高三数学大一轮复习 3.3导数的应用（二）教案 理 新人教A版

1、3.3导数的应用(二)2014高考会这样考1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等综合问题；2.利用导数研究方程根的个数，证明不等式或不等式恒成立问题；3.利用导数解决实际问题复习备考要这样做1.理解数形结合思想、转化思想在导数中的应用；2.会建立函数模型解决不等式问题、实际问题等1 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题2 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题思路，因此使用的知识还是

2、函数的单调性和极值的知识难点正本疑点清源1利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用2将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题来处理1 函数f(x)ax3x恰有三个单调区间，则a的取值范围是_答案(，0)解析f(x)3ax21，依题意得f(x)3ax21有两个不相等的实根，a0时，aacos xa，a1，0a1；当a0时适合；当a0时，aacos xa，a1，1a0.综上，1a1.3 若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(2,2)解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f

3、(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2,2)4 若f(x)，0abe，则f(a)、f(b)的大小关系为_答案f(a)f(b)解析f(x)，0ab0，即f(x)0，f(x)为增函数，f(a)1的解集为()A(3，2)(2,3)B(，)C(2,3)D(，)(，)答案A解析由题图知，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，又f(2)1，f(3)1，所以所求不等式等价于2x263，解得2x3或3xln 21且x0时，exx22ax1.思维启迪：证明不等式时要构造函数，利用函数的单调性来解题(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)e

4、x2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，

5、)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.探究提高利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口当0xx.证明设f(x)tan x，则f(x)1x2tan2xx2(tan xx)(tan xx)因为0x，所以x0，即x时，f(x)为增函数所以x时，f(x)f(0)而f(0)0，所以f(x)0，即tan x0.故tan xx.题型

6、二利用导数研究恒成立问题例2已知函数f(x)ln x.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0或f(x)0确定单调性(2)根据单调性求f(x)在1，e上的最小值列方程求解(3)f(x)xln xx3求xln xx3的最大值解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，

7、此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立探究提高(1)求函数的单调区间，直接求导，然后

8、解不等式即可，注意函数的定义域(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用 已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_答案4，)解析当x(0,1时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)题型三利用导数研究函数的零点或方程根的方法例3已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m

9、的取值范围思维启迪：分别求出f(x)的极大、极小值，使ym界于极大值与极小值之间解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x.由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(3,1)探究提高(1)

10、对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐统一(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识 已知函数f(x)x3x26xa.(1)对xR，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若函数f(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为xR时，f(x)m恒成立，对xR，恒有3x29x(6m)0.因此8112(6m)0，得m.实数m的最大值为.(2)因为当x0，当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)

11、取极大值f(1)a；当x2时，f(x)取极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0仅有一个实根，解得a.当a或a2时，函数f(x)仅有一个零点 导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011辽宁)设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.考点分析本题考查曲线的切线、导数的几何意义，考查函数在闭区间上的最值解题策略本题的关键点：P(1,0)点处切线斜率为2，可以列方程解出a，b；证明不等式时可以构造函数，利用函数的单调性来证明不等式规范解答(1)解f(x)12ax.1分由已知条

12、件得即4分解得5分(2)证明因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.8分当0x0，当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.12分解后反思利用函数的导数研究不等式问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目二审结论会转换典例：(12分)已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若

13、a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方审题路线图求f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求f(x)0的解，即f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求f(x)在1，e上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)f(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证F(x)1时，F(x)0，故f(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)0，在区间1，)上，F(x)0恒成立即f(x)0 (f(x)0在有限个点处取到)2 导数为0的点不一定是极

14、值点，极大值未必大于极小值A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根4a243(a6)0，即a23a180.a6或a2 Bm2Cm0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)10恒成立，m0成立，当0时，则m280，2m0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_答案9解析f

15、(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.7 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_答案13解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n

16、)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.三、解答题(共22分)8 (10分)设函数f(x)ax33x2 (aR)，且x2是yf(x)的极值点(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；(2)求函数g(x)exf(x)的单调区间解(1)f(x)3ax26x3x(ax2)，因为x2是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1.经验证，当a1时，x2是函数yf(x)的极值点所以f(x)3x26x3x(x2)所以yf(x)的单调增区间是(，0)，(2，)；单调减区间是(0,2)(2)g(x)ex(x33x2)，g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x

17、)(x)ex，因为ex0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)，(，)；单调减区间是(，)，(0，)9已知函数f(x)xb的图象与函数g(x)x23x2的图象相切，记F(x)f(x)g(x)(1)求实数b的值及函数F(x)的极值；(2)若关于x的方程F(x)k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围解(1)依题意，令f(x)g(x)，得12x3，故x1，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的切点为(1,0)将切点坐标代入函数f(x)xb可得b1.(或：依题意方程f(x)g(x)，即x22x2b0有惟一实数解，故224(2b)0，即b1)F(x)(x1)(x23x2)x34x25x2，故F(x

18、)3x28x53(x1)，令F(x)0，解得x1或x，列表如下：x(，)(，1)1(1，)F(x)00F(x)极大值极小值0从上表可知F(x)在x处取得极大值，在x1处取得极小值0.(2)由(1)可知函数yF(x)的大致图象如图所示作函数yk的图象，当yF(x)的图象与函数yk的图象有三个交点时，关于x的方程F(x)k恰有三个不等的实数根，结合图形可知：k.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为()A. B.C1，e D(1，e)答案A解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos x

19、sin x)excos x，当0x时，f(x)0，且只有在x时，f(x)0，f(x)是上的增函数，f(x)的最大值为fe，f(x)的最小值为f(0).f(x)在上的值域为.2 若函数f(x) (a0)在1，)上的最大值为，则a的值为()A. B. C.1 D.1答案D解析f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，由奇、偶函数的性质知，当x0，g(x)0)，函数f(x)在1，)上为增函数，f(x)0对x1，)恒