太原市高三一模试卷分析数学(理)

1、太原市太原市 20152015 年高三年级模拟试题（一）年高三年级模拟试题（一） 数学试卷（理工类）数学试卷（理工类） 一、选择题 1、已知(1 + i)z = 2i，则复数z =（） A.1 + iB.1 iC.1 + iD.1 i 考点：复数的运算 答案：A 2、已知全集U = R，集合M = x|(x 1)(x + 3) 0,N = x|x| 1,则下图阴影部分表示的 集合是（） A.-1,1）B.(-3,1C.(-,3)-1,+）D.(-3,-1) M 考点：集合之间的简单运算 答案：D 3、在单调递减等比数列an中，若a 3 1,a 2 a 4 A.2B.4C.2D.22 考点：数列

2、的运算 答案：B 4、已知函数f (x) log 2 x，若在1,8 上任取一个实数x0，则不等式1 f (x0) 2成立的 概率是（） A、 N U 5 ，则a1（） 2 1 B、 1 C、 2 D、 1 4272 考点：几何概型 答案：C 5、执行如右图所示程序框图，则输出a （） A、20B、14C、10D、7 开始 a 10,i 1 否 i 2015? 是 输出a 结束 是 a3a1 a 是奇数 否 a a 2 i i 1 考点：读程序框图 答案：C 6、已知函数f (x) sin(x )( 0,| 的最小正周期是，若将其图像向右平移) 2 个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f (

3、x)的图像（） 3 对称B、关于直线 5 对称A、关于直线x x 1212 5 C、关于点( ,0)对称 D、关于直线( ， 0)对称 1212 考点：三角函数图像及性质 答案：B 7、已知在圆x2+ y2 4y + 2y = 0内，过点 E（1,0）的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD， 则四边形 ABCD 的面积为 A、35B、65C、415D、215 考点：圆与直线位置关系 答案：D 8、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A、16B、32C、32D、48 考点：由三视图求体积 答案：C x 9、已知实数a,b满足2 3,3 2，则函数f x a xb 的零点所在的

4、区间是 ab A. 2,1 B. 1,0 C. 0,1 D.1,2 考点：指数函数，函数的零点问题 答案：B x 2 10、已知实数x, y满足条件x y 4若目标函数z 3x y的最小值为 5，其最大 2x yc 0 值为 A. 10B. 12C. 14D. 15 考点：线性规划 答案：A 11、已知点为双曲线C的对称中心，过点的两条直线l 1 与l2的夹角为60，直线l 1 与双 曲线C相交于点A 1,B1 ，直线l2与双曲线C相交于点A 2 ,B 2 ，若使A 1B1 A 2B2 成立的直 线l 1 与l2有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是 2 3 A. 3 ,2 B. 2 3

5、,2 C. 3 2 3 3 ,+ D. 2 3 ,+ 3 考点：双曲线离心率的求解 答案：A 12、 已知数列a n的通项公式为 a n 1 则Sn n2n1cos n 其前n项和为Sn，1nN， 2 A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 考点：数列前n项和的求解 答案：D 二、填空题 rr r r r r r r r r 2a ba b 6 a 2, b 1 13.已知向量a,b满足，且，则a与b的夹角为。 答案：120O 1 14、已知2x 展开式的二项式系数之和为 64，则其展开式中常数项是_. x 考点：二项式定理 答案：60 n 15、已知在直角梯形ABCD中，AB AD

6、,CD AD,AB 2AD 2CD 2将已知在直 角梯形沿AC折叠成三棱锥D ABC，当三棱锥D ABC体积取最大值时其外接球的体 积为 考点：球的内切问题 答案： 4 3 3 2 16、已知定义在 R 上的奇函数f (x)满足f ( x) f (x), f (2) 3，数列an的前 n * 项和为S n ，且a 1 1,S n 2a n n(n N )，则f (a 5 ) f (a 6 ) 考点：构造数列和函数的对称性及周期性。 答案：3 三、解答题 17、已知a,b,c分别是ABC的角A,B,C所对的边，且c 2,C （）若ABC的面积等于 3，求a,b； （）若sinC sin(B A)

7、 2sin2A,求A的值。 解： （） c 2,C 3 。 3 ，由余弦定理得4 a2b22abcos 3 a2b2ab。 1 ABC的面积等于3，absinC 3,ab 4。 4 分 2 a 2b2ab 4 联立解得a 2,b 2。 6 分 ab 4 （）sinC sin(B A) 2sin2A,sinB Asin(B A) 4sin Acos A, sinBcosA 2sin AcosA。 8 分 当cos A 0时，则A 2 。 9 分 sinB 2sin A,由正弦定理得b2a， 当cos A 0时， a 2b2ab 4 2 34 3 解得a ,b 联立， 33b 2a b2 a2c2

8、, C 综上所述，A 18、 某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40 件产品，测量这些 产品的重量（单位：克） ，整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为 3 ,A 6 , 2 或A 6 。 12 分 490,495，495,500，500,505，505,510，510,515） （I）若从这 40 件产品中任取两件，设X 为重量超过 505 克的产品数量，求随机变量X 的分布列； （II）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取 5 件产品，求恰有两件 产品的重量超过 505 克的概率。 解： （I） 根据频率分布直方图可知， 重量超过 50

9、5 克的产品数量为 0.010.05540 12 由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2 2112C 28 C 28C12 C 12 632811 ，PX 1，PX 0 2 P X 2 22C 40 130C 40 65C 40 130 随机变量 X 的分布列为 （II）由题意得该流水线上产品的重量超过505 克的概率为 0.3 设 Y 为该流水线上任取 5 件产品重量超过 505 克的产品数量，则Y : B5,0.3 故所求概率为PY 2C50.3 0.7 0.3087 223 X P 012 63 130 28 65 11 130 19、 （本小题满分 12 分） 如图，在斜三

10、棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B 底面 ABC，侧棱AA1与底面 ABC 的所成角为60 ，AA1= 2，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，点 G 为ABC的重心，点 E 在BC1上，且 BE= 1 BC 1. 3 （1）求证：GE 平面 AA1B1B； （2）求平面B1GE与底面 ABC 所成锐角二面角的余弦值； 解析： （1）证明：连接B1E，并延长交 BC 于点 F，连接AB1,AF , ABC A1B1C1是三棱柱， BC B1C1， EFBEB1C1， 1BEEFBF1 又 BE =BC1， =， 3EC1EB1B1C12 1 BF =BC， F 是 BC 的中点。

11、 2 GFBF1 点 G 是ABC 的重心， 点 G 在 AF 上，且=， AGEB12 GE AB1， GE 平面 AA1B1B； （2）证明：过点A1作A1O AB，垂足为 O，连接 OC, 侧面 AA1B1B 底面 ABC， A1O 底面 ABC， A1AB = 60 AA1= 2， AO = 1， AB = 2， 点 O 是 AB 的中点 又 点 G 是正三角形 ABC 的重心 点 G 在 OC 上， OC AB， A1O 底面 ABC， A1O OB，A1O OC 以 O 为圆心，分别以OC，OB，OA 为 x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系O-xyz，由 题意可得： A（0， -

12、1,0） ， B （0,1,0） ， C （3， 0,0） ， A1（0,0， B1（0,2， C1（3，1，3）3） ，3） 1 3 3 3 3 3 则 G(,0，0)， BE =BC1= (,0，)， E(,1，)， 333333 = (0，1， GE 23 3 3 )，B E = （， 1， ） 1 333 设 n=（x,y,z）是平面B1GE的一个法向量，则 3 z = 0， ， GE 3 32 3 B1 E， z = 0，x y 33 y + 令z = 3，则x = 3，y = 1， = （3， 1，3） 由（1）知OA1= （0，0，3）是平面 ABC 的一个法向量， 设平面B1G

13、E与底面 ABC 所成锐二面角为，则有： cos = 21 =. | |7 x2y2 1 点为椭圆上的20、 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左右焦点F 1,F2 其离心率为e ，P ab 2 一个动点，PF 1F2 内切圆面积的最大值为 (1)求 a,b 的值 4 3 uuu ruuu r uuu ruuu u r uuu r uuu r (2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点， 且满足F 1A/FC1 ,F 1B/F1D,ACBD0, uuu ruuu r 求| AC | BD|的取值范围。 解析： （1）当P为椭圆上下顶点时PF 1F2 内切圆面积的最大值设PF 1F2 内切圆

14、半径r ， S PF 1F2 112 3 | F 1F2 |OP|bc (|F 1F2 | F 1P| F2P|)r (ac) 223 1 Qe a 2c,b 2 3,a 4 2 uuuuuruuu r uuu ruuu u r uuu r uuu r （2）Q F 1A/FC1 ,F 1B/F1D,ACBD0,直线 AC，BD垂直相交于点F 1 由（1）椭圆 22xy 方程1F （0） 1 -2， 1612 uuu ruuu r 直线AC，BD有一条斜率不存在时| AC | BD|=6+8=14 当AC斜率存在且不为 0 时， 设方程 y k(x2),A(x 1, y1),C(x2 , y

15、2 ) 则 A,C 是方程组的 两组解 x 2y2 1 1612 y k(x2) 1 k 16k2 x x r 24(k21)12 34k2 uuu ,| AC | 234k2 x x 16k 48 12 34k2 BD方程y (x2)同理 x2y2 1 uuur 24(k21) 1612 | BD | 43k2 y 1 (x 2) k uuu ruuu r | AC| BD|= 2 168(k21)2 (43k2)(34k2) 设t k 1(k 0),t 1 uuu ruuu r | AC| BD|= ruuu r 96168t 11 uuu Qt 10 2 | AC| BD|,14 t 1

16、 t47 12 2t uuu ruuu r 96 ,14| AC | BD| 由的取值范围 7 21、已知函数f (x) x a(xln x),aR. （I）若当a 1时，求f (x)的单调区间； （II）若f (x) 解： （I）由题意得x(0,)， 2 1 (e1)a，求a的取值范围。 2 2x2 x1 当a 1时，则f (x) x xln x, f (x) ， x 2 令f (x) 0，则0 x 1;令f (x) 0，则x1； ，单调增区间是1,)。 f (x)的单调减区间是（0,1） （II）当a 0时，f (x) x，显然符合题意； 当a 0时，当0 x e1 1 a 2 1时， 1

17、1 f (x) 1aaln x 1aa(1) 0 (e1)a，不符合题意； a2 当a 0时，则 2x2axa f (x) ， x 2 令f (x) 0，则存在x0(0,)，使得2x 0 ax 0 a 0，即f (x 0 ) 0， 令f (x) 0，则0 x x0；令f (x) 0，则x x0， 2 f (x) min f (x 0 ) x 0 a(x 0 ln x 0 ) 1 a(x 0 1)2ln x 0 ， 2 1 Q f (x) (e1)a,x 0 2ln x 0 (e2) 0,0 x 0 e 2 222x2e 2Q 2x 0 ax 0 a 0,a 0(,0) x 0 1e1 2e2

18、,0 综上所述，实数a的取值范围( e1 22.22.选修选修 4-14-1：几何证明选讲：几何证明选讲 如图， 已知点C是以AB为直径的半圆O上一点， 过C的直线交 AB 的延长线于E， 交过点A的圆O的切线于点D，BC/ /OD，AD AB 2. （1）求证：直线DC是圆O的切线； （2）求线段EB的长. 答案：答案： （1）证明：连接OC，QAD是圆O的切线，DAO 90o Q BC / /OD,AOD OBC,DOC BCO Q OB OC,OBC BCO, AODDOC, 又Q OA OC,OD OD,VOCD VOAD, DCO DAO 90o,OC DC, 直线DC是圆O的切线； （2）设EB x,Q BC / /OD, EBEC , BOCD QDC是圆O的切线，DC DA 2, Q BO 1 AB 1,EC 2x， 2 由（1）得，直线EC是圆O的切线，EC2 EBEA， 4x2 xx2,EB x 2 . 3 23.23. 选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 x 1 3cos 在直角坐标系xOy中， 曲线C1的参数方程为 y 3sin （其中为参数） ， 点M uuu ruuuu r 是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足OP 2OM. （1