函数f (x)=(x2 ax-1) ex-1，然后f (x)=(2

2、x a) ex-1 (x2 ax-1) ex-1=ex-1x2+(a+2)x+a-1。X=-2是函数f(x)的极值点，并得到它f(-2)=e-3(4-2a-4+a-1)=(a-1)e-3=0，所以a=-1。因此，f (x)=(x2-x-1) ex-1，f (x)=ex-1 (x2 x-2)。它认为ex-1 0是常数，如果x=-2或x=1，f(x)=0，如果x 0；当-2 x 1时，f(x)0；当x 1时，f(x) 0。因此，x=1是函数f(x)的最小点。因此，函数f(x)的最小值是f(1)=1。因此，选择一个.3.(2018西宁质检)如果f (x)=-x2 bln (x 2)在(-1，)上下降

3、，b的取值范围为()A.-1，+) B.(-1，+)C.(-，-1 D.(-，-1)答案三分析表明f(x)=-x0在(-1，)上始终为真，即b x (x 2)在(-1，)。因为g (x)=x (x 2)在(-1，)和g (-1)=-1，b -1时增加。选择c。4.如果直线y=kx b是曲线y=ln x 2的切线，曲线y=ln (x 1)的切线，那么b=0。回答1-2y=lnx 2的解析切线方程为y=x lnx1 1(假设切点的横坐标为x1)。y=ln (x 1)的切线方程是y=x ln(x2 1)-(让切点的横坐标为x2)。X1=，x2=-, b=lnx1 1=1-ln2。5.(江苏，2017

4、)众所周知，函数f (x)=x3-2x ex-，其中e是自然对数的基数。如果f (a-1) f (2a2) 0，实数a的取值范围为。回答因为f (-x)=(-x) 3-2 (-x) e-x-=-x3+2x-ex+=-f(x)，因此，f(x)=x3-2x ex-是奇数函数。因为f (a-1) f (2a2) 0，因此，f (2a2) -f (a-1)，即f(2 a2)-f(1-a)。因为f(x)=3 x2-2 ex e-x3 x2-2 2=3x2 0，=在x=0时成立，因此，f(x)在r中增加，因此，2a2 1-a，即2a21-a-1 0。so-1AA1。第一个问题用导数来研究函数的性质例1 (

5、2018沈阳质检)，让f (x)=xlnx-ax2 (2a-1) x，a R .(1)让g(x)=f(x)并求出g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x=1时得到最大值，这是实数a的取值范围.式(1)是f(x)=ln x-2ax 2a，G (x)=ln x-2ax 2a，x(0，)，因此，g(x)=-2a=。当a0，x(0，)，g(x) 0时，函数g(x)增大；当a 0且x时，g(x) 0且函数g(x)增大，而当x时，g(x)0且函数g(x)减小。因此，当a0时，函数g(x)的增长区间为(0，)；当a 0时，函数g(x)的递增区间为：递减的间隔是。(2)从(1)开始，f(1)=0。(1)当a

6、0时，f(x)增加，因此，当x(0，1)，f(x)0，f(x)减小时，当x(1，)，f(x) 0时，f(x)增加，因此，f(x)在x=1时得到最小值，这不符合问题的含义；当0 a 1时，从(1)可知f(x)现在正在增加。当x(0，1)，f(x)0时，当x，f(x) 0时。因此，f(x)在(0，1)处下降，在(0，1)处上升。因此，f(x)在x=1时得到最小值，这不符合问题的含义；当a=，即=1时，f(x)在(0，1)处增加，它在(1，)中减少，因此，当x(0，)、f(x)0时，f(x)减小，这不符合话题的含义；当a 时，即0 1，当x，f(x) 0时，f(x)增加，当x(1，)时，f(x)0，

7、f(x)减小。因此，f(x)在x=1时得到最大值，这符合问题的含义。总而言之，实数a的取值范围是。思维升华主要是利用导数研究函数的单调性、极值和最大值。已知f(x)的单调性，可将其转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上总是成立的问题。带参数函数的最大值问题是高考中的一个热门话题。解决这类问题的关键是讨论极值点与给定区间的位置关系。此时，应注意结合导数函数图像的性质进行分析。跟踪训练1知道一个R，并且函数f (x)=(-x2 ax) ex (x r，e是自然对数的基数)。(1)当a=2时，求函数f(x)的递增区间；(2)如果函数f(x)在(-1，1)上增加，求a的取值范围.(1)当a=2

8、时，f (x)=(-x2 2x) ex，所以f (x)=(-2x 2) ex (-x2 2x) ex=(-x2+2)ex。让f(x)0，即，(-x2)ex0，因为ex0，因此，-x2 20，解是-0，所以-x2 (a-2) x a 0对于x(-1，1)成立。也就是说，a =(x1)-对于x(-1，1)成立。让y=(x 1)-，然后y=1 0。因此，y=(x1)-在(-1，1)上增加，因此，y(1-1)=，即a。当A=被测试时，它符合问题的意思。因此，的值范围是。问题2:用导数研究函数的零点例2让函数f (x)=ln x，m R .(1)当m=e(e (e是自然对数的基数)时，求f(x)的最小值

9、；(2)讨论函数g(x)=f(x)-的零点个数。解(1)是假设当m=e，f (x)=ln x。然后f(x)=(x0)，从f(x)=0，x=e .当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上减小时，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上增加时，当x=e，f(x)得到最小值f (e)=ln e=2，f(x的最小值)是2。(2)g(x)=f(x)-(x0)，设g (x)=0，m=-x3 x (x0)。设 (x)=-x3 x (x 0)，然后(x)=-x2 1=-(x-1)(x 1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上增加；当x(1，)，(x)0和(x)在(1，)上单调递减

10、时。 x=1是(x)的唯一极值点和最大点，所以x=1也是(x)的最大点。(x的最大值)是 (1)=。而 (0)=0，结合y= (x)的图像(如图所示)，我们可以看到1)当m时，函数g(x)没有零点；当m=时，函数g(x)只有一个零点；当为0时，函数g(x)没有零点；当m=或m0时，函数g(x)只有一个零；00时。(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明了如果f(x)中有零点，则区间(1)中只有一个零点。(1)解函数的域是(0，)。f (x)=-klnx (k0)，f(x)=x-=。f(x)=0时，解为x=(负值被截断)。f(x)和f(x)在区间(0，)内随x的变化如下表所示：x(0，)(，

11、+)f(x)-0+f(x)因此，f(x)的递减区间是(0，)。增加的间隔是(，)。F(x)在x=处获得最小值，它是无限的。(2)从(1)中证明了区间(0，)中f(x)的最小值是f ()=。因为f(x)有零点，它0，所以ke，当k=e时，f(x)在区间(1)中减小，f(x)=0。因此，x=是区间(1)中f(x)的唯一零，；当ke，f(x)在区间(1)中减小时，和f(1)=0，f()=0，因此，f(x)在区间(1)中只有一个零点。总而言之，如果f(x)中有零点，那么在区间(1)中就只有一个零点。问题三用导数来研究不等式问题例3(2017年陕西省宝鸡市质量检查)，让函数f (x)=ax2lnx b

12、(x-1)，曲线y=f (x)与点(e，E2-e 1)相交，点(1，0)的切线方程为y=0。(1)找出a和b的值；(2)证明当x1时，f(x)(x-1)2；(3)如果当x1时f (x) m (x-1) 2成立，则得到实数m的取值范围。(1)根据问题的含义，f (x)=ax2lnx b (x-1)的定义域是(0，)，f(x)=2ax NX ax b(x0)。f(1)=a+b=0。f(e)=ae2+b(e-1)=a(e2-e+1)=e2-e+1，a=1,b=-1.(2)证明f (x)=x2lnx-x 1，f(x)-(x-1)2=x2ln x+x-x2，设g (x)=x2lnx x-x2 (x 1)

13、，G (x)=2xln x-x 1。根据(g(x)=2ln10，得到g(x)在1，)，g(x)g(1)=0，g(x)在1，)上增加，g(x)g(1)=0.f(x)(x-1)2.(3)让h (x)=x2lnx-x-m (x-1) 2 1 (x 1)，然后h(x)=2xln x-2m(x-1)-1，根据(2)，x2lnx (x-1) 2 x-1=x (x-1)，xln xx-1，h(x)3(x-1)-2m(x-1)=(3-2m)(x-1).(1)当3-2m 0，即mh(x)0时，h(x)在1，)上增加， h (x) h (1)=0成立。当3-2m0，即m，h(x)=2xln x+(1-2m)(x-

14、1)，(h(x)=2ln x+3-2m，让(h (x)=0得到x0=1。当x1，x0)，h(x)减小时，h(x)h(1)=0。h(x)在1，x0上减少， h (x) h (1)=0，即h(x)0不成立。总而言之，m。当不等式为常数或通过思维升华有解时，常用参数分离法来解决参数取值范围问题。然而，如果分离参数后的相应函数不便于求解其最大值，或者求解其最大值很麻烦，则可以通过直接构造函数来求解。跟踪训练3知道函数f (x)=x3-2x2 x a，g(x)=2x。如果任何x1-1，2都有x22，4，那么f (x1)=g (x2)，则取实数a的值回答解析问题等价于f(x)的值域，它是g(x)值域的子集

15、，显然，g(x)正在减少， g (x)最大值=g (2)=,g(x)最小值=g(4)=-；f(x)，f(x)=3 x2-4x 1，让f(x)=0，得到x=或x=1。当x变化时，f(x)和f(x)的变化列表如下：x-1(-1，)1(1，2)2f(x)+0-0+f(x)a-4+aaa+2f(x)max=a+2,f(x)min=a-4，a.1.(2017浙江)已知函数f(x)=(x)-e-x .(1)求f(x)的导数函数；(2)找出区间上f(x)的取值范围。(1)因为(x-)=1，(e-x)=-e-x，因此，f(x)=e-x-(x)-e-x。=。(2)从f(x)=0，X=1或X=。当x发生变化时，f(x)和f(x)的变化如下表所示：x1f(x)-0+0-f(x)0f(x)=(1)2e-x0。因此，区间上f(x)的取值范围为。2.众所周知，函数f (x)=x