广西柳州市鹿寨县鹿寨中学2020学年高二数学下学期第三次月考试题 理（含解析）（通用）

1、广西柳州市鹿寨县鹿寨中学2020学年高二数学下学期第三次月考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知均为实数，若（为虚数单位），则（ ）A. 0B. 1C. 2D. -1【答案】C【解析】分析】将已知等式整理为，根据复数相等可求得结果.【详解】由题意得：，即：则： 本题正确选项：【点睛】本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运

2、算，属于基础题.3.某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（ ）A. 1700B. 1750C. 1800D. 1850【答案】A【解析】【分析】根据扇形图可求得在校高中生人数和高中男生人数；再根据初中生人数为高中生人数的倍和初中男生所占比例可求得初中男生人数，加和得到结果.【详解】在校高中生有：名，其中高中男生有：名在校初中生有：名，其中初中男生有：名全校在校男生共有：名本题正确选项：【点睛】本题考查根据扇形统计图计算总数和频数的问题，属于基础题.4.已知，则的大小关系是（ ）A.

3、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据幂函数在上的单调性即可求得结果.【详解】幂函数在上是减函数 ，即：本题正确选项：【点睛】本题考查利用幂函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.5.已知三棱柱的高为2，底面三角形的边长分别为3，4，5.若球内切于三棱柱，其正视图和俯视图如图所示，则其左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正视图和俯视图可知，由球与三个侧面相切即可得到结果.【详解】设球的半径为，由正视图、俯视图可得又球与三棱柱的三个侧面相切，可得其左视图如选项所示本题正确选项：【点睛】本题考查三视图判断问题，属于基础题.6.已知等差数列的公差为2，且，

4、成等比数列，则的前9项和为（ ）A. 0B. 12C. 72D. 18【答案】A【解析】【分析】根据，成等比数列可得，将等式表示为和公差形式，可求得，利用等差数列前项和公式求得结果.【详解】由题意得：，即：解得：的前项和为：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列前项和的计算，关键是利用等比关系构造出关于等差数列首项的方程，解方程求得首项.7.在正方形中，是的中点，与交于点，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据可知，根据平面向量基本定理可求得，从而求得和的值，进而求得结果.【详解】在正方形中，可知 ， 本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键

5、是利用三角形相似得到.8.已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，点是上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可知是线段靠近点的三等分点；根据的横坐标可求得点的横坐标，利用，根据抛物线焦半径公式可求得结果.【详解】由，得是线段靠近点的三等分点由得：，点横坐标为：点的横坐标为： 本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线性质的应用，关键是能够根据向量的关系确定点的位置，结合抛物线焦半径公式求得结果.9.一个袋中装有大小相同的黑球和白球共6个，从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球，则得到的都是白球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案

6、】B【解析】【分析】根据摸一个球得到黑球的概率求得黑球和白球的数量，利用古典概型可求得结果.【详解】由题意知：黑球有：个，则白球有个所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的概率问题求解，属于基础题.10.已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心、为半径的圆与轴交于两点，与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取的中点，利用点到直线距离公式可求得，根据可得，从而可求得渐近线方程.【详解】如图，取的中点，则为点到渐近线的距离则又为的中点 ，即：故渐近线方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键

7、是能够利用点到直线距离公式和中位线得到之间的关系.11.已知是上以3为周期的奇函数，且，则（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】D【解析】【分析】由奇函数可得且；由周期为可得；利用奇偶性和周期性可求得，进而得到；加和得到结果.【详解】是上的奇函数 且又周期，即，又 本题正确选项：【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用问题，属于中档题.12.在三棱锥中，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中点为，由二面角平面角的定义可知；根据球的性质可知若和中心分别为，则平面，平面，根据已知的长度关系可求得，在直角三角形中利用

8、勾股定理可求得球的半径，代入球的表面积公式可得结果.【详解】取的中点为由和都是正三角形，得，则是二面角的平面角，即设球心为，和中心分别为由球的性质可知：平面，平面又， ，外接球半径：外接球的表面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，关键是能够利用球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理求解出球的半径.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数满足不等式组，则的最小值是_【答案】1【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解在轴截距的最小值；根据图象可知当过时，截距最小，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部

9、分所示：将变为：则求的最小值即为求在轴截距的最小值由图象平移可知，当直线过点时，截距最小则：本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是将问题转化为在轴截距最小的问题，属于基础题.14.已知为等差数列的前项和，且，若是的最小值，则_【答案】5【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式可求得和，从而得到通项公式；根据求得，进而得到结果.【详解】由得：，解得：由得：，解得：由，解得： 本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列前项和的最值问题，关键是能够求出等差数列的通项公式，从而根据变号项确定取值.15.若函数在区间上是单调函数，则实数最大值是_【答案】【解析】【分析】求出函数

10、的单调减区间，利用子集思想，即可得到结果.【详解】令，即，函数图象在区间上单调递减，所以的最大值为故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的单调性的逆用，考查推理能力与计算能力，属于中档题.16.已知函数有四个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可知是偶函数，根据对称性问题转化为直线与曲线有两个交点.【详解】因为是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，而，则当时，当时，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，故故答案为：【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题

11、设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在四边形中，.（1）求的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理求得，可得，从而求得；（2）根据三角形和四边形内角和分别求得，；在中利用正弦定理可求得结果.【详解】（1）在中

12、，由余弦定理，得：由，得：（2）由（1）得： 在中，由正弦定理得：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，属于基础题.18.如图，在直角梯形中，为的中点.将沿折起，使点到达点的位置，且平面与平面所成的二面角为.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意可得故平面，从而得到平面平面(2) 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系求出及平面的法向量，代入公式可得结果.【详解】证明：在直角梯形中，由平面几何的知识，得四边形为正方形，则又平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.解：由得

13、是二面角的平面角，即 .又，所以为正三角形.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系则从而设平面的一个法向量为，则即，得设直线与平面所成角为则直线与平面所成角的正弦值.【点睛】用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上在第二象限内的一点，且直线的斜率为.（1）求点的坐标；（2）过点作一条斜率为正数的直线与椭圆从左向右依次交于两点，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存

14、在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，使得【解析】【分析】（1）由和直线的斜率可得方程；代入椭圆方程解方程即可求得点坐标；（2）由和点坐标得：轴；假设直线：，代入椭圆方程可求得的范围和韦达定理的形式，利用韦达定理表示出，可整理出，从而可得；结合轴可知，进而得到结果.【详解】（1）由及直线的斜率为得直线的方程为：代入椭圆方程整理得：解得：或（舍），则：点的坐标为（2）由及得：轴设直线的方程为：代入椭圆方程整理得：由直线与椭圆交于，两点得：，结合，解得：由韦达定理得：，直线和的倾斜角互补，从而结合轴得：，故综上所述：存在，使得【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到交点坐标的求解、椭

15、圆中满足某条件的定值问题的求解问题，考查了韦达定理在直线与椭圆问题中的应用问题，对计算能力有一定的要求.20.某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：分组人数平均成绩标准差正科级干部组806副科级干部组704（1）求；（2）求这40名科级干部预测成绩的平均分和标准差；（3）假设该区科级干部的“党风廉政知识”预测成绩服从正态分

16、布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值.利用估计值估计：该区科级干部“党风廉政知识”预测成绩小于60分的约为多少人？附：若随机变量服从正态分布，则；.【答案】（1）8,32；（2）72，6；（3）36.【解析】【分析】（1）首先求得样本容量与总体的比为，根据比例可求得；（2）根据平均数计算公式可求得平均数；根据正科级和副科级干部组的标准差可分别求得正科级和副科级干部组每个人成绩的平方和；代入方差公式可求得总体的方差，进而得到标准差；（3）首先确定的估计值，的估计值；根据原则求得；根据正态分布曲线可求得，从而可求得预测成绩小于分的人数.【详解】（1）样本容量与总体的比为：则抽取的

17、正科级干部人数为；副科级干部人数为，（2）这名科级干部预测成绩的平均分：设正科级干部组每人的预测成绩分别为，副科级干部组每人的预测成绩分别为则正科级干部组预测成绩的方差为：解得：副科级干部组预测成绩的方差为：解得：这名科级干部预测成绩的方差为这名科级干部预测成绩的平均分为，标准差为（3）由，得的估计值，的估计值由得：所求人数为：人【点睛】本题考查统计中的频数的计算、平均数和方差、标准差的求解、正态分布中的概率求解问题，是对统计知识的综合考查，属于常规题型.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；（2）证明见

18、解析.【解析】【分析】（1）求得后，分别在和两种情况下判断导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将所证问题变为证明：；令，利用导数分别求出和，因为最值取得的点不同，可证得，继而得到结论.【详解】（1）函数的定义域为，当时，则函数在上单调递增；当时，由得：当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增（2）要证，即证，即证：设，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增是的极小值点，也是最小值点 令，则当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减是的极大值点，也是最大值点 ，当时，前后取等号的条件不一致 综上所述：当时，【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到讨论含参数函数的单调性，证明不等式的问题.本题中证明不等式的关键是将问题转变为两个函数之间最值的比较，易错点是忽略最值取得点的不同，从而导致证明错误.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题