重积分在直角坐标系下的计算

1、二重积分在直角坐标系下的计算,二、典型例题,一、二重积分计算公式,三、利用对称性简化二重积分的计算,想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？,利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法,.,曲顶柱体的体积,.,曲顶柱体的体积,综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到,就是说，二重积分可以通过 两次定积分来计算。,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.,应用计算“平行截 面面积为已知的立体 体积”的方法,X型,如果积分区域为：,Y型,特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边

2、界相交不多于两点.,Y型,情况三:若D既是 x型区域, 又是 y型区域.,则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分.,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.,此时,情况四:若D的形状较复杂, 既不是 x型区域, 也不是 y型区域.,则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为x型, 或为 y型, 分块积.,如图,二、典型例题,例1,例1,例2,解,例3,解,解,两曲线的交点,例4,例5. 关于分段落函数在D上的积分.,其中D：0 x 1, 0 y 1,解：积分区域如图,记 f (x, y) = | y x |,且区域D1: y x和D2:

3、 y x分处在直线y=x的上，下方.,故，原式 =,注：分段落函数的积分要分块(区域)来积.,另外，带绝对值的函数是分段函数。,改变下列各题的积分次序,例1,解,积分区域如图,例2,解,原式,例3,解,例4,解,例5.求,解：由于,是“积不出”的，怎么办？,要改换积分次序.,先画积分区域D的图形.,由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1,画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1.,如图：,故 原式 =,例6,解,选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。,使用对称性时应注意,1.积分区域关于坐标轴的对称性.

4、,2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇 偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.,三、利用对称性简化二重积分的计算,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,例1. (1),易知,例2,解,例3 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换