自动控制原理(胡寿松)课后习题答案详解

1、胡寿松自动控制原理习题解答第二章 21 设水位自动控制系统的原理方案如图 118 所示，其中Q为水箱的进水流量， 为水箱的用水流量， 12 Q H为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 F，希望水面高度 为，与对应的水流量为，试列出 水箱的微分方程。 0 H 0 H 0 Q 解 当Q时，H；当 021 QQ = 0 H= 21 QQ 时，水面高度H将发生变化，其变化率与流量差Q 21 Q成 正比，此时有 )()( )( 0201 0 QQQQ dt HHd F= 于是得水箱的微分方程为 21 QQ dt dH F= 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 图 2-58 电网络与机械系统 解：（a）

2、：利用运算阻抗法得： 11 1 1 1 / 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 + = + = + = sT R sCR R sC R sC R sC RZ ()()1 1 1 11 2 2 22 22 22 +=+=+=sT sC sCR sCsC RZ 所以： ) 1)(1( ) 1)(1( ) 1( 1 1 ) 1( 1 )( )( 2121 21 2 21 1 2 2 21 20 + + = + + + = + = sTsTsCR sTsT sT sCsT R sT sC ZZ Z sU sU i (b)以和之间取辅助点 A，并设 A 点位移为 1 K 1 fx，方向朝下；根据

3、力的平衡原则，可列出如下原始方程： )()()( 010202 xxfxxfxxK ii &=+ （1） )( 011 xxfxK&= （2） 所以 （3） xKxxfxxK ii10202 )()(=+& 对（3）式两边取微分得 xKxxfxxK ii & & & 10202 )()(=+ （4） 将（4）式代入（1）式中得 )()()()( 021021011021021 xxffxxKfxfKxxfKxxKK iiii & & &=+ 整理上式得 iiii xKKxfKxKfxff xKKxfKxfKxKfxff 21212121 021021011021021 += + & & & &

4、 对上式去拉氏变换得 3 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 )()( )()( 212121 2 21 021211121 2 21 sXKKsfKKfsff sXKKsfKfKKfsff i += + 所以： 2 1 2 21 2 21 2 1 2 212 21 21 2 212 21 21 21211121 2 21 212121 2 210 ) 1)(1( ) 1)(1( 1)( 1)( )( )( )( )( 1 1 1 1 K f s K f s K f s K f s K f K f s K f K f s KK ff s K f K f s KK ff KKsfKfKKfsff

5、KKsfKKfsff sX sX i + + = + + = + + = 所以图 2-58()的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 4 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是 )(20)(10 )( 6tetc dt tdc =+ )(10)(5 )( 20tctb dt tdb =+ 且初始条件均为零，试求传递函数及 )(/ )(sRsC)(/ )(sRsE 解：系统结构图及微分方程得： 106 20 )( + = s sG 520 10 )( + = s sH 250230120 )520(200 200)520)(106

6、( )520(200 520 10 106 20 1 106 20 10 )()(1 )(10 )( )( 2 + + = + + = + + + = + = ss s ss s ss s sHsG sG sR sC 250230120 50015001200 200)520)(106( )106)(520(10 520 10 106 20 1 10 )()(1 10 )( )( 2 2 + + = + + = + + = + = ss ss ss ss ss sHsGsR sE 2-12 求图 2-61 所示有源网络的传递函数 解：（a） 000 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 1

7、 1 /CRT sT R sC R sC R sC RZ= + = + = 8 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 ) 1( )( )( 0 0 1 0 10 +=sT R R Z R sU sU i （b） 000 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 1 1 /CRT sT R sC R sC R sC RZ= + = + = 111 1 1 1 11 11 CRT sC sT sC RZ= + =+= ) 1)(1( 1 )( )( 01 100 10 +=sTsT sCRZ Z sU sU i （c） 222 12 21 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2112 1 ) 1(

8、 1 1 1 /) 1 /( CRT RsT sTR sC sT R sC sT R sC sT R sC RRZ = + + = + + + = + =+= 1 1 )( )( 12 2 0 1 0 120 + + = RsT sT R R R Z sU sU i 2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数U()()。 图2-62 控制系统模拟电路 解： 0 1 0 1 )()( )( R Z sUsU sU i = + （1） 0 2 1 2 )( )( R Z sU sU = （2） 0 2 2 0 )( )( R R sU sU =（3） 式（1）（2

9、）（3）左右两边分别相乘得 9 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 0 2 0 2 0 1 0 0 )()( )( R R R Z R Z sUsU sU i = + 即 221 3 0 0221 3 0 0 0 )( )( 1 )( )()( RZZ R sU sU RZZ R sU sUsU ii =+= + 所以：1 )( )( 221 3 0 0 = RZZ R sU sUi 21 3 021 21 2 21 1 3 0 2 21 1 221 3 0 221 221 3 0 0 ) 1( 1 1 1 1 1 1 )( )( RRsRCsT RR R sCsT R R R sCsT R R

10、ZZR RZZ RZZ RsU sU i + = + + + = + = + = 10 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 图2-65 题2-17系统结构图 解：（a） G1(s） G2(s） G2(s) G3(s) R(s) C(s) G1(s） G2(s） G2(s) G3(s) R(s) C(s) 15 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1(s)+ G2(s) 1+G2(s) G2(s) R(s) C(s)1 所以： 32 21 1)( )( GG GG sR sC + + = （b） G1(s） H1(s） R(s) C(s) G2(s） 1+ H1(s)H2(s） R(s) C(s)

11、 G2(s） G1 (1+ H1H2) 1+ H1H2- G1H1 所以： 1121 2121 1 )1 ( )( )( HGHH HHGG sR sC + + = (c) G1 G2 1+G2H1 H2 R(s) C(s) G3 G1 G2 1+G2H1 H2 R(s) C(s) G3 G1 16 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1+G3 G2 1+ G2H1+ G1G2H2 R(s) C(s) 所以： 22112 312 1 )( )( )( HGGHG GGG sR sC + + = (d) G1 G2 H2 R(s) C(s) H2/G3 G3 H3 G1 G2 H2 R(s) C

12、(s) H2/ G1G3 1+ G3H3 G3 G1 G2 R(s) C(s) H2/ G1G3 1+ G3H3 G3 1+ G1H1 所以： 223311 321 )1)(1 ()( )( HGHGHG GGG sR sC + = (e) G1 G2 R(s) C(s) G3 H2+ H1/ G3 H1/ G3 G4 17 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1G2G3 R(s) C(s) 1+ G2G3H2+ H1G2 H1/ G3 G4 G1G2G3 R(s) C(s) 1+ G2G3H2+ H1G2- G1G2H1 G4 所以： 12121232 321 4 1)( )( HGGGHH

13、GG GGG G sR sC + += (f) G1 R(s) C(s) G2 G3 H1 G1 G1+G3 R(s) C(s) G2 1+ G1G2H1 所以： 121 231 1 )( )( )( HGG GGG sR sC + + = 2-18 试简化图2-66中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。 18 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 解： （1）求 )( )( sR sC 时，这时结构图变为： 0=N G1 G2 H1 R C G1G2 R C 1+G1G2H1 所以： 21121 21 1)( )( GGHGG GG sR sC + = （2）求

14、)( )( sN sC 时，这时结构图变为： 0=R G3 G2 H1 N C G1 进一步化简得 19 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G3 G2 H1 N C G1 G1 再进一步化简得： G3 G2 N C G1 1+G1G2H1 再进一步化简得： G3 G2 N C G1 1+G1G2H1 G2 1+G1G2H1 再进一步化简得： 20 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G3 G2 N C G1 1+G1G2H1 G2 1+G1G2H1 再进一步化简得： G2G3-1-G1G2H1 N C 1+G1G2H1 G2 G2+G1 (1+G1G2H1) 所以： )1 ()1 ( )1( )

15、( )( 12112121 121322 HGGGGHGG HGGGGG sR sC + = 图2-66 题2-18系统结构图 解： （1） 求 )( )( sR sC 时，这时结构图变为： 0=N G1 G2 G3 R C G4 G2 21 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1G2 G2+G3 R C G4 G1G2 G2+G3 R C G4 G2+G3 G1G2+G2+G3 R C G4 1+G4(G2+G3) 所以： )(1 )( )( )( 324 32214 GGG GGGGG sR sC + + = (2) 求 )( )( sN sC 时，这时结构图变为： 0=R G2 G3 C

16、 G4 N G2+G3 C G4 N 所以： )(1)( )( 324 4 GGG G sR sC + = 22 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-1 设随动系统的微分方程为： uKxxT 200 = + & & & u)( 1f xtrK= T 0 xxx fff =+& 其中 T,Tf, K2为正常数。如果在外作用 r(t)=1+t 的情况下，使对 r(t)的稳态误差不大于正 常数 0 x 0 ,试问 k1 应满足什么条件？ 见习题 3-20 解答 3-2 设系统的微分方程式如下： （1） )(2)(2 . 0trtc=& （2） 0)()()(24. 0)(04.trtctctc=+

17、& & 试求系统的单位脉冲响应 k(t)和单位阶跃响应 h(t)。已知全部初始条件为零。 解： （1） 因为 )(2)(2 . 0sRssC= 单位脉冲响应：C ss/10)(=010)(=ttk 单位阶跃响应 h(t) C 2 /10)(ss=010)(=ttth （2）( )()() 124 . 0 04 . 0 2 sRsCss=+ 124. 004. 0 )( )( 2 + = ss sR sC 单位脉冲响应： 124. 004. 0 1 )( 2 + = ss sC tetk t 4sin 3 25 )( 3 = 单位阶跃响应 h(t) 16) 3( 61 16)3( 25 )( 2

18、2 + + = + = s s sss sC teteth tt 4sin 4 3 4cos1)( 33 = 3-3 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数（） 。 （1） t etk 25. 1 0125. 0)( = （2） )454sin(105)( 0 +=tttk （3） )1 ( 1 . 0)( 3/t etk = 解： （1） 25. 1 0125. 0 )( + = s s 1 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 （2） 00 45sin4cos1045cos4sin105)(ttttk+= 16 4 25 5 16 25 16 4 25 5 )( 22222 + + +=

19、+ + + += s s ss s ss s （3） 3/1 1 . 01 . 0 )( + = ss s 3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为 h )1 .536 . 1sin(5 .1210)( 2 . 1ot tet+= 试求系统的超调量、峰值时间p 和调节时间s。 解：)1sin( 1 1 1)( 2 2 + = tet n t n h arccos= 2 1/ % = e n p t 2 1 = n s t 5 . 3 = 6 . 01 .53coscos 0 = %5 . 9% 222 6 . 01/6 . 06 . 01/6 . 01/ = eee )(96. 1 6 . 1 1

20、 2 st n p = = )(92. 2 2 . 1 5 . 35 . 3 st n s = 2 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-7 设图 3-42 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数 K和 Kt，使系统、 。 图 3-42 飞行控制系统 解：系统开环传递函数 )2()258 . 0( 25 25)8 . 0( 25 )8 . 0( 25 1 )8 . 0( 25 )( 2 1 1 1 1 1 1 0 n n t t t ssKKss K sKKss K sK ss K ss K sG + = + = + = + + + = 1 2 2536K n = 25 36 1 =K 4 胡

21、寿松自动控制原理习题解答第三章 12258 . 02 1 =+= tn KK 所以 45 14 = t K 3-8 试分别求出图 3-43 各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。 1 S2 r(t) c(t) 1 S2 r(t) c(t) 1+s 1 S2 r(t)c(t) S (c) (b) (a) - - - + + 图 3-43 控制系统 解： （a）01=n 系统临界稳定。 （b） 1 1 )( 2 + + = ss s s 5 . 01=n %8 .29% = ts s 51. 7= （c） 1 1 )( 2 + + = ss s s 5 . 01=n %3 .16% =

22、sts08. 8= 5 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-12 已知系统特征方程如下，试求系统在 s 右半平面的根数及虚根值。 （1） 0483224123 2345 =+sssss （2） 0108-7-444 23456 =+ssssss （3） 0253520123 2345 =+sssss 解： （1）列劳思表如下： 0 1 2 3 4 5 4812 164 48243 32121 s s s s s s 有一对虚根，系统不稳定 （2）列劳思表如下： 6 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 0 1 2 3 4 5 6 1055 844 10741 s s s s s s s 系统不稳

23、定 （3）列劳思表如下： 25 10 255 3 80 3 16 25203 35121 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 有一对虚根，系统不稳定 3-13 已知单位反馈系统的开环传递函数 ) 15 . 0)(1( ) 15 . 0( )( 2 + + = ssss sK sG 试确定系统稳定时的 K 值范围。 解：系统特征方程为 0) 15 . 0() 15 . 0)(1( 2 =+sKssss 将上述方程化简得到： 0)5 . 01 (25 . 15 . 0 234 =+KsKsss 劳思表如下： Ks K KK s K K s Ks Ks 0 2 1 2 3 4 25. 0

24、5 . 2 125. 025. 15 . 2 5 . 1 25. 05 . 2 5 . 015 . 1 25 . 0 + 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数 （1） )5)(11 . 0( 100 )( + = ss sG （） )5)(11 . 0( 50 )( + = sss sG （） )1006( ) 12(10 )( 22 + + = sss s sG 试求输入分别为 和 时，系统的稳态误差。 ttr2)(= 2 22)(tttr+= 解： （1）因为是二阶系统，且系数大于零，所以系统稳定。 20)(lim 0 = sGK s p 0)(lim

25、 0 = ssGK s V 0)(lim 2 0 = sGsK s a 所以当时 ttr2)(= V ss K R e 2 当 2 22)(tttr+=+ + = aVp ss K R K R K R 321 1 e 8 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 （2）应先检查系统的稳定性。 = )(lim 0 sGK s p 10)(lim 0 = ssGK s V 0)(lim 2 0 = sGsK s a 所以当时 ttr2)(=2 . 0 2 = V ss K R e 当 2 22)(tttr+=+ + = aVp ss K R K R K R 321 1 e （3）应先检查系统的稳定性。 =

26、 )(lim 0 sGK s p = )(lim 0 ssGK s V 1 . 0)(lim 2 0 = sGsK s a 所以当时 ttr2)(=0 2 = V ss K R e 当 2 22)(tttr+=20 1 321 =+ + = aVp ss K R K R K R e 9 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-18 设控制系统如图 3-47 所示。其中 s K KsG p +=)( Js sF 1 )(= 输入r以及扰动n和均为单位阶跃函数。试求： )(t)( 1 t)( 2 tn （1） 在作用下系统的稳态误差 )(tr （2） 在作用下系统的稳态误差 )( 1 tn （3）

27、在和同时作用下系统的稳态误差 )( 1 tn)( 2 tn 解： （1） 在作用下系统的稳态误差 )(tr 这时系统的开环传递函数为： 2 0 )()()( Js KsK sFsGsG p + = 系统位置误差系数为= )(lim 0 sGK s P 在作用下系统的稳态误差)(tr0 1 1 = + = p ssr K R e （2） 在作用下系统的稳态误差 )( 1 tn 这时系统的开环传递函数为： 2 0 )()()( Js KsK sFsGsG p + = 系统位置误差系数为= )(lim 0 sGK s P 在作用下系统的稳态误差)( 1 tn0 1 1 1 = + = p ssn K

28、 R e （3） 在和同时作用下系统的稳态误差 )( 1 tn)( 2 tn 10 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 )( 2 tn作用下系统的稳态误差 这时系统的开环传递函数为： 2 0 )()()( Js KsK sFsGsG p + = 系统位置误差系数为= )(lim 0 sGK s P 在作用下系统的稳态误差)( 2 tn0 1 1 2 = + = p ssn K R e 所以在在和同时作用下系统的稳态误差为 )( 1 tn)( 2 tn 000 21 =+=+= ssnssnssn eee 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1 )( + =

29、 s K sG 试用解析法绘出 K从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （） ， （） ， （） 解： 有一个极点： （1） ，没有零点。根轨迹如图中红线所示。 （）点在根轨迹上，而（） ， （）点不在根轨迹上。 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 ) 12( ) 13( )( + + = ss sK sG 试用解析法绘出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。 解： 系统开环传递函数为 )2/1( ) 3/1( )2/1( )3/1(2/3 )( + + = + + = ss sK ss sK s g G 有两个极点： （0） ， （1/2） ，有一个零点（

30、-1/3，j0） 。 根轨迹如图中红线所示。 4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 1 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 图 4-28 开环零、极点分布图 4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分 离点坐标 d)： (1) ) 15 . 0)(12 . 0( )( + = sss K sG 解： 系统开环传递函数为 )2)(5()2)(5( 10 )( + = + = sss K sss K s g G 有三个极点： （0） ， （2） ， （5）没有零点。 分离点坐标计算如下： 0 5 1 2 11 =

31、+ + + + ddd 3解方程的01014 2 =+dd7863. 3 1 =d，d 88. 0 2 = 取分离点为88. 0=d 根轨迹如图中红线所示。 2 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 （2） ) 12( ) 1( )( + + = ss sK sG 解： 系统开环传递函数为 )5 . 0( ) 1( )5 . 0( ) 1(2/ )( + + = + + = ss sK ss sK s g G 有两个极点： （0） ， （0.5） ，有一个零点（1） 。 分离点坐标计算如下： 1 1 5 . 0 11 + = + + ddd 解方程的05 . 02 2 =+ dd7 . 1 1 =

32、d，d 29. 0 2 = 取分离点为7 . 1 1 =d，29. 0 2 =d 根轨迹如图中红线所示。 (3) )3)(2( )5( )( * + + = sss sK sG 解： 系统开环传递函数为 )3)(2( )5( )( * + + = sss sK sG 有三个极点： （0） ， （2） ， （2） ，有一个零点（5） 。 分离点坐标计算如下： 5 1 3 1 2 11 + = + + + + dddd 解 方 程 的，0152510 23 =+ddd5171. 6 1 =d 3 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 5964. 2 2 =d d ， 8865. 0 3 =d 8865

33、. 0取分离点为 = 根轨迹如图中红线所示。 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数 ) 102. 0)(101. 0( )( + = sss K sG 要求： (1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)； (2) 确定系统的临界稳定开环增益 K； (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益 K。 解：系统开环传递函数为 )50)(100()50)(100( 5000 ) 102. 0)(101. 0( )( * + = + = + = sss K sss K sss K sG 有三个极点：（0，j0） ，= 1 p= 2 p（-50，0） ，= 3 p（10

34、0，0） ，没有零点。 分离点坐标计算如下： 0 100 1 50 11 = + + + + ddd 即解方程3得05000300 2 =+dd9 .78 1 =d，1 .21 2 =d， 11 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 取分离点为， 1 .21=d 起始角： L, 2, 1, 0) 12( )( 11 = += = kk n ij j pp m j pzp iiiji 0 180 1 = p 0 0 2 = p 0 180 3 = p 根轨迹如图所示。 （2）令js =代入系统特征方程中 05000150 *23 =+Ksss 得到实部方程为： 0150 2* =K 虚部方程为：50

35、00 0 3 = 解方程得：7 .70= 所以750000 * =K150= c K （3）令代入系统特征方程中 1 .21=s05000150 *23 =+Ksss 得到 系统临界阻尼比相应的开环增益48112 * =K62. 9=K 12 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 4-12 设反馈控制系统中 1)(, )5)(2( )( 2 * = + =sH sss K sG 要求： （1） 概略绘出系统根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性； （2） 如果改变反馈通路传递函数， 使ssH21)(+=， 试判断改变后的系统稳定性，)(sH 13 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 研究由于改变所产生的效应。 )(sH 21+= )(2 2( * +s sK 解： （1）系统有四个极点，)0, 0( 1 jp =)0, 0( 2 jp =，)0, 2( 3 jp=，；没 有零点。 )0, 5( 4 jp= 系统根轨迹如下图： 所以闭环系统不稳定。 （2）如果ssH)(，这时系统的开环传递函数为： )5)(2( )5 . 0( )5( ) 1 )()( 22 + + = + + = sss sK ss sHsG g 其中 * 2KKg= 系统根轨迹如下图： 14 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 这时系