李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)

1、本章习题中有几道题不会做，待再复习时完善。 第 3 章 复习与思考题 1、设 f C a , b，写出三种常用范数 12 | ,| ,| .fff 答： 1 |( )| b a ff x dx 2 2 |( ) b a ff x dx |max|( )| a x b ff x 2、f , g C a , b，它们的内积是什么？如何判断函数族 0, 1, , nC a , b在a ,b上线 性无关？ 解：f , g C a , b，其内积为 ( , )( ) ( ) b a f gf x g x dx 函数族 0, 1, , nC a , b在a ,b上线性无关，必须满足矩阵 G 的行列式不等于

2、 0 11121 21222 12 (,)(,).(,) (,)(,).(,) . (,)(,).(,) n n nnnn G ，det0G 。 3、什么是函数 f C a , b在区a , b上的 n 次最佳一致逼近多项式？ 解： 设( ) n px 为最佳逼近函数，则 f C a , b在区a , b上的 n 次最佳一致逼近多项式 * |( )( )| min|( )( )| n f xp xf xp x 取-范数，则 * |( )( )| minmax|( )( )| n a x b f xp xf xp x 4、什么是 f 在a , b 上的 n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据 m

3、i f 0 的最小二乘曲线拟 合？ 解： 设( ) n px 为最佳逼近函数，则 f C a , b在区a , b上的 n 次最佳平方逼近多项式 *22 |( )( )|min|( )( )| n f xp xf xp x 取 2-范数，则 *22 |( )( )|min ( )( ) b n a f xp xf xp xdx 问题：为什么选择不同的范数求解？ 由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。 5、 什么是 a , b 上带权 (x)的正交多项式？什么是 -1, 1 上的勒让德多项式？它有什么重要 性质？ 解： 设( ) n x是 a , b 上首系数0

4、n a 的 n 次多项式，( )x为 a , b 上的权函数，如果多项式 序列( ) 0 n x 满足如下关系式 0 (,)( )( )( )d b jkjk k a jk xxxx A jk ， 则称多项式序列( ) 0 n x 为在 a , b 上带权( )x正交，称( ) n x为在 a , b 的带权( )x 正交多项式。 当区间为 -1 ,1 ，权函数( )1x，由 2 1, ,. n x xx正交化得到的多项式称为勒让德多项 式 2 ! ( )(1) (2n)! n n n n nd Pxx dx . 主要性质有： 1）正交性 1 1 0 ( )( ) 2 21 mn mn P x

5、 P x dx mn n 2）奇偶性 ()( 1)( ) m mm PxP x 3）递推关系 11 (1)( )(21)( )( ),1,2. nnn nPxnxP xnPx n 4）( ) n P x在区间-1,1上具有 n 个不同的实零点。 6、什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 解： 当区间为 -1 ,1 ，权函数 2 1 ( ) 1 x x ，由 2 1, ,. n x xx正交化得到的多项式称为切比 雪夫多项式 ( )cos( arccos ) n T xnx， 若零cos( )x，则 ( )cos() n T xn 重要性质有 1）递推关系 11 01 ( )2( )( ),

6、1,2. ( )1,( ) nnn TxxT xTx n T xT xx 2）正交性 1 2 1 0 ( )( ) 0.50 1 0 mn nm Tx T x dxnm x nm 3） 2 ( ) n Tx只含 x 的偶次幂， 21( )n Tx 只含 x 的奇次幂。 4）( ) n T x在区间-1,1上具有 n 个零点 21 cos,1,2,3. 2 j j xjn n 5）( ) n T x的首项 n x的系数为 1 2,n1,2,. n 。 7、用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 答： 切比雪夫插值点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标， 这些点在横坐标接

7、近区间-1,1 的端点处是密集的；可使得插值区间最大误差最小化；高次插值时可避免龙格现象，保证在 整个区间上都收敛。 最大的区别是： 切比雪夫多项式与拉格朗日插值多项式对插值点的要求不一致。 切比雪夫多项式要求插值点为切比雪夫多项式零点。 拉格朗日插值多项式对插值点无特殊要求。 8、什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数 n 较大时为什么不直接 求解法方程？ 答： 最小二乘拟合的法方程 0 ( ),( )( ( ),( ),0,1,., . n kjjk j xx af xxkn 多项式做拟合曲线时，当次数 n 较大时，其法方程系数矩阵是高度病态，直接求解法方程是 相当困难的

8、。系数矩阵如下： 11/ 2.1/(1) 1/ 21/3.1/(2) . 1/(1)1/(2). 1/(22) n n H nnn 9、计算有理分式 Rmn (x)为什么要化为连分式？ 答： 1）在计算量相当的情况下，有理逼近比多项式逼近精度高； 2）在计算机上计算有理逼近函数，使用连分式，可以节省乘除法的计算次数，同时编程简 单。 10、哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 答： 在模型数据（如振动）具有周期性时，用三角函数特别是正弦函数和余弦函数作为基函数更 合适。 11、对序列做 DFT 时，给定数据要有哪些性质？对 DFT 用 FFT 计算时数据长度有何要求？

9、答： 1）要求有周期性。 2） 使用 FFT 计算是，数据长度为2p 时计算最好。 12、判断下列命题是否正确？ （1）任何 f (x) C a , b都能找到 n 次多项式 Pn (x) Hn，使| f (x) - Pn (x) | ( 为任给 的误差限)。 （2） nn HxP)( * 是 f (x)在 a , b上的最佳一致逼近多项式，则)()(lim * xfxPn n 对 ,bax成立。 （3）f (x) C a , b在a , b上的最佳平方逼近多项式 Pn (x) Hn则)()(limxfxPn n 。 （4）)(P x n 是首项系数为 1 的勒让德多项式， Qn (x) Hn

10、是任一首项系数为 1 的多项式， 则 11 22 11 P ( ) d( )d nn xxQxx 。 （5）)(T x n 是-1 , 1上首项系数为 1 的切比雪夫多项式。Qn (x) Hn是任一首项系数为 1 的多项式，则 .)(max)( max 1111 xQxT n x n x （6）函数的有理逼近（如帕德逼近）总比多项式逼近好 （7）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。 （8）三角最小平方逼近与三角插值都要计算 N 点 DFT，所以他们没有任何区别。 （9）只有点数2pN 的 DFT 采能用 FFT 算法，所以 FFT 算法意义不大。 （10）FFT 算法计算 DFT 和它的逆

11、变换效率相同。 答： 1）使用勒让德等正交函数基进行求解 n 次多项式，不存在病态问题，且一定有解。因此正 确。 2）最佳一致逼近的表达式为 * min| min m x| a | n n P H P Ha x b n n f xPxf xP x f xP x 正确。 3） 正确 4)根据最小二乘拟合公式判断 2 2 2 0 00 * 2 0 min |min| |min| |min| ini i m p i mm p n p ii m p i iini ini fPf xPx f xPxf xPx f xPx 由于勒让德多项式比任一首项系数为 1 的多项式拟合更准确。因此。其最小二乘和更小，

12、即 11 22 11 P ( ) d( )d nn xxQxx 因此，正确。 5）正确。书 P62。 6）正确，书 P79 7）正确。 8）当 n|a|-|b| 证： | max|( )( )| max|( )|( )| max|( )|max|( )| | fgf xg xf xg x f xg xfg 6、对 1 ( ), ( )C a,bf x g x ，定义 1） ，( , )( )( ) b a f gfx g x dx 2） ，( , )( )( )(a) (a) b a f gfx g x dxfg 问他们是否构成内积 本题考查内积的 4 个运算性质 （1）( , )( , )f

13、 gg f （2）(a, )a( , )f gf g （3）(, )( , )( , )fv gf gv g （4）( , )0f f ， 解： 1） ( , )( )( )( )( )( ,) bb aa f gfx g x dxg x fx dxg f (a, )( )( )( )( )a( , ) bb aa f gafx g x dxafx g x dxf g (, )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( , )( , ) b a b a bb aa fv gfxv x g x dx fx g xv x g x dx fx g x dxv x g

14、x dx f gv g 2 ( ,)( ) b a f ffxdx 令： 2 ( ) b a yfx dx 利用积分中值定理 有 2 2 2 2 ( ) ( )1 ( )1 ()( ) 0 b a b a b a yfxdx fxdx fdx ba f 其中 2 ()0,( )0baf，当( )0,fa b时，取等号。 ( )00, bb aa ffdxdxa b 因此。 ( , )( )( ) b a f gfx g x dx 是内积函数。 2）( , )( )( )(a) (a) b a f gfx g x dxfg ( , )( )( )(a) (a)( )( )(a) (a)( ,)

15、bb aa f gfx g x dxfgg x fx dxgfg f (a, )( )( )(a) (a)( )( )(a) (a)a( , ) bb aa f gafx g x dxafgafx g x dxfgf g (, )( , )( , )fv gf gv g (, )( )( )( )( (a)(a) (a) ( )( )( )( )(a) (a)(a) (a) ( )( )(a) (a)( )( )(a) (a) ( , )( , ) b a bb aa bb aa fv gfxv x g x dxfvg fx g x dxv x g x dxfgvg fx g x dxfgv

16、x g x dxvg f gv g 22 ( ,)( )(a)0 b a f ffx dxf 其中 2 ( )0 b a fx dx ,当( )0,fa b时，取等号。此时 ( )00, bb aa ffdxdxa b 所以 22 ( ,)( )(a) 00 0 b a f ffxdxf 因此，( , )( )( )(a) (a) b a f gfx g x dxfg 构成内积。 7、令 *( ) (21),0,1 nn TxTxx，试证 *( ) n Tx是在0,1上带权 2 1 ( )x xx 的正交 多项式，并求 * 0 ( )Tx， * 1 ( )Tx， * 2 ( )Tx， * 3

17、( )Tx。 本题考查带权多项式的求法 ( ) n T x 表示切比雪夫多项式。考查 *( ) n Tx ， ( ) n T x 的区别。 首先需要将区间进行变换至切比雪夫多项式的区间-1,1. 解： 由( )(21),0,1 nn T xTxx可知，令 1 ,1,1 2 t xt ，则 1 ()( ),1,1 2 nn t TT t t 这题不会做。 8、对权函数 2 ( )1xx ，区间-1,1,试求首项系数为 1 的正交多项式( ) n x ，n=0,1,2,3 利用施密特正交化公式求解。 1 0 ( ( ),( ) ( )( ) ( ),( ) n n jn nj j jj x xx

18、xxx xx 解： 0( ) 1x 1 3 1 11 1 ( ( ) ,1) ( ) (1,1) xx x x xxxx dx 22 2 2 11 2222 2 11 11 2 11 2 ( ( ),1)( ( ), ) ( ) (1,1)( , ) (1)(1) 1 3 x xx xx xxx x x xxxxx xx dxx dx x 3332 32 3 22 111 3232322 32 111 111 222 111 3 ( ( ),1)( ( ), )( ( ),) ( ) (1,1)( , )(,) (1)(1)(1) 1 () 31 () 3 6 5 x xx xxx xx xx

19、xx x xxx xxxxxxxx xxx dxx dxxdx xx 可以验算 1 01 1 ( ),( )0 xxxdx 1 23 02 1 1 11122 ( ),( )0 133333 xxxdxxx 1 342 03 1 1 613 ( ),( )0 1545 xxxxdxxx 1 342 12 1 1 613 ( ),( )0 1545 xxxxdxxx 1 4253 13 1 1 611 ( ),( )0 1555 xxxx dxxx 1 23642 23 1 1 16111 ( ),( )()()0 1356125 xxxxx dxxxx 9、试证明由（2.16）式给出的第二类切

20、比雪夫多项式族( ) n u x是-1,1上的带权 2 ( )1xx的正交多项式。 这题不会做。 10、证明对每一个切比雪夫多项式( ) n T x，有 2 1 2 1 ( ) 2 1 n T x dx x 这题不会做。 11、用 3( ) T x 的零点做插值点，求( ) x f xe 在区间-1,1上的二次插值多项式，并估计其 最大误差界。 解： 3( ) T x在区间-1,1上有 3 个零件。 21 cos,1,2,3 2 k k xk n 所以 1 2 3 13 cos 63 3 cos0 6 53 cos 63 x x x 拉格朗日二次插值有 012 020112 2 0101101

21、22011 33 33 332 22 33 2 2 ()()()()()() ( ) ()()()()()() 3333 ()()()() 3333 112 333 3 (33 )31() 2 1 (31.1.7813+0.5614732 )( xxx xxxxxxxxxxxx L xeee xxxxxxxxxxxx x xxxxx ee xx exxxe x xx 2 2 =8.6246 .732 )3 2.59901 1 2 x x xx 其误差估计为 (1) 1012 2 ( ) ( )( )()()() (1)!6 33 ()() 633 1 () 63 n nn fe Rfwxxxx

22、xxx n e x xx e x x 转而求 2 1 () 3 yx x在区间-1,1上的极值 32 11 ()30 33 yxxx ，解得 1 1,1 3 x 所以 2 121 max | | ()|, 3273 yx xx 2 ( ) 6278 0.03355 1881 9 1 x n eeee Rf 12、 设 2 ( )32,0,1f xxxx， 试求( )f x在0,1上关于( )1x，(1, )spanx 的 最佳平方逼近多项式，若取 2 (1, ,)spanx x ，那么最佳平方逼近多项式是什么？ 解： 当(1, )spanx 时， 1 01 1dx ， 1 0 1 2 xdx

23、， 1 2 0 1 3 x dx , 0 2 1 32 1323 2 326 dxxx ， 1 0 2 (32) 19 1 1 44 dxx xx 可知， 123 1 26 119 234 a b 写成增广矩阵有 123 1 26 119 234 123 1 26 14 0 1212 所以 11, 4 6 ab 所以 11 ( )4 ,0,1 6 g xx x 当 2 (1, ,)spanx x 时，其实就是本身，求解如下： 1 01 1dx ， 1 0 1 2 xdx ， 1 2 0 1 3 x dx , 1 3 0 1 4 x dx , 1 4 0 1 5 x dx 0 2 1 32 13

24、23 2 326 dxxx ， 1 0 2 (32) 19 1 1 44 dxx xx 1 0 22 (32 132 54 97 60 ) 3 xxxdx 可知， 1123 1 236 1119 2344 97111 60345 a b c 写成增广矩阵有 1123 1 236 1119 2344 11197 34560 1123 1 236 111 0 12123 1461 0 1245180 1123 1 236 111 0 12123 11 00 180180 所以 2,3,1abc 即为原方程。 13、求 3 ( )f xx在区间-1,1上关于( )1x的最佳平方逼近二次多项式 2 (

25、1, ,)spanx x 解： 1 11 2dx ， 1 1 0 xdx ， 1 2 1 2 3 x dx , 1 3 1 0 x dx , 1 4 1 2 5 x dx ， 1 5 1 0 x dx 有 2 10 0 3 22 00 35 220 0 35 a b c 写成增广矩阵有 2 100 3 22 00 35 22 00 35 2 100 3 22 00 35 2 000 45 所以 无解。 14、求函数( )f x在指定区间上对(1, )spanx 的最佳平方逼近多项式 1 (1) ( ),1,3 (2) ( ),0,1 (3) ( )cos,0,1 (4) ( )ln ,1,2

26、x f x x f xe f xx f xx 解： （1） ，区间为1,3 3 1 12dx ， 3 1 4xdx ， 3 2 1 26 3 x dx , 3 1 1 ln3dx x ，可知 24 ln3 26 24 3 a b 写成增广矩阵有 24ln3 26 42 3 24ln3 2 02(ln3 1) 3 所以 11ln3 6,3(ln3 1) 2 ab 其它的类似求解，注意区间的变化，其中 1 0 lnxxdx 、 1 0 cosxxdx 以用分部积分 进行求解。 不再进行计算，有时间再补充。 1 01 1dx ， 1 0 1 2 xdx ， 1 2 0 1 3 x dx , 1 0

27、1 lndxx x ， 1 0 2 (32) 19 1 1 44 dxx xx 15、( )sin 2 f xx ，在区间-1,1上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式 由题意，为求 3 次最佳平方逼近，则 23 1, ,(31)/ 2,(53 )/ 2spanxxxx 则有 1 11 2dx ， 11.21.41.61.822.22.42.62.83 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 1 2 3 x dx 2242 52 1 1 1 1 11 (31) / 4(91 6) 2 2 1 4 1 9 () 4 5 5 dxdxxxx xxx 326

28、24 1 735 1 11 11 (53 ) / 4(25930) 36 2 1 4 1 25 () 47 7 xxxxxdxd x x xx 1 1sin 0 22 2 cosdxxx 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 sincos 22 cosco 2 2 () () 2 si s 22 2 n cos 2 2 xdxxd xdxxx d x x x x x 11 11 1 22 1 22 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 cos 1 () (31)/ 2sin(31) 22 (31)coscos(31) 22 cos(31) 2 cos 2 2 2

29、2 1 3 6 sin 6 sinsin 0 xxxx xxxx xx x dxd d d dx d d x xx xxx x 11 11 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 33 1 33 1 3 2 2 1 2 1 (53 )/ 2sin(53 ) 22 (53 )coscos(53 ) 22 cos 1 cos 1 () 1 1 1 (3) 16 (s (53 ) 2 (153)cos 2 15coscos 22 15con 22 is xxxxxx xxxxxx xxx xx x xx x dxd d d d ddx x xxdxx 1 22 1 1 22 1 2 1 2 2

30、2 1 2 ) 212 (sin) 3012 () 601 15 2 sin2sin 7 2 2 2 2 xx x d xdxxx 利用正交性有 1 1 0 xdx 2 1 1(3 1)/ 20dxx 3 1 1(5 3 )/ 20dxxx 1 1 2 (31)/ 20dxxx 1 1 3 (53 )/02xxdxx 1 3 1 2 (31)(5340)/ dxxxx 所以有 2 2 0 2 2 3 20 572 2 7 a b c d 有： 2 252 0,3,0,abcd 22 ( )(31)(53 ) 22 cd p xabxxxx ,，即为所求。使用 Matlab 作图不正确。 16、

31、观察物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离 s（米） 0 10 30 50 80 110 求运动方程。 解： 设运动方程为 2 ( )f xabxcx 有 2 (1, ,)spanx x 所以 61)(),( 6 1 11 i ii xx 6 12 1 ( ),( )14.7 iii i xxx 6 2 1322 1 ( ),( )( ),( )53.63 iiiii i xxxxx 6 3 23 1 ( ),( )218.907 iii i xxx 6 4 33 1 ( ),( )951.0323 iii i xxx 6 1 1 (

32、),( )280 iii i xf xy 。 6 2 1 ( ),( )1078 iiii i xf xy x ， 6 2 3 1 ( ),( )4533.2 iiii i xf xy x 。 故法方程为 2 .4533 1078 280 0323.951907.21863.53 907.21863.537 .14 63.537 .146 c b a ，解得 2488. 2 0814.11 5837. 0 c b a 。 故直线运动为 2 2488. 20814.115837. 0)(xxxf。 17、已知试验数据如下： x 19 25 31 38 44 Y 19.0 23.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如 3 yabx 的经验公式，并计算均方误差。 解：算法同上。 有 3 (1,)spanx 5 11 1 ( ),( )15 ii i xx 6 3 12 1 ( ),( )6859 1562529791 5487285184192331 iii i xxx 5 6 1322 1 ( ),( )( ),( ) 47045881244140625887503681 30109363847256313856 =11445940427 iiiii