九年级数学下册相似三角形的性质及应用(学生版)知识点+典型例题

1、相似三角形的性质及应用相似三角形的性质及应用 【学习目标】【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相 似的知识解决一些简单的实际问题 （如何把实际问题抽象为数 学问题）. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质要点一、相似三角形的性质 1 1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. . 2.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比相似三角形中的重要线段的比等于相似比. . 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等 于相似比. 3.3. 相似三角形周长的比等于

2、相似比相似三角形周长的比等于相似比 ，则 由比例性质可得： 4.4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 的高 ， 则 和 S ABC， 则 S ABC 分 别 作 出与 11 BC ADkBCk AD 2 2 =k2 11 BCADBCAD 22 1 / 20 要点诠释：要点诠释： 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来 的. 要点二、相似三角形的应用要点二、相似三角形的应用 1.1.测量高度测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度， 通常使用“在同一时刻 物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法影

3、子测量法手臂测量法标杆测 量法 2.2.测量距离测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离， 常构造如下两种相似 三角形求解。 1 如甲图所示， 通常可先测量图中的线段、 、 的距离 （长度） ， 根据相似三角形的性质，求出的长. 2如乙图所示，可先测、及的长，再根据相似三角形的性 质计算的长. 2 / 20 要点诠释：要点诠释： 1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例 尺= 图上距离/ 实际距离; 2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平 行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3 视点： 观察事物的着眼点 （一般指观察者眼睛的位置） ; 4. 仰（俯）角：观察者

4、向上（下）看时，视线与水平方 向的夹角 【典型例题】【典型例题】 类型一、相似三角形的性质类型一、相似三角形的性质 1. ，若的边长分别为5、6、7，而4 是中一边 的长度，你能求出的另外两边的长度吗？试说明理由. 2.如图所示，已知中，是高，矩形内接于中，且长边 在上，矩形相邻两边的比为1：2，若30，10.求矩形 的面积. 3 / 20 举一反三举一反三 1、如图， 在和中， 的周长是 24，面积是 48，求的周长和面积. 2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为 1200 和 1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 4 / 20 3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为

5、 6、8，按如图 那样折叠，使点A 与点 B 重合，折痕为，则S ：S等于（ ） A. 2：5 B14:25 C16:25 D. 4:21 4、在锐角中，分别为边上的高，和的面积分别等于 18 和 2，2,求边上的高. 5、已知：如图，在与中，与相交于 E 点， 且12，交于 F 点，的面积为 1，求和的面积 5 / 20 6、如图，已知 上(与点 (1)当 (2)当 中， 上. 的面积相等时， 求 的周长相等时， 求 的长. 的长. ，点 在 不重合)，点在 的面积与四边形 的周长与四边形 6 / 20 类型二、相似三角形的应用类型二、相似三角形的应用 3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两

6、点 A、B 之间的距 离(即河宽) ，你有什么方法？ 4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影 子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶 端重叠，此时他距离该塔 18 m，已知小明的身高是 1.6 m， 他的影长是 2 m (1)图中与是否相似?为什么? 7 / 20 (2)求古塔的高度 举一反三 1、小明把一个排球打在离他 2 米远的地上，排球反弹后碰到 墙上，如果他跳起来击排球时的高度是 1.8 米，排球落地点离 墙的距离是 7 米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到 墙上离地多高的地方？ 8 / 20 2、在斜坡的顶部有一铁塔，B 是的中点，是水平的，在阳光的

7、 照射下，塔影留在坡面上。已知铁塔底座宽 12m，塔影长 18m， 小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影 子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分 别为 2m 和 1m，那么塔高为（） A.24m B.22m C.20m D.18m 3、 已知： 如图， 阳光通过窗口照射到室内， 在地面上留下 1.5m 宽的亮区.亮区一边到窗下的墙脚距离 1.2m，窗口高 1.8m，求 窗口底边离地面的高度. 9 / 20 【巩固练习一】【巩固练习一】 一、选择题一、选择题 1如图1 所示，中，若12，则下列结论中正确的 是( ) A C B D （图 1）（图 2

8、） 2. 如图 2, 在中, D、E 两点分别在、边上, . 若 = 2:1, 则 S : S 为 ( ) A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:2 3某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为 94，其中一 块草坪的周长是 36 米，则另一块草坪的周长是（） A24 米 B54 米C24 米或 54 米D36 米或 10 / 20 54 米 4. 图为与重叠的情形，其中 E 在上，交于 F 点，且 .若 与的面积相等，且 9，12，则( ) A3B7C12 D15 5如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚 好射到古城

9、墙的顶端 C 处， 已知， 且测得 1.2 米，1.8 米，12 米， 那么该古城墙的高度是（） A6 米 B8 米 C18 米D24 米 6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的 8 倍，而它的形 状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍. A.2 B.4 C.2 二、填空题 7. 如图所示，为了测量一棵树的高度，测量者在 D 点立一高 2m 的标杆，现测量者从 E 处可以看到杆顶 C 与树顶 A 在同 一条直线上，如果测得20m，4m，1.8m，则树的高度为 D.64 11 / 20 8. 已知两个相似三角形的相似比为 则较大三角形的面积为. ，面积之差为 25， 9如图，小明为了测量一

10、座楼的高，在离点 N 为 20m 的 A 处 放了一个平面镜，小明沿后退到点 C，正好从镜中看到楼顶 M， 若1.5m，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m，请你帮助小明 计算一下楼房的高度是.（精确到 0.1m） 10. 梯形中，交于点O,若S AOD =4，S BOC =9，S 梯形ABCD . 11.如图，在平行四边形中，点 E 为上一点，2:3，连接,且交 于点 F，则S DEF :S BEF :S BAF . 12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原 来的 1 倍，那么边长应缩小到原来的倍. 2 三、解答题 13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1

11、m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢 建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图， 他先测得留在墙上的影高 1.2m， 又测得地面部分的影长 2.7m， 12 / 20 他求得树高是多少？ 14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为， ，并且， 建筑物的一端所在的直线于点 M，交于点 N，小亮从胜利 街的 A 处，沿着方向前进，小明一直站在点 P 的位置等待 小亮 （1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮 所在的位置（用点 C 标出） （2）已知：30m，12m，36m求（1）中的点 C 到胜利街口 的距离 13 / 20 15. 在正方形

12、使 中， 是上一动点，(与不重合)， 为直角，交正方形一边所在直线于点. (1)找出与 (2)当 位于 ，则 相似的三角形. 的中点时，与相似的三角形周长为 的周长为多少？ 【巩固练习二】【巩固练习二】 一、选择题一、选择题 1如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它 相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（） 14 / 20 A只有 1 个 B可以有 2 个C有 2 个以上，但有 限 D有无数个 2. 若平行四边形中，10，6，E 是的中点，在上取一点 F， 使，则的长为（） A1.8B5C6 或 4D8 或 2 3. 如图，已知 D、E 分别是 那

13、么 的、 边上的点， 等于（） 且 A1：9B1：3C1：8D1：2 4如图 G 是的重心，直线 过 A 点与平行.若直线分别与、 交于 D、E 两点，直线与交于 F 点，则的面积 ：四边形的 面积=( ) A1：2B2：1C2：3D3：2 5. 如图，将的高四等分，过每一个分点作底边的平行线， 把三角形的面积分成四部分S 1、S2、S3、S4，则 S 1S2S3S4 等于（） 15 / 20 A.1234 B.2 345 C.1 357 D.3579 6.如图，在中，E 为上一点， ：2：3，连结、 、 ，且、交于 点 F，则 S ：S：S等于( ) A.4： 10： 25 B.4： 9：

14、25C.2： 3： 5 5：25 二、填空题二、填空题 7.如图，梯形中，、相交于点 E， S DEC 1S DEC S2 , S . CEBAEB 16 / 20 D.2： 8.如图，中，点 D 在边上，满足,若 2，1，则. 9.如图，在中，M、N 是上两点，且是等边三角形， 则的度数是 . 10.如图，中，交于点 F，且S EFC =3S EFD ，则S ADE ：S ABC . 11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点 P 时， 发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部， 当他向前再步行 20m 到达 Q 点时， 发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部， 已知丁轩同学的

15、身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路 灯之间的距离是 17 / 20 12.如图，锐角中，分别为边上的高，和的面积分别等 于 18 和 2，2， 则边上的高为. 三、解答题三、解答题 13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进 行了如下操作： 图（1） ：测得竹竿的长为 0.8 米，其影长 1 米，树影长 2.4 米 图（2） ：测得落在地面的树影长 2.8 米，落在墙上的树影 高 1.2 米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？ 18 / 20 14.（1）阅读下列材料，补全证明过程： 已知：如图，矩形中， 、相交于点O，于E，连结交于点F， 作于G求证：点G是线段的一个三等分点 证明证明：在矩形中， ， （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出的一个四等分