2018年高考数学二轮复习 专题08 平面向量教学案 理

1、专题专题 0808 平面向量平面向量 高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题 一般为中档题，各种题型均有可能出现 预测 2018 年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应 用数学知识分析、解决问题的能力 1向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量 (2)零向量的模为 0，方向是任意的，记作 0. (3)长度等于 1 的向量叫单位向量 (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量 (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量零向量和任一向量平行 2共线向量定理 向量a a(a a0)与b b共线，当且仅当存在唯一一个

2、实数，使b ba a. 3平面向量基本定理 如果e e1、e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，有 且只有一对实数1、2，使a a1e e12e e2. 4两向量的夹角 已知两个非零向量a a和b b，在平面上任取一点O，作a a，b b，则AOB(0 OA OB 180)叫作a a与b b的夹角 5向量的坐标表示及运算 (1)设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 a ab b(x1x2，y1y2)，a a(x1，y1) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1) AB 6平面向量共线的坐标表示 已知a a(x1，y1)

3、，b b(x2，y2)， 当且仅当x1y2x2y10 时，向量a a与b b共线 7平面向量的数量积 设为a a与b b的夹角 (1)定义：a ab b|a a|b b|cos. (2)投影：|a a|cos叫做向量a a在b b方向上的投影 a ab b |b b| 8数量积的性质 (1)a ab ba ab b0； (2)当a a与b b同向时，a ab b|a a|b b|；当a a与b b反向时，a ab b|a a|b b|；特别地， a aa a|a a|2； (3)|a ab b|a a|b b|； (4)cos. a ab b |a a|b b| 9数量积的坐标表示、模、夹角

4、已知非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2) (1)a ab bx1x2y1y2； (2)|a a|； x2 1y2 1 (3)a ab bx1x2y1y20； (4)cos. x1x2y1y2 x2 1y2 1x2 2y2 2 【误区警示】 1两向量夹角的范围是0，a ab b0 与a a，b b为锐角不等价；a ab b0 与 a a，b b为钝角不等价 2点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别 3a a在b b方向上的投影为，而不是. a ab b |b b| a ab b |a a| 4若a a与b b都是非零向量，则a ab b0a a与b b共线，若a a与

5、b b不共线，则 a ab b00. 考点一考点一平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算 例 1 【2017 课标 1，理 13】已知向量a，b的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】2 3 所以|2 |122 3ab . 【变式探究】(2016高考全国甲卷)已知向量a a(m,4)，b b(3，2)，且a ab b，则 m_. 解析：基本法：a ab b，a ab b 即(m,4)(3，2)(3，2) Error!Error!故m6. 速解法：根据向量平行的坐标运算求解： a a(m,4)，b b(3，2)，a ab b m(2)430 2m120，m

6、6. 答案：6 【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量() AC BC A(7，4)B(7,4) C(1,4) D(1,4) 答案：A 【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接” ；平行四边形法则要保证两 向量“共起点” ，结合几何法、代数法(坐标)求解 (2)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则() EB FC A. B. AD 1 2AD C. D. BC 1 2BC 解析：基本法一：设a a，b b，则b ba a，a ab b，从而 AB AC EB 1 2 FC 1 2 EB FC (a ab b)，故选 A. ( 1

7、 2b ba a) ( 1 2a ab b) 1 2 AD 基本法二：如图， () EB FC EC CB FB BC EC FB 1 2 AC AB 2. 1 2 AD AD 答案：A 考点二考点二平面向量数量积的计算与应用平面向量数量积的计算与应用 例 2 【2017 天津，理 13】在ABC中，60A ，3AB ，2AC .若 2BDDC ，()AEACABR ，且4AD AE ，则的值为_. 【答案】 3 11 【变式探究】(2016高考全国丙卷)已知向量，则 BA ( 1 2， 3 2) BC ( 3 2 ，1 2) ABC() A30 B45 C60 D120 解析：基本法：根据向

8、量的夹角公式求解 ，|1，|1， BA ( 1 2， 3 2) BC ( 3 2 ，1 2) BA BC BA BC 1 2 3 2 3 2 1 2 ， 3 2 cosABCcos， . BA BC BA BC |BA |BC | 3 2 0， 180，ABC， 30. BA BC BA BC 速解法：如图，B为原点，则A( 1 2， 3 2) ABx60，CCBx30，ABC30. ( 3 2 ，1 2) 答案：A 【变式探究】(1)向量a a(1，1)，b b(1,2)，则(2a ab b)a a() A1 B0 C1 D2 答案：C 【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，

9、其数量积的计算可利用定 义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量 的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单 (2)已知正方形ABCD的边长为 2，E为CD的中点，则_. AE BD 解析：基本法：以、为基底表示和后直接计算数量积 AB AD AE BD ， AE AD 1 2AB BD AD AB () AE BD (AD 1 2AB ) AD AB |2 |222 222. AD 1 2 AB 1 2 速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角 坐标系

10、，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， (1,2)，(2,2)， AE BD 1(2)222. AE BD 答案：2 考点三考点三 平面向量的综合应用平面向量的综合应用 例 3、 【2017 课标 3，理 12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且 与BD相切的圆上.若AP = AB +AD ，则+的最大值为 A3B22C5D2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 【举一反三】 【2017 江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),0,.xxxab （1）若ab,求x的值； （2）记( )f x a b,求( )f x

11、的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】 （1） 5 6 x （2）0 x 时， f x取得最大值，为 3； 5 6 x 时， f x取得最小值，为2 3. （2） cos ,sin3,33cos3sin2 3cos 6 f xa bxxxxx . 因为0,x，所以 7 , 666 x ， 从而 3 1cos 62 x . 于是，当 66 x，即0 x 时， f x取到最大值 3； 当 6 x，即 5 6 x 时， f x取到最小值2 3. 1.【2017 课标 3，理 12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上.若AP = AB +AD ，则+的

12、最大值为 A3B22C5D2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 设 0,1 ,0,0 ,2,1 ,ABDP x y 根据等面积公式可得圆的半径是 2 5 ，即圆的方程是 2 2 4 2 5 xy ,1 ,0, 1 ,2,0APx yABAD ，若满足 APABAD 即 2 1 x y ， ,1 2 x y ，所以 1 2 x y ，设 1 2 x zy ，即 10 2 x yz ，点 ,P x y 在圆 2 2 4 2 5 xy 上，所以圆心到直线的距离d r ， 即 22 15 1 4 z ，解得1 3z ，所以z的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A。 2.【2017

13、 北京，理 6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得 mn”是“ 0m n ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 3.【2017 课标 II，理 12】已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一 点，则()PAPBPC 的最小是（ ） A.2 B. 3 2 C. 4 3 D.1 【答案】B 【解析】如图，以BC为x轴， BC的垂直平分线DA为y轴， D为坐标原点建立 平面直角坐标系，则0, 3A， 1,0B ， 1,0C，设,P x y，所以 , 3PAxy ， 1,PBxy ， 1,PCxy ，

14、所以 2 , 2PBPCxy ， 22 22322(PAPBPCxyyxy 2 333 ) 222 ，当 3 0, 2 P 时，所求的最小值为 3 2 ，故选 B 4.【2017 课标 1，理 13】已知向量a，b的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】2 3 5.【2017 天津，理 13】在ABC中，60A ，3AB ，2AC .若 2BDDC ，()AEACABR ，且4AD AE ，则的值为_. 【答案】 3 11 【解析】 0 12 3 2 cos603, 33 AB ACADABAC ,则 122123 34934 33333311 AD AE

15、ABACACAB . 6.【2017 山东，理 12】已知 12 ,e e是互相垂直的单位向量，若 12 3ee与 12 ee的夹 角为60，则实数的值是 . 【答案】 3 3 7【2017 浙江，15】已知向量a，b满足1,2, ab则abab的最小值是 _，最大值是_ 【答案】4，2 5 【解析】设向量, a b 的夹角为，由余弦定理有： 22 122 1 2 cos54cosab ， 22 122 1 2 cos54cosab ，则： 54cos54cosabab ， 令54cos54cosy，则 22 102 25 16cos16,20y， 据此可得： maxmin 202 5,164

16、abababab ， 即abab 的最小值是 4，最大值是2 5 8.【2017 浙江，10】如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记 1 IOAOB ， 2 IOBOC ， 3 IOC OD ，则 A 321 III B 231 III C 213 III D 312 III 【答案】C 【解析】因为90AOBCOD ， OAOC， OBOD，所以 0OB OCOA OBOC OD ，故选 C。 9.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为 1,1,2, OA 与OC 的夹角为,且 tan=7,OB 与

17、OC 的夹角为 45.若OCmOAnOB ( ,)m nR, 则mn . A C B O (第 12 题) 【答案】3 10.【2017 江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),0,.xxxab （1）若ab,求x的值； （2）记( )f x a b,求( )f x的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】 （1） 5 6 x （2）0 x 时， f x取得最大值，为 3； 5 6 x 时， f x取得最小值，为2 3. （2） cos ,sin3,33cos3sin2 3cos 6 f xa bxxxxx . 因为0,x，所以 7 , 666 x ， 从而 3 1cos

18、62 x . 于是，当 66 x，即0 x 时， f x取到最大值 3； 当 6 x，即 5 6 x 时， f x取到最小值2 3. 1.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量(1,)(3, 2)am a ，=，且()abb +，则 m （ ） （A）8 （B）6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量ab(4,m2) ，由(ab)b 得4 3(m2) ( 2)0 ，解得 m8，故选 D. 2.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两 个三等分点，4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是 . 【答案】 7 8 3.【2016 年高

19、考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足DA =DB =DC , DA DB =DB DC =DC DA =-2，动点P，M满足AP =1，PM =MC ，则 2 BM 的 最大值是( ) （A） 43 4 （B） 49 4 （C） 376 3 4 （D） 372 33 4 【答案】B 【解析】甴已知易得1220 , DAADCADBDDBDCBC .以 D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 2 , 0 ,1,3 ,1,3 .ABC设,P xy由已知1AP ，得 2 2 21xy， 又 1313 3 , 2222 xyxy PMMCMBM 2 2 2 +13 3 4 x

20、y BM ，它表示圆 2 2 21xy 上的点 xy， 与点 1,3 3 的距离的平方的 1 4 ， 2 22 2 max 149 33 31 44 BM ，故选 B. 4.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两 个三等分点，4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是 . 【答案】 7 8 【2015 高考福建，理 9】已知 1 ,ABAC ABACt t ，若P 点是ABC 所 在平面内一点，且 4ABAC AP ABAC ，则PB PC 的最大值等于（ ） A13 B 15 C19 D21 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，建立平面直

21、角坐标系，如图所示，则 1 ( ,0)B t ，(0, )Ct， 1AP （，0)+4(0, 1)=(1, 4)，即1P （，4)，所以 1 1PB t =（，-4) ， 1PC =（，t -4) ，因此PB PC 1 1416t t 1 17(4 ) t t ，因为 11 4244tt tt ，所以PB PC 的最大值 等于13，当14t t ，即 1 2 t 时取等号 【2015 高考湖北，理 11】已知向量OAAB ，| 3OA ，则OA OB . 【答案】9 【2015 高考山东，理 4】已知菱形ABCD的边长为a ，60ABC ,则 BD CD （ ） （A） 2 3 2 a （B）

22、 2 3 4 a （C） 2 3 4 a （D） 2 3 2 a 【答案】D 【解析】因为 BD CDBD BABABCBA 2 222 3 cos60 2 BABC BAaaa 故选 D. 【2015 高考陕西，理 7】对任意向量, a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A| |a ba b B| |abab C 22 ()|abab D 22 ()()ab abab 【答案】B 【解析】因为cos,a ba ba ba b ，所以选项 A 正确；当a 与b 方向相反 时，abab 不成立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选 项 C 正确； 22 ababab ，所

23、以选项 D 正确故选 B 【2015 高考四川，理 7】设四边形 ABCD 为平行四边形，6AB ，4AD .若点 M，N 满足3BMMC ，2DNNC ，则AM NM （ ） （A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C 【2015 高考安徽，理 8】CA是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足 2aA ，C2abA ，则下列结论正确的是（ ） （A）1b （B）ab （C）1a b （D）4Cab 【答案】D 【解析】如图， 由题意，(2)2BCACABabab ，则| 2b ，故A错误； |2 | 2| 2aa ，所以| 1a ，又 2 2(2)4|22 2cos602A

24、B ACaabaab ，所以1a b ，故,B C错误； 设,B C中点为D，则2ABACAD ，且ADBC ，而 22(2)4ADaabab ，所以4Cab ，故选 D. 【2015 高考福建，理 9】已知 1 ,ABAC ABACt t ，若P 点是ABC 所 在平面内一点，且 4ABAC AP ABAC ，则PB PC 的最大值等于（ ） A13 B 15 C19 D21 【答案】A 【2015 高考天津，理 14】在等腰梯形ABCD 中,已知 / /,2,1,60ABDC ABBCABC ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且, 1 , 9 BEBC DFDC 则AE AF 的

25、最小值为 . 【答案】 29 18 【解析】因为 1 , 9 DFDC 1 2 DCAB ， 11919 9918 CFDFDCDCDCDCAB ， AEABBEABBC ， 1919 1818 AFABBCCFABBCABABBC ， 22191919 1 181818 AE AFABBCABBCABBCAB BC 19199 42 1 cos120 1818 2117211729 2 9218921818 当且仅当 21 92 即 2 3 时AE AF 的最小值为 29 18 . B A D C E F 1. 【2014 高考福建卷第 8 题】在下列向量组中，可以把向量2 , 3a表示出来

26、的是 （ ） A.)2 , 1 (),0 , 0( 21 ee B .)2, 5(),2 , 1( 21 ee C.)10, 6(),5 , 3( 21 ee D.) 3 , 2(),3, 2( 21 ee 【答案】B 【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有 )2, 5(),2 , 1( 21 ee成立.故选 B. 【考点定位】平面向量的基本定理. 2. 【2014 高考广东卷理第 5 题】已知向量1,0, 1a ，则下列向量中与a 成60的 是（ ） A.1,1,0 B.1, 1,0 C.0, 1,1 D.1,0,1 【答案】B 【考点定位】空间向量数量积与空间

27、向量的坐标运算 3. 【2014 高考湖南卷第 16 题】在平面直角坐标系中,O为原点, ),0 , 3(),3, 0(,0 , 1CBA 动点D满足CD =1，则OAOBOD 的最大值是_. 【答案】17 【考点定位】参数方程、三角函数 4. 【2014 高考江苏卷第 12 题】如图在平行四边形ABCD中，已知8,5ABAD， 3,2CPPD AP BP ，则AB AD 的值是 . A DC B P 【答案】22 【解析】由题意， 1 4 APADDPADAB ， 33 44 BPBCCPBCCDADAB ， 所以 13 () () 44 AP BPADABADAB 2213 216 ADA

28、D ABAB ， 即 13 22564 216 AD AB ，解得22AD AB 【考点定位】向量的线性运算与数量积 5. 【2014 陕西高考理第 13 题】设 2 0 ，向量1coscos2sin，ba ， 若ba /，则tan_. 【答案】 1 2 【考点定位】共线定理；三角恒等变换. 6. 【2014 高考安徽卷理第 10 题】在平面直角坐标系xOy中，已知向量 , ,1,0,a b aba b 点Q满足2()OQab .曲线 cossin ,02 CP OPab ，区域0,PrPQR rR .若 C为两段分离的曲线，则( ) A.13rR B.13rR C.13rR D.13rR 【

29、答案】A 【解析】设(1,0),(0,1)ab ，则( 2, 2)OQ ，(cos ,sin )OPxx ，区域 表示的是平面上的点到点( 2, 2)Q的距离从r到R之间，如下图中的阴影部分圆环， 要使C为两段分离的曲线，则13rR，故选 A. 【考点定位】平面向量的应用、线性规划. 7. 【2014 高考北京卷理第 10 题】已知向量a、b满足1|a，) 1 , 2(b，且 0ba（R） ，则| . 【答案】5 【解析】当0ba，则ab，于是|ab，因为) 1 , 2(b，所以 5|b， 又因为1|a，所以5|. 【考点定位】平面向量的模 8. 【2014 高考湖北卷理第 11 题】设向量(

30、3,3)a ，(1, 1)b ，若 abab ，则实数 . 【答案】3 【解析】 因为)3 ,3( ba，)3 ,3( ba， 因为)()(baba，所以0)3)(3()3)(3(，解得3. 【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积 10. 【2014 江西高考理第 15 题】已知单位向量 1 e 与 2 e 的夹角为，且 1 cos 3 ， 向量 12 32aee 与 12 3bee 的夹角为，则cos= . 【答案】 2 2 3 【考点定位】向量数量积及夹角 11. 【2014 辽宁高考理第 5 题】设, ,a b c 是非零向量，已知命题P：若0a b ， 0b c ，则0a c ；命题q

31、：若/ / , / /ab bc ，则/ /ac ，则下列命题中真命题是（ ） Apq Bpq C()()pq D()pq 【答案】A 【解析】由题意可知，命题 P 是假命题；命题 q 是真命题，故pq为真命题. 【考点定位】命题的真假 12. 【2014 全国 1 高考理第 15 题】已知CBA,为圆O上的三点，若 ACABAO 2 1 ，则AB与AC的夹角为_ 【答案】 0 90 【解析】由 1 + 2 AOAB AC （），故, ,O B C三点共线，且O是线段BC中点，故 BC是圆O的直径，从而 0 90BAC，因此AB与AC的夹角为 0 90 【考点定位】平面向量基本定理 13. 【

32、2014 全国 2 高考理第 3 题】设向量a,ba,b满足|a+ba+b|=10，|a-ba-b|=6，则a ab b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 14. 【2014 高考安徽卷理第 15 题】已知两个不相等的非零向量,ba两组向量 54321 ,xxxxx和 54321 ,yyyyy均由 2 个a和 3 个b排列而成.记 5544332211 yxyxyxyxyxS， min S表示S所有可能取值中的最小值.则下 列命题的是_（写出所有正确命题的编号）. S有 5 个不同的值. 若 ,

33、b a 则 min S与a无关. 若 , b a则 min S与b无关. 若ab4，则0 min S. 若 2 min | 2|,8|ba Sa ，则a与b的夹角为 4 2222 min3 4( )8| cos4|8|SSa bbaaa ，2cos1， 3 ，故错误.所以正确的编号为 【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积. 15. 【2014 四川高考理第 7 题】平面向量(1,2)a ，(4,2)b ，cmab （ mR） ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m （ ） A2 B1 C1 D2 【答案】 D. 【解析】 由题意得： 58820 2 52 5 c ac bc ac bmm m cacbab ， 选 D. 法二、由于 OA，OB 关于直线yx对称，故点 C 必在直线yx上，由此可得2m 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 16. 【2014 浙江高考理第 8 题】记 , max , , x xy