大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

1、一、单项选择题一、单项选择题 ( (本大题有本大题有 4 4 小题小题, , 每小题每小题 4 4 分分, , 共共 1616 分分) ) 1.1. 设设 f f ( ( x x) ) coscos x x( ( x x sinsin x x ), ),则则 在在x x 0 0处处 有有( () ) . . （A A） f f (0)(0) 2 2 （B B） f f (0)(0) 1 1（ （C C） f f (0)(0) 0 0 （D D） f f ( (x x) ) 不可导不可导. . 2.2. 设设 ( (x x) ) 1 1 x x 1 1 x x ， ( (x x) ) 3 3 3

2、 33 3x x，则当，则当x x 1 1时（时（） . . （A A）(x)与(x)是同阶无穷小，是同阶无穷小，但不是等价无穷小；但不是等价无穷小；（B B）(x)与(x)是是 等价无穷小；等价无穷小； （C C）(x)是比是比 (x) 高阶的无穷小；高阶的无穷小；（D D） (x) 是比是比(x)高阶的高阶的 无穷小无穷小. . 3.3. 若若 F F(x x) x x 0 0 (2 2t t x x) f f (t t)dt dt ，其其中中 f f ( (x x) ) 在在区区间间上上 (1,1) 二二阶阶可可导导且且 f f ( (x x) ) 0 0 ，则（，则（）. . （A A

3、）函数）函数 F(x) 必在必在x 0处取得极大值；处取得极大值； （B B）函数）函数 F(x) 必在必在x 0处取得极小值；处取得极小值； （C C）函数）函数 F(x) 在在x 0处没有极值，但点处没有极值，但点 (0,F(0) 为曲线为曲线 y F(x)的拐点； 的拐点； （D D） 函数函数 F(x) 在在x 0处没有极值，处没有极值， 点点(0,F(0)也不是曲线也不是曲线 y F(x)的拐点。 的拐点。 1 1 4.4. 设设 f f ( ( x x) )是连续函数，且是连续函数，且f f ( ( x x) ) x x 2 2 0 0 f f ( (t t) )dt dt , ,

4、 则则 f f ( ( x x) ) ( ( x x2 2x x2 2 （A A） 2 2 （B B） 2 2 2 2 （C C）x x 1 1（D D）x x 2 2. . 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分） 2 2 5.5. limlimsinsin x x x x 0 0 ( (1 1 3 3 x x ) ) . . 6.6. 已知已知 coscos x x x x 是是 f f ( (x x) )的一个原函数的一个原函数 , ,则则 f f ( (x x) ) coscos x x x x d d x x

5、 . . 7.7. n n lim 2 2 n n (cos n n cos2 2 2 2 n n cos2 2 n n 1 1 n n ) . . 1 1 2 2 x x2 2arcsinarcsin x x 1 1 8.8. 1 1 1 1 x x2 2 dxdx 2 2 . . 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 5 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 4040 分）分） 9.9. 设函数设函数 y y y y( (x x) )由方程 由方程 e ex x y y sin(sin(xyxy) ) 1 1 确定，求确定，求 y y( (x x) ) 以及以及 y y(

6、0)(0) . . 求求 10.10. 1 1 x x7 7 x x( (1 1 x x7 7) ) d dx x. . 设设 f f ( ( x x) ) xexe x x， x x 0 0 求求 1 1 11.11. 2 2 x x x x2 2， 0 0 x x 1 1 3 3 f f ( ( x x) )dxdx 1 / 47 ) ) 1 1 0 0 12.12. 设函数设函数 f f( (x x) ) 连续，连续， g g( (x x) ) 并讨论并讨论 g g( (x x) ) 在在x x 0 0处的连续性处的连续性. . g g( (x x) ) f f ( (xt xt) )d

7、t dt f f ( (x x) ) limlim A A x x0 0 x x ， 且且，A A为常数为常数. . 求求 13.13. 求微分方程求微分方程 xyxy 2 2y y x x lnln x x 满足满足 y y(1)(1) 1 1 9 9 的解的解. . 四、四、 解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分） 14.14.已知上半平面内一曲线 已知上半平面内一曲线 y y y y( (x x) )( (x x 0 0) ) ，过点，过点 (0,1) ，且曲线上任一点，且曲线上任一点 M(x 0 ,y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、轴、

8、 y轴、直线 轴、直线 x x 0 所围成所围成 面积的面积的 2 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. . 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 1010 分）分） 15.15.过坐标原点作曲线 过坐标原点作曲线 y y lnln x x 的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线 y y lnln x x 及及x x轴围轴围 成平面图形成平面图形 D.D. (1)(1)求求 D D 的面积的面积 A A；(2)(2) 求求 D D 绕直线绕直线x x = =e e旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 V V. . 六、证明题（本大题有六、证明题（

9、本大题有 2 2 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 8 8 分）分） 16.16.设 设函函数数 f f ( (x x) ) 在在 0,1 上上连连续续且且单单调调递递减减，证证明明对对任任意意的的 q q0 0,1 1 ， q q1 f f (x x) d d x x q qf f (x x)dxdx 00 . . 17.17.设函数 设函数 f f ( (x x) )在 在 0 0, , 上连续，上连续， 且且 0 0 x x f f ( ( x x ) ) d d x x 0 0 ， 0 0 f f ( ( x x) )coscos x x dxdx 0 0 . . 证明：

10、证明：在在 0 0, , 内至少存在两个不同的点 内至少存在两个不同的点 1 1 , , 2 2， ，使使 f f( ( 1 1 ) ) f f( ( 2 2 ) ) 0 0. . （提（提 F F( (x x) ) 示：设示：设 f f ( (x x) )dxdx 0 0 ） 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题有本大题有 4 4 小题小题, , 每小题每小题 4 4 分分, , 共共 1616 分分) ) 1 1、D 2D 2、A 3A 3、C 4C 4、C C 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分） 1 1

11、 coscos x x 2 2( () ) c c 6 6e e 3 3 5.5. . 6. . 6. 2 2x x .7.7. 2 2 . 8. 8. 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 5 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 4040 分）分） 9.9. 解：方程两边求导解：方程两边求导 x x y ye e(1(1 y y ) ) cos(cos(xyxy)( )(xyxy y y) ) 0 0 e ex x y y y ycos(cos(xyxy) ) y y ( (x x) ) x x y ye e x xcos(cos(xyxy) ) x x 0, 0, y

12、y 0 0， ， y y (0)(0) 1 1 2 / 47 . . 7 77 7x x6 6dxdx dudu 10.10. 解：解：u u x x 1 1(1(1 u u) )1 11 12 2 原式 dudu ( ( ) )dudu 7 7u u(1(1 u u) )7 7u uu u 1 1 1 1 (ln(ln| |u u| | 2ln2ln | |u u 1 1|) |) c c 7 7 1 12 2 lnln| | x x7 7| | lnln|1 |1 x x7 7| | C C 7 77 7 11.11. 解：解： 3 3 0 0 3 3 1 1 f f ( (x x) )d

13、xdx xexe x xdxdx 3 3 1 1 0 0 0 01 1 0 0 2 2x x x x2 2dxdx xdxd( ( e e x x) ) 0 0 x x x x 0 0 2 2 xexe e e coscos d d ( (令x x 1 1 sinsin ) ) 3 3 2 2 1 1 ( (x x 1)1)2 2dxdx 4 4 12.12. 解：由解：由 f f (0)(0) 0 0，知 ，知 g g(0)(0) 0 0。 。 x x 1 1 xt xt u u 2 2e e3 3 1 1 g g( (x x) ) f f ( (xt xt) )dt dt 0 0 x x

14、f f ( (u u) )dudu 0 0 x x ( (x x 0)0) g g ( (x x) ) xfxf ( (x x) ) f f ( (u u) )dudu x x x x 0 0 2 2 ( (x x 0)0) g g (0)(0) limlim0 0 x x0 0 f f ( (u u) )dudu x x2 2 limlim x x0 0 x x f f ( (x x) )A A 2 2x x2 2 A A A AA A 2 22 2， ， g g( (x x) ) 在在x x 0 0处连续。处连续。x x0 0 limlim g g ( (x x) ) limlim x x

15、0 0 xfxf ( (x x) ) f f ( (u u) )dudu x x 0 0 2 2 dydy2 2 y y lnln x x dxdxx x 13.13. 解：解： dxdxdxdx y y e e x x( ( e e x xlnln xdxxdx C C) ) 2 22 2 1 11 1 x xlnln x x x x CxCx 2 2 9 93 3 1 11 11 1 y y(1)(1) , ,C C 0 0y y x xlnln x x x x 3 39 99 9 ， 四、四、 解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分） 14.14. 解：由已知且解：由已知且， 将

16、此方程关于将此方程关于x求导得求导得 y y 2 2y y y y 0 0 y y 2 2 y yd d x x y y x x 2 2 特征方程：特征方程：r r r r 2 2 0 0解出特征根：解出特征根： r r 1 1 1 1, ,r r 2 2 2 2. . 3 / 47 x x2 2x x 其通解为其通解为 y y C C 1 1e e C C 2 2e e 代入初始条件代入初始条件 y(0) y(0) 1，得 ，得 2 21 1 y y e e x x e e2 2x x 3 33 3 故所求曲线方程为：故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 1010 分）分

17、） C C 1 1 2 21 1 , ,C C 2 2 3 33 3 1 1 y y lnln x x 0 0 ( (x x x x 0 0 ) ) x x( (x x , ,lnln x x ) ) 0 0 ， 0 0 15.15. 解：解：（1 1） 根据题意，根据题意， 先设切点为先设切点为 0 0 切线方程：切线方程： 1 1 y y x x x x e e 0 0 e e 由于切线过原点，解出由于切线过原点，解出，从而切线方程为：，从而切线方程为： 1 1 则平面图形面积则平面图形面积 A A ( (e ey y eyey) )dydy 0 0 1 1 e e 1 1 2 2 （2

18、2）三角形绕直线）三角形绕直线x x = =e e一周所得圆锥体体积记为一周所得圆锥体体积记为V V 1 1，则 ，则 曲线曲线 y y lnln x x 与与x x轴及直线轴及直线x x = =e e所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线x x = =e e一周所得旋转体体一周所得旋转体体 积为积为V V 2 2 1 1 V V 1 1 1 1 e e2 2 3 3 V V 2 2 ( (e e e ey y) )2 2dydy 0 0 6 6 D D 绕直线绕直线x x = =e e旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 2 小题，每小

19、题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1212 分）分） q1 qq V V V V 1 1 V V 2 2 ( (5 5e e2 2 1212e e 3 3) ) 1 16.16. 证明：证明： 0 q f (x) d xqf (x)dxf (x) d xq(f (x) d xf (x)dx) 000q 1 q (1q)f (x) d xqf (x)dx 0 f (1) f (2)10, q2q,1 q(1 q) f ( 1 ) q(1 q) f ( 2 ) 1 故有：故有： q q 0 f f (x x) d d x x q qf f (x x)dxdx 00 证毕。证毕。 x x 17.

20、17. F F( (x x) ) f f ( (t t) )dt dt, , 0 0 x x 0 0 证：证： 构造辅助函数：构造辅助函数：。 其满足在其满足在 0 0, , 上连续， 上连续， 在在( (0 0, , ) ) 上可导。上可导。 F F ( (x x) ) f f ( (x x) ) ，且，且 F F( (0 0) ) F F( ( ) ) 0 0 由题设，有由题设，有 0 0 f f ( (x x) )coscos xdxxdx coscos xdFxdF( (x x) ) F F( (x x) )coscos x x| | sinsin x x F F( (x x) )dx

21、dx 0 00 0 0 0 0 0 ， 4 / 47 有有 0 0 ，由积分中值定理，存在，由积分中值定理，存在 ( (0 0, , ) ) ，使，使 F F( ( ) )sinsin 0 0 即即 F F ( ( ) ) 0 0 综上可知综上可知 F F( (0 0) ) F F( ( ) ) F F( ( ) ) 0 0, , ( (0 0, , ) ) . .在区间在区间 0 0, , , , , , 上分别应用罗上分别应用罗 尔定理，知存在尔定理，知存在 1 1 ( (0 0, , ) ) 和和 2 2 ( ( , , ) ) ，使，使 F F ( ( 1 1 ) ) 0 0 及及 F

22、 F ( ( 2 2 ) ) 0 0 ，即，即 f f ( ( 1 1 ) ) f f ( ( 2 2 ) ) 0 0 . . F F( (x x) )sinsin xdxxdx 0 0 高等数学高等数学 I I 解答解答 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中）的括号中） ( (本大题有本大题有 4 4 小题小题, , 每小题每小题 4 4 分分, , 共共 1616 分分) ) x ,x 1. 1.当 当 x x 0时， 时， 都是无穷小，则当 都是无穷小，则当 x x 0时（ 时（ D

23、 D）不一定是）不一定是 无穷小无穷小. . (A)(A) xx (C)(C) 22 (B)(B) x x 2(x) (D)(D) (x)ln1(x)(x) 1 xa sin x lim xa sina 2. 2.极限 极限的值是（的值是（ C C）. . （B B）e e（C C） ecot a （A A） 1 1（D D） etan a sin x e2ax1 x 0 f (x) x ax 0 在在x 0处连续，则处连续，则a a = =（ D D）. . 3. 3. （C C）e e（D D） 1 f (a h) f (a 2h) lim f (x) h0 h 4. 4.设 设在点在点x

24、 a处可导，那么处可导，那么（ A A）. . （A A） 3f (a) （B B） 2 f (a) 1 f (a) f (a) (C)(C)（D D） 3 （A A） 1 1（B B） 0 0 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分） ln(x a) lna1 lim(a 0) x 5. 5. 极限极限x0的值是的值是 a. . x ye yln x cos2x 确确 定定 函函 数数 6. 6. 由由y y( (x x) ) ， 则则 导导 函函 数数 y 5 / 47 y y yeyexy xy x x . .

25、xyxyxexe lnln x x 7. 7. 直线直线l过点过点 M(1,2,3) 且与两平面且与两平面 x 2y z 0,2x 3y 5z 6 都平行，则直都平行，则直 x 1y 2z 3 11 . .线线l的方程为的方程为 1 2 2sinsin2 2x x 8. 8. 求函数求函数 y 2x ln(4x) 的单调递增区间为的单调递增区间为（ ，0 0）和（）和（1 1，+ + ） . . 2 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 3232 分）分） (1 x) e x 9. 9. 计算极限计算极限x0. . lim (1 x)

26、 ee elim x0 x 解：解：x0 lim 1 x 1 ln(1x)1 x 1 x 1 x elim ln(1 x) xe x0 x22 10.10.已知： 已知：|a |3，| b | 26，a b 30，求，求| a b |。 解：解： ab512 cos ,sin1cos2 13 a b 13 x ， ab 72 11.11.设 设 f (x) 在在 a a，b b 上连续，上连续， 且且 xx F(x) (x t) f (t)dt a xa,b ， 试求出试求出 F(x) 。 解：解： F(x) xf (t)dt tf (t)dt aa xx F(x) f (t)dt xf (x

27、) xf (x) f (t)dt aa F(x) f (x) cosx xdx. 3 sin x 12.12.求 求 cosx1 2xdx xd sinx 3 2 解：解： sin x 1111 xsin2xsin2xdx xsin2xcot xC 2222 四、解答题（本大题有四、解答题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 3232 分）分） 2 2 dx x x21 13.13. 求求 3 . . 令 1 t x 1 2 3 2 原式 1 t 11 ( 2 )dt t1 1 t2 6 / 47 1 t2 6 2x y 1 x2 的极值与拐点的极值与拐点. .

28、14.14. 求函数求函数 解：函数的定义域（解：函数的定义域（ ，+ + ） 1 2 3 2 dt arcsint 3 2 1 2 2(1 x)(1 x)4x(3 x2) y y 22(1 x ) (1 x2)3 令令 y 0得 得x x 1 1 = 1,= 1,x x 2 2 = -1= -1 y(1) 0 x x 1 1 = 1= 1 是极大值点，是极大值点， y(1) 0 x x 2 2 = -1= -1 是极小值点是极小值点 极大值极大值 y(1) 1，极小值 ，极小值 y(1) 1 令令 y 0 得得x x 3 3 = 0,= 0,x x 4 4 = = 3 , , x x 5 5

29、 = -= - 3 x x y (-(- 3 ) ) (-(- 3 ,0),0) + + (0,(0, 3 ) ) ( ( 3 ) ) + + 33 故拐点（故拐点（- - 3 ，- - 2 ） ， （0 0，0 0） （ 3 ， 2 ） x3 y 2y 3x x 4 15.15. 求由曲线求由曲线与与所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积. . x3 解: 3x x2,x312x 4x2 0, 4 x(x 6)(x 2) 0,x 1 6,x 2 0,x 3 2. 2 x3x3 22S ( 3x x )dx (3x x )dx 6 4 0 4 x43 2 x3 0 3 2 x3x4 2

30、(x ) 6 (x ) 032316162 11 45 2 47 33 2y 4 x 16.16. 设抛物线设抛物线上有两点上有两点 A(1,3) ， B(3,5) ，在弧，在弧A BA B上，求一点上，求一点 P(x, y) 使使ABP的面积最大的面积最大. . 0 解：解： AB连线方程：y 2x 1 0 AB 4 5 点P到AB的距离 ABP的面积 2x y 1 5 x2 2x 3 (1 x 3) 5 1x2 2x 3 S(x) 4 5 2(x2 2x 3) 25 S(x) 4x 4当x 1S(x) 0 7 / 47 S(x) 4 0 当x 1时S(x)取得极大值也是最大值 此时y 3所

31、求点为(1，3) 另解：由于ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线 2的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x 0 ，4 x 0 ) ,使f (x 0 ) 2x 0 5 3 31 2,解得x 0 1,所求C点为(1,3) 六、证明题（本大题六、证明题（本大题 4 4 分）分） 2x 17.17. 设设x 0，试证，试证 e(1 x) 1 x . . 2x 证明：设证明：设 f (x) e(1 x) (1 x), x 0 f (x) e2x(1 2x) 1， ， f (x) 4xe2x ， x 0,f (x) 0，因此 ，因此 f (x) 在（在（0 0，+ + ）内递减。

32、）内递减。 在（在（0 0，+ + ）内，）内， f (x) f (0) 0, f (x)在（ 在（0 0，+ + ）内递减，）内递减， 2xe f (x) f (0), 在（在（0 0，+ + ）内，）内，即即 (1 x) (1 x) 0 2xe 亦即当亦即当x x00 时，时， (1 x) 1 x 。 高等数学高等数学 I AI A 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中）括号中） ( (本大题有本大题有 4 4 小题小题, , 每小题每小题 4 4 分分, , 共共 1616 分分)

33、 ) 18.18. 函数函数 ln(x 1) x 1 ,x 1 f (x) tanx,0 x 1 2 x sin x,x 0 的全体连续点的集合是的全体连续点的集合是 （） (A) (A) ( ) )(B) (-(B) (-,1),1) (1 (1) ) (C) (-(C) (-,0),0) (0, (0,+ +) ) ) ) (D)(D)(-(-,0),0) (0,1) (0,1) (1 (1 19.19. x21 lim( ax b) 0 x x 1 设设，则常数的值所组成的数组则常数的值所组成的数组（）（）为为（） （A A） （1 1，0 0） （B B） （0 0，1 1） （C C

34、） （1 1，1 1） （D D） （1 1，-1-1） 20.20. 设在设在00，11上上 f (x) 二阶可导且二阶可导且 f (x) 0 ，则（，则（） （A A） f (0) f (1) f (1) f (0) (B)(B) f (0) f (1) f (0) f (1) 8 / 47 (C)(C) f (1) f (0) f (1) f (0) 2 3 （D D） f (1) f (0) f (1) f (0) 4 2 M 21.21. 2 sin xcos4xdx, N 1 x2 2 (sin 2 x cos x)dx P (x 2 2sin3x cos4x)dx 则（则（） （A A）M N PM N P（B B） P N M P N M （C C）P M NP M N（D D）N M PN M 0,0, f f x x f f 0 0 6 6. .设设limlim 1 1, , x x0 0 x x2 2 则则f f( (x x) )在在 0 0 取得取得（填极大值或极小值）（填极大值或极小值） 。 解：解： f f x x f f 0 0 f f x x f f 0 0 limlim1 1, ,由极限的保号性有由极限的保号性有 0 0, ,有有 f f x x f