极值和极值点的概念

1、2.6.1 极值和极值点的概念 定义2.6 设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义，,若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有,(1) f (x0) f (x)，,则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值，,x0 称为 f (x) 的极大值点；,(2) f (x0) f (x)，,则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值，,x0 称为 f (x) 的极小值点；,函数的极大值、极小值统称为函数的极值，,极大值点、极小值点统称为极值点.,2.6 函数的极值和最大（小）值及其求法,显然，在图中， x1，x4 为 f (x) 的极大值点，,x2，x5 为 f (x) 的极

2、小值点.,再看下面函数曲线：,极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而 是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定 大于极小值,如P41书上图2-5,定理 2.6 (极值的必要条件),设函数 y = f (x) 在 x0 处可导，,且 f (x0) 为极值(即 x0 为值点)，则,f (x0) = 0.,即函数的极值点必为驻点或不可导点, (极值的第一充分条件),设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续)，,若当 x 在该邻域内由小于 x0 连续地变为大于 x0 时，,其导数 f (x) 改变符号，,则 f (x0) 为函数的极值.,x0

3、 为函数的极值点，,并且,(1)若导数 f (x) 由正值变成负值，,则 x0 为极大值点，,f (x0) 为 f (x) 的极大值；,(2)若导数 f (x) 由负值变成正值，,则 x0 为极小值点，,f (x0) 为 f (x) 的极小值.,( 极值的第二充分条件 ),(1)当 f (x0) 0 时，则 x0 为极小值点，f (x0)为极小值；,(2)当 f (x0) 0 时，则 x0 为极大值点，f (x0)为极大值.,若 f (x0) = 0，且 f (x0) 0，,则 x0 是函数的极值点，f (x0) 为函数的极值，,并且,设函数 y = f (x) 在 x0 处的二阶导数存在，,

4、运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是：,(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；,(2)考察上述点两侧一阶导数的符号(或考察上述点的二阶导数的符号)，确定极值点；,(3)求出极值点处的函数值，得到极值.,补充例题1. 求f (x)=x33x29x+5的极值.,解: f (x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3),令f (x)=0 解得驻点 x1= 1, x2=3,x = 1: x0. x1时 f (x)0,x=3: x3时 f (x)0, 极大值f (1)=10., 极小值 f (3)= 22.,补充例题2. 求 f (x)=,的极值,解:,x 0时, f (x) 0

5、,故得 极小值f (0)=0,补充例题3. 求,的极值.,解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间0, 2 ),令 f (x)=cosxsinx = 0,又,有,得驻点,由定理2.6知,由周期性知,分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.,补充例 题4求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值.,解(1)定义域为 (- ,+ ).,f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7).,所以由 f (x) = 0 可得 f (x) 的三个驻点：,该函数在定义区间内无不可导的点，,上述驻点将定义区间分为四个子区间,(2) 当 x (-, 1)时， f (

6、x) 0；,f (x) 0；,当 x (2, + ) 时， f (x) 0.,因此，由定理 3 可知， x = 1 为极大值点，,x = 2 不是极值点(因为在 x = 2 的两侧 f (x) 同为正号).,(3)计算极值,极大值 f (1) = (1 - 1)2 (1 - 2)3 = 0，,有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：,补充例题 5求函数 f (x) = x4 10 x2 + 5 的极值.,因为,解(1)定义域为 (- , + ).,f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - 5)，,所以，由 f (x) = 0 可得该函数的三个驻点,所以有,由定理 2.6 可知：,(

7、2)因为,f (x) = 12x2 20，,(3)计算极值：,请阅读书上第41页例1和例2,例1求函数 的极值,例2求函数 在区间 内的极值,函数的最大最小值 在很多实际问题中，需要求出最大或最小值表示这些问题的函数 一般在区间 上是连续的根据以上讨论，具备这种条件的函数 的最大、最小值总是存在的，它们只可能在 的点、 不存在的点或区间端点处取得,求 在 上最大、小值的步骤：,(1)求出 及 不存在的点 ；,(2)比较 的大小其中最大的 便是最大值，最小的便是最小值,补充例题 6. 求f (x)=x48x2+2在1, 3上的最大值和最小值.,解：f (x)=4x3 16x=4x(x2)(x+2

8、),令 f (x)=0 得驻点 x1=0, x2=2, x3= 2(舍去),计算 f (0)=2, f (2)= 14,f (1)= 5, f (3)= 11,所以最小值f (2)= 14, 最大值f (3)= 11,补充例题 7. 求 f (x)=x2ex的最大值和最小值.,解： f (x)在定义域(, )上连续可导且 f (x) = x (2x)ex,令 f (x)=0得驻点 x=0, x=2,有 f (0)=0，f (2)=4e2,且,故 f (x)在定义域内有最小值 f (0)=0，无最大值 .,y=x2ex,0,2,(1) f (x)C( a, b ) ，且在(a, b)内只有唯一极

9、值点x=x0. 则当 f (x0) 极大时便也最大，当f (x0)极小时便也最小.,特例,(2) f (x)C( a,b ), 且在(a, b)内单调增加，则f (a)最小，f (b)最大. 单调减少则相反.,补充例题8. 某企业开发出一种新产品. 已知生产销售 x件产品所需成本费用C = 25000+5x(元). 若每件产品销售价为,问生产销售多少件,产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？,解：目标函数:,= x P C,利润 L = 收入成本,亦即最大值点. 故生产销售 x=2500 件产品可使企业的利润最大，此时,求解：,课常练习试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30 x2 24x + 4,在区间0,3上的最大值和最小值.,解f (x) = 12x3 - 48x2 + 60 x 24,令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，,它们为 f (x) 可能的极值点，,