数学新学案北师大版选修课件第四章数系的扩充与复数的引入 (2).pptx

1、1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念,一、复数的概念及表示方法 1.虚数单位:把平方等于-1的数用符号i表示,规定i2=-1,把i叫作虚数单位. 2.复数:形如a+bi的数叫作复数(a,b是实数,i是虚数单位),复数通常表示为z=a+bi(a,bR). 3.复数的实部与虚部:对于复数z=a+bi,a与b分别叫作复数z的 实部与虚部.,名师点拨1.虚数不能比较大小. 2.复数a+bi中,a,b均为实数.,答案:0或2,三、复数的有关概念 1.复数的相等:两个复数a+bi与c+di(a,b,c,dR)相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等,记作a+bi=c+di,即a+bi=c+di当且仅当a

2、=c且b=d. 2.复平面: 当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴. 3.模: 复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是对应的.点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,|z|=,名师点拨关于复数相等的两点说明: (1)对于两个复数,若都是实数,则可以比较大小;若两个复数不全是实数,则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分,但却有等与不等之分. (2)复数z=a+bi(a,bR)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是把复数问题转化成实数问题

3、的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,bR)既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识它.,【做一做2】 实部为21,虚部为-3的复数所对应的点位于复平面的() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:由题意知该复数在复平面内对应点为(21,-3),故该点位于第四象限. 答案:D 【做一做3】 已知复数z=a+i(其中aR)的模为 ,则a的值为. 解析:由已知得 ,即a2+1=5,解得a=2. 答案:2,【做一做4】 若(x+y)+yi=(x+1)i.求实数x,y的值.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”

4、,错误的画“”. (1)因为原点在虚轴上,所以数0是虚数. () (2)两个复数一定不能比较大小. () (3)复数a+bi一定不是实数. () (4)虚轴上的点表示纯虚数. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的概念及分类 【例1】 已知mR,复数 +(m2+2m-1)i.当m为何值时,(1)zR;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数. 思路分析:本题需运用复数的有关分类概念来解决,尤其要注意纯虚数的条件是a=0,且b0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决复数分类问题的步骤 1.化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,

5、以确定实部和虚部. 2.定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 3.下结论:设所给复数为z=a+bi(a,bR),z为实数b=0;z为虚数b0;z为纯虚数a=0,且b0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a的值是,实数b的值是.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的相等及应用 【例2】 (1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,yR,求实数x与y; (2)设z1=1+sin -icos , +(cos -2)i,若z1=z2,求.

6、思路分析:先找出两个复数的实部和虚部,再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决复数相等问题的利器化复为实. (1)把两个复数写成代数形式,分清其实部与虚部. (2)确立两个独立参数列出方程组,即实部和虚部分别相等. (3)正确解方程组,得到结果.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)=3,则实数x的值是.,答案:-2,变式训练4若ai+2=b-i(a,bR),i为虚数单位,则a2+b2=.,答案:5,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的几何意义 【例3】求实数a的值使复数 +

7、(a2-2a-15)i(aR)对应的点Z,(1)在复平面的x轴上方;(2)在直线x+y+7=0上. 思路分析:利用复数对应的点的特点转化为关于a的方程或不等式解决.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置确定复数的实部和虚部满足的条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练5若 0,m-10, 复数z对应的点在第四象限. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视虚数不能比较大小而致误 【典例】 求使x+2+(x+y)iy-5+(x

8、+2y-3)i成立的实数x,y的取值. 易错分析:两个虚数是不能比较大小的,只有相等和不相等之分,反之,若两个数可以比较大小,则这两个数必为实数. 解:既然两个复数可以比较大小,则这两个复数必然是实数,纠错心得两个实数可以比较大小,但是当两个复数中至少有一个为虚数时,不能比较大小,如果两个复数能比较大小,不是指实部与实部比,虚部与虚部比,而是说明两个数都是实数,即两个复数的虚部为0,只比较实部.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案:A 2.已知i为虚数单位,则i+i2+i3等于() A.-1B.1C.-iD.i 解析:i2=-1,i+i2+i3=i-1-i=-1. 答案:A,解析:(3a)2+(-6)2=40,a= . 答案:C,4.已知集合A=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,B=-1,3,且AB=3,求实数a的值. 解:AB=3,3A. (a2-3