角的平分线性质的应用 (3)

1、角平分线的性质（1）,1.角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线.,o,B,C,A,1,2,复习提问,2.点到直线距离,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离.,复习提问,A,O,B,尺规作图,角平分线作法：1.以_为圆心， _长为半径作圆弧， 与角的两边分别交于C， D两点；,2.分别以_为圆心， _的长为半径 作弧，两条圆弧交于 AOB内一点_；,3.作射线_,射线_即为所求.,点O,适当,C，D,超过CD一半,E,OE,OE,A,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分AOB.,

2、证明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS）， MOC=NOC， 即OC平分AOB.,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,共同探究,如图是一个角平分仪，其AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,A,D,B,C,E,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的材料，又该怎么办呢？,共同探究,证明： 在ACD和ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知）， CA=C

3、A（公共边）， ACD ACB（SSS）， CAD=CAB（全等三角形的 对应角相等）. AC平分DAB（角平分线的定义）,验证结论,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,O,N,O,M,C,E,共同探究,(1)平分平角AOB; (2)通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ (3)结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法.,共同探究,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角

4、的平分线上的点到角的两边的距离相等.,共同探究,证明：OC平分 AOB （已知）, 1= 2（角平分线的定义）. PD OA，PE OB（已知）, PDO= PEO（垂直的定义）. 在PDO和PEO中, PDO= PEO（已证）, 1= 2 （已证）, OP=OP （公共边）, PDO PEO（AAS）, PD=PE（全等三角形的对应边相等）.,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E, 求证: PD=PE.,(3)验证猜想,验证结论,利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言）, 1= 2, PD OA， PE OB（已知）, PD=PE（全等三角形 的对应边

5、相等）.,归纳新知,角平分线上的点到角两边的距离相等.,(4)得到角平分线的性质：,角平分线的性质,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.,用符号语言表示为：,A,O,B,P,1,2,1= 2,PD OA ，PE OB， PD=PE.,题设：一个点在一个角的平分线上.,结论：它到角的两边的距离相等.,归纳新知,思考： 要在区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处（比例尺 1：20 000）？,s,公路,铁路,动脑想一想,【解析】 作夹角的平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.,D,C,s,公路,铁路,揭示答案,如图，在ABC中，C=90

6、，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB.,分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件?,DC=DE (因为角的平分线的性质), 再用HL证明.,试试自己写证明.你一定行！,典例精讲,证明: AD平分C, D是AD上一点（已知）,如图，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB,DEAB,DCAC（已知）,在RtCDF和RtEBD中, DF=BD（已知）, DC=DE（已证）,RtCDFRtEDB (HL),CFB（全等三角形对应边相等）.,DCD(角平分线的性质）.,详细解答,B,O,A,C,D,P,E,1.如图，OC是AOB的平分线， PD=PE.,PDOA，PEOB,随堂练习,2.如图,在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE= cm.,E,D,C,B,A,4,2.定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.