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文档简介
1、.1 数列的前n项和为,且满足,.(1)求的通项公式; (2)求和Tn =.2 已知数列,a1=1,点在直线上.(1)求数列的通项公式;(2)函数,求函数最小值.3 已知函数 (a,b为常数)的图象经过点P(1,)和Q(4,8)(1) 求函数的解析式;(2) 记an=log2,n是正整数,是数列an的前n项和,求的最小值。4 已知yf(x)为一次函数,且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列,f(8)15 求f(1)f(2)f(n)的表达式5 设数列的前项和为,且,其中是不等于和0的实常数.(1)求证: 为等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,试写出 的通项公式,并求的结果.6 在平面直角坐
2、标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*),满足向量与向量共线,且点Bn(n,bn) (nN*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1,b1与n来表示an;(2)设a1=a,b1=-a,且120,且a2、a5、a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.()求数列an、bn的通项an、bn;()设数列cn对任意的nN*,均有+an+1成立,求c1+c2+c2005的值.20已知数列满足,且(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)设数列的前项之和,求证:。21设数列an的前n项和为=2n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2 a
3、1) =b1。(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=, 求数列cn的前n项和Tn.22已知函数与函数0)的图象关于对称.(1) 求;(2) 若无穷数列满足,且点均在函数上,求的值,并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。23已知函数(1)求证:数列是等差数列;(2)若数列的前n项和24已知数列和满足:,(),且是以为公比的等比数列(I)证明:;(II)若,证明数列是等比数列;(III)求和:25已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,(1)证明数列lg(1+an)是等比数列;(2)设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求数
4、列an的通项及Tn;26等差数列是递增数列,前n项和为,且a1,a3,a9成等比数列, (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求数列的前n项的和27已知向量且.若与共线,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.28已知:数列满足.(1)求数列的通项;(2)设求数列的前n项和Sn.29对负整数a,数可构成等差数列.(1)求a的值;(2)若数列满足首项为,令,求的通项公式;若对任意,求取值范围.30数列(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)若31已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。()、求数列的通项公式;()、设,是数列
5、的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;32已知数列an的前n项和为Sn,且满足()判断是否为等差数列?并证明你的结论; ()求Sn和an20070209()求证:33若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数有。(1)求;(2)求数列的通项公式;(3)设集合,若等差数列的任一项是的最大数,且,求的通项公式。34已知点列在直线l:y = 2x + 1上,P1为直线l与 y轴的交点,等差数列an的公差为 ()求an、bn的通项公式;(),求和:C2 + C3 + +Cn;()若,且d1 = 1,求证数列为等比数列:求dn的通项公式 35已知数列是首项为,公比的等比数列,设,数列满足.()求证
6、:数列成等差数列;()求数列的前n项和;()若对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围36已知数列an的前n项和为Sn(),且(1)求证:是等差数列;(2)求an;(3)若,求证:37已知()当,时,问分别取何值时,函数取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值;()若在R上恒为增函数,试求的取值范围;()已知常数,数列满足,试探求的值,使得数列成等差数列38在数列(I)求数列的通项公式;(II)求证:39设函数f(x)的定义域为,且对任意正实数x,y都有恒成立,已知(1)求的值;(2)判断上单调性;(3)一个各项均为正数的数列an满足:其中Sn是数列an的前n项和,求Sn与an的值.40
7、已知定义在(1,1)上的函数f (x)满足,且对x,y时,有。(I)判断在(1,1)上的奇偶性,并证明之; (II)令,求数列的通项公式;(III)设Tn为数列的前n项和,问是否存在正整数m,使得对任意的,有成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,则说明理由。41已知,且(1)求的表达式;(2)若关于的函数在区间(-,-1上的最小值为12,求的值。42设不等式组所表示的平面区域为,记内的整点个数为 。(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(I)求数列的通项公式;(II)记数列的前n项和为,且,若对于一切的正整数n,总有,求实数m的取值范围。43在数列中,其中 ()求数列的通项公式;()求数列的前
8、项和;()证明存在,使得对任意均成立 44设数列an是首项为4,公差为1的等差数列,Sn为数列bn的前n项和,且(I)求an及bn的通项公式an和bn.(II)若成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;(III)若对任意的正整数n,不等式恒成立,求正数a的取值范围. 45函数的最小值为且数列的前项和为()求数列的通项公式;()若数列是等差数列,且,求非零常数;()若,求数列的最大项46设数列的各项均为正数,它的前项的和为,点在函数的图像上;数列满足其中求数列和的通项公式;设,求证:数列的前项的和() 47设数列;(1)证明:数列是等比数列;(2)设数列的公比求数列的通项公式;(3)记;4
9、8已知二次函数满足,且对一切实数恒成立.(1)求 (2)求的表达式;(3)求证:.49在数列中,()若对于,均有成立,求的值; ()若对于,均有成立,求的取值范围; ()请你构造一个无穷数列,使其满足下列两个条件,并加以证明: ; 当为中的任意一项时,中必有某一项的值为1.50对任意都有()求和的值()数列满足:=+,数列是等差数列吗?请给予证明;()令试比较与的大小数列大题训练50题参考答案1 解:(1) ,两式相减,得, ,. (2)=. 2 解 (1)在直线xy+1=0上, 故是首项为1,公差为1的等差数列. (2) 的最小值是 3 解:(1)因为函数f(x)=abx(a,b为常数)的图
10、象经过点P,Q则有 (2)an = log2(n) = log2 = 2n - 5 因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ;所以an是首项为-3,公差为 2的等差数列 所以 当n=2时,取最小值 - 4 4 解:设yf(x)kxb( k0),则f(2)2kb,f(5)5kb,f(4)4kb,依题意:f(5)2f(2)f(4)即:(5kb)2(2kb)(4kb),化简得k(17k4b)0k0,bk 又f(8)8kb15 将代入得k4,b17 Snf(1)f(2)f(n)(4117)(4217)(4n17)4(12n)17n2n215n 5 (1),所以是等比数
11、列(2),所以是等差数列(3)6 解:(1)点Bn(n,bn)(nN*)都在斜率为6的同一条直线上,=6,即bn+1-bn=6,于是数列bn是等差数列,故bn=b1+6(n-1). 共线.1(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn 当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+bn-1=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 当n=1时,上式也成立.所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).(2)把a1=a,b1=-a代入上式,得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+
12、a)n+6+2a.120且bn的最大值为; 当n1005时,g(n)1;当n1006时,g(n)单调递增且gmin(n)g(1006)3此时bn0且bn的最大值为;综上:bn的最大值为,最小值为112(1) 等差数列 (2)错位相减,13(I)由已知,得 作差,得。又因为正数数列,所以,由,得(II),所以=14解:(1)2an+12an+an+1an=0 an0, 两边同除an+1an 数列是首项为1,公差为的等差数列 (2)=an1=bn=f(an1)=f()=n+6 (nN)(3) n+6 (n6, nN)= n6 (n6, nN) (n6, nN) Sn= (n6, nN) 15(1)
13、 (2)n=5,6,7,8,9 16解:(1)当时, , 数列为等差数列 (2)由(1)知, 当时, 17解:(1)点都在斜率为6的同一条直线上,于是数列是等差数列,故 (2)共线,当n=1时,上式也成立. 所以 (3)把代入上式,得,当n=4时,取最小值,最小值为18解:()当时, . , (n. ,得 ,整理得, . ,即. 故数列是首项为,公差为的等差数列. . () , . 19解:()由题意,有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.而a1=1,d0.d=2,an=2n-1.公比q=3,a2=b2=3.bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1.()当n=1时,=a2,c
14、1=13=3.当n2时,,得cn=2bn= cn=c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004) =3+2 20(1) 21解:(1)当n=1时 ,a1=S1=2;当n2时,an=Sn Sn1=2n2 2(n1)2=4n2.故数列an的通项公式an=4n2,公差d=4.设bn的公比为q,则b1qd= b1,d=4,q=.bn=b1qn1=2=,即数列 bn 的通项公式bn=。(2)Tn=1+341+542+(2n1)4n14Tn=14+342+543+(2n1)4n两式相减得3Tn=12(41+42+43+4n1)+(2n1)4n=Tn=22(1)(2) 在上 ,当时 等
15、比且公比为,首项为 等比公比为,首项为1 ,所以的各项和为23解:(1)由已知得:是首项为1,公差d=3的等差数列(2)由24解法:(I)证:由,有, (II)证:,是首项为5,以为公比的等比数列(III)由(II)得,于是当时,当时,故25解:(1)由已知,两边取对数得,即是公比为2的等比数列. (2)由(1)知 = 26(1)解:设数列公差为d(d0)a1,a3,a9成等比数列,即 整理得: , 由得:, (2) 27(1) 取得 得:中的奇数项是以为前项,4为公比的等比数列,偶数项是以的前项,4为公比的等比数列(2)当为偶数时,当为奇数时,28()验证n=1时也满足上式:()29(1)
16、又(2)又 即而30解(1)由题意知:是等比数列(2)由(1)知数列以是a2a1=3为首项,以2为公比的等比数列,所以故a2a1=320,所以a3a2=321,a4a3=322,所以(3)设2得:31解:()设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上,所以3n22n.当n2时,anSnSn1(3n22n)6n5.当n1时,a1S13122615,所以,an6n5 ()()由()得知,故Tn(1).因此,要使(1)()成立的m,必须且仅须满足,即m10,所以满足要求的最小
17、正整数m为10.32解证:() 当n2时, 故是以2为首项,以2为公差的等差数列. ()由()得 当n2时,当n=1时, ()33解:(1),数列是以为首项,-1为公差的等差数列,。(2)由,得。而当时,。(3)对任意,所以,即。是中的最大数,。设等差数列的公差为,则。, ,是一个以-12为公差的等差数列,。34解:()在直线 P1为直线l与y轴的交点,P1(0,1) , 又数列的公差为1 () () 是以2为公比,4为首项的等比数列, 35解:()由题意知, ( ) , 数列是首项,公差的等差数列,其通项为( ) (),( ),于是两式相减得 . ( )() , ( )当时,当时,即当时,取
18、最大值是 又对一切正整数n恒成立 即得或 36(1),又 数列是等差数列,且(2)当时,当n=1时,不成立. (3),.左边显然成立.37解:()当时, (1)时,当时,;当时, (2)当时,当时,;当时, 综上所述,当或4时,;当时, () 在上恒为增函数的充要条件是,解得 (), 当时,即 (1)当n=1时,;当n2时, (2)(1)(2)得,n2时,即 又为等差数列, 此时 当时 ,即 若时,则(3),将(3)代入(1)得,对一切都成立另一方面,当且仅当时成立,矛盾不符合题意,舍去. 综合知,要使数列成等差数列,则 38(I)解:由从而由的等比数列故数列 (II) 39140解:(I)令x=y=0,得f(0)=0。又当x=0时,即。对任意时,都有。为奇函数。(II)满足。在上是奇函数, ,即。是以为首项,以2为公比的等比数列。 (III)=。假设存在正整数m,使得对任意的,有成立,即对恒在立。只需,即故存在正整数m,使得对,有成立。此时m的最小值为10。41解(1)(2),。当即时,函数在区间(-,-1上是减函数当时,即,又,该方程没有整数解; 当,即时,解得或(舍去)综上所述,为所求的值42解:(I)由,得或内的整点在直线和上,记直线为l,l与直线的交点的纵坐标分别为,则 (II)当时,且是数列中的最大
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