图论-刘汝佳.ppt

1、通过搜索若干图论算法、刘汝佳、目录、DFS相关算法二进制图相关算法联网流相关算法最小问题树、DFS相关算法、基本应用、连通分量二进制图来确定无方向性图的连接性，时间斯坦共和国和边缘分类，时间初始化为0，并且最大值为2|E|。 数值本身没有意义，但大小关系是有意义的，voidprevisit (intu ) preu=DFS _ clock； 视频投影机=DFS _时钟。 无向图：只有与树边相反的边，无向连通图的割顶，DFS森林必定只有一棵树。 树根是从山顶上砍下来的吗？ 只有当有两个以上的儿子时，才能看出只切割树边的相反一侧的边，不存在跨越两个子树的边。 在其他方面，情况会有些复杂。 我们有以

2、下定理：定理：在无向连通图g的DFS树中，非根结点u是g的分配顶点，并且在u中只有一个儿子w，因此，w及其子孙都是逆边不返回u的祖先(不返回u )。 根据定理的证明，u中有一个儿子w，w及其所有后代的相反边不会返回u的祖先(不返回u )。 为了方便起见，若将low(u )设为u及其后代能够连续的最早的祖先的pre值，则定理的条件能够简记为以low(w)=pre(u )的方式在节点u存在儿子w。 如果low(w)pre(u )，即w最多只能与自各儿联系，则只能删除(u，w )一边而使图g非连通。 满足该条件的边称为桥接器(bridge )，low函数自身的修正算法是将void dfs(int u

3、，int fa) /u的母节点作为fa，首次调用fa=-1lowu=preu=dfs_初始化low (u ) int d=gu for (英寸=0； i d； 列举出i ) /各边(u，w) int w=Gui。 国际货币基金组织未网站数据库到prew) /点v的0) dfs(w，u ) (所有pre值都被初始化为0 )； /w的父亲节点是u lowu=min (低，低)； /使用后代的low函数更新else if(w！ 最小(最小，最前)； /在反方向的边更新，双连通和边-双连通，如果一个无方向连通图没有切断，那么称为点-双连通，一般简称为双连通(biconnected )，如果没有桥，那么

4、称为边-双连通(edge-biconnected )。 点-双连通的等效条件：任意两点上存在两条“点不重叠”路径。 这个要求，因为两边都在同一个单纯的环上，所以相当于内部没有分割顶点。 边-双连通的等效条件：在任意两点存在两条“边不重叠”路径。 并非所有边都是桥，因为此要求稍低，每条边必须在至少一个简单环中。 点/边-二重连通成分，下图中有两个点-二重连通成分： 1、2、3和3、4、5，但只有一个边-二重连通成分： 1、2、3、4、5。 算法，边-二重连成分：走两步，求所有的桥，然后再进行dfs染色。 由于边缘-双连通成分没有共同的顶点，只要保证在第2次dfs时不通过桥接即可。 点-双连通分量

5、：天津校正算法(参照后述)、void DFS (入口、出口) lowu=preu=DFS _ clock； int d=Gu.size ()； for (英寸=0； i=preu) /u是分割顶点或根，意味着一个bcc的结束bcc_cnt。 打印机(bcc % d、连接(% d、%d):n、bcc_cnt、u、w )； 派尔e； do e=S.top ()； S.pop ()； 打印(% d % dn、首次打印、秒)； 威尔！=mp(u，w )； 魔法少女最小(最小，最前)； 有有向图的强连通分量，理想的是从I、c、d依次从DFS出发，则对每个DFS恰好获得一个SCC、Kosaraju算法，执

6、行两次DFS，其中的第一次DFS获得关于各SCC的拓扑分析顺序的信息，而第二次DFS获得关于该拓扑分析顺序的、 步骤2 :校正g的转置GT (即，将所有的有向边(u，v )改变为有向边(v，u ) )步骤3 :对GT执行DFS，并且若在主循环中以从小到大的顺序考虑列表中的每个节点，则针对每个DFS获得不同的sfs修订多少骑士不能参加任何会议。 有n个骑士，m个相互憎恨的骑士对N=1000，m=100000，以骑士为顶点制作无向图g。 如果两个骑士不互相憎恨的话，他们之间就会有无向边。 问题是求出哪个奇圈都没有的顶点的个数。 如果图g不连通，就应该对每个连通分量分别求解。 在下文中，假设图g是连

7、通的。 假定节点v在一个奇数环上，定义使得该环上的所有节点属于相同的点-双连通分量。 因为这个双重连通成分包含奇圈，所以不一定是二分图。 相反地成立了吗？ 即，如果结点v所属的某个双连通成分b (由于v有可能属于多个双连通成分)不是二分图，则v必然属于一个奇圈吗？问题是，表示尽管b不是二分图，但必然包含奇圈c，该c中可能不包含v 我们必须想办法混合v。 如图所示，根据连通性，从v必须能够到达c中的某个结点u1。 根据双重连通性，在c中存在另一个结点u2，从v开始有2个非交叉路径(除起点以外没有共同结点)，分别到达u1和u2。 在c中，u-1到u-2的两条路线的长度都是奇偶，因此可以构造总是穿过

8、v的奇圈。 主算法：对于各连通成分的各二重连通成分b，如果不是二分图，则在b内的所有结点上标记为“奇圈上”。 供水井下的矿工，地下的稀有金属矿由n条隧道和几个连接点构成，每条隧道连接两个连接点。 任意两个连接点之间最多只有一条隧道。 为了减少矿工的危险，你的任务是在一些连接点上安装太平供水井和相应的逃生装置，以便无论哪个连接点倒塌，不在这个连接点上的所有矿工都能到达太平供水井并逃生。为了节约成本，尽可能在连接点上挖太平井太平井数量最少时的设置方案总数也有必要进行订正。 本问题的模型是，在无向图上选择尽可能少的点进行涂黑(对应太平井)，任意地去除点之后，使每个连通成分至少有一个黑点。 可以看出，

9、将切削掌门人涂黑不花费成本，同一点-双重连通成分中图的两个黑点也不花费成本。 进一步分析可知，如果将各点-双重连通成分收缩为一个点，图整体就会变成一棵树。 最好的方案是，对每个树的叶结点选择一个非割顶进行涂黑，云同步地解决两个问题。 一个特殊的情况是整个图没有断开。 此时，必须涂抹至少两个点，计划总数为C(V，2 )，其中v是连接点的数量。 在等价性证明、数学中，我们常常需要完成一些命题的等价性证明。 例如，命题a，b，c，d有4个，证明ab，还有bc，最后的cd。注意每次的证明是双向的，总共完成了6次的导出。 另一种方法是证明ab、bc、cd和最后的da，仅需4次。 现在，你的任务是证明n个

10、命题都是等价的。 并且，你的小伙伴已经为你做了m次推导(知道每次推导的内容)。 你必须至少进行几次导出才能完成整个证明吗n=20000，m=50000，用分析、图论用语来说，本问题是给出n个节点的m条边的有向图，尽量填充少的边，使新的格拉夫强连通。 首先找到强连通成分，将各个强连通成分缩小为一个点，得到一个DAG，接着如果a个结点(别忘了，这里的各结点对应于原图的一个强连通成分)的入度为0，b个结点的出度为0，则maxa，b为答案。 注意特殊情况：原图紧密连接时，答案不是1而是0。 证明留给读者。 无向仙人掌、仙人掌各点定义为最多1个简单(结点不重复)电路上的连通无向图。 你的任务是订正无向图

11、的“仙人掌度”。 也就是说，它有多少生成子格拉夫(包括它自己)都是仙人掌的。 如果原图不是仙人掌，输出0、采用分析DFS树的方法求出问题解决的方法。首先，对于一个节点u，如果DFS树上的某小盆友v满足low(v) 1，则该图必然输出0而不是仙人掌。 对于仙人掌，只需修正仙人掌度即可吗？很明显，对于不属于任何环的边，无法删除，但对于长度为l的环，有L 1种选择(保留或删除其中的任意一条边)。 根据乘法原理，答案是所有环长度加1相乘的结果。 所有算法的时间复杂度都是O(m )，因为所有的工作都可以在一个DFS内完成。 为具体实现，需要留心不需要递归地修正答案以避免栈内存的向上溢出。 一个好方法是递

12、归地只记录每个环的长度，等所有处理完成后再进行高精度的修正运算。 二叉图最大匹配，二叉图最大匹配，二叉图：节点可分为两个部分x和y，各部分无内部边缘连续匹配：没有共同点的边集合未复盖点：不与任何匹配边相邻的点最大匹配：边数最多的匹配、和如果最终将穿过一个非匹配边到达另一个非匹配点的非匹配边的数量大于匹配边的数量的匹配边与非匹配边进行交换，则该匹配是合法的，但如果给基数加1，则可以使用、 匹配是最大匹配，m不是最大匹配，取最大匹配m，取m和m的对称差g，g在m中的边应该比m中多。 g有三个可能的连通分支孤立点。 因为m的扩展电路存在(如果存在)并与m最大匹配不符点，所以存在m的扩展电路，并且Ha

13、ll定理在二叉图(x，y，e )中对于x的任何子定径套a存在完全匹配(x的节点全部匹配)的满足条件： 如果不是始终需要的空，则各个节点是吸收点的(否则有扩展路径) .寻找以x0为端点的m相关的所有交织路径，设y节点的集合为y，x节点的集合为x，则y节点与X-x0的节点一一对应，因此|X|Y| 假定A=X，并且不是来自固定的未复盖点的树Edmonds-Karp算法：对所有的未复盖点进行排队，而是BFS搜索/扩展路由时间都是o (m ) -最大O(n )次时间复杂度O(nm ) Hopcroft算法：每次沿多个放大电路向云同步放大，每次搜索多个节点不交叉的最短放大电路时的最短放大电路定径套极大，基

14、于时间复杂度DFS，算法：一次选择一个未盖点u进行DFS的Hopcroft算法， 如果每次发现的最短扩大路集是极大的，则可以证明只要扩大下一个密钥即可：在O(m )时间中找到极大最短扩大路集的步骤1 :在距离标签条中扩大匈牙利树，找到第一个未盖点时不停这样，找到的所有未盖点距离标签条都是相同的步骤2 :每次取得任一未盖点时，在DFS中找到到起点的扩展路径(仅距离标签条下降的方向)，标记通过点，找到所有扩展路径的总时间为O(m )，基于DFS的算法， 每次定理：从贪婪匹配(而不是空匹配)假定g的匹配为m，不存在来自非吸收点u的扩大后的电路，并且如果存在另一个扩大后的电路p，那么g也不存在来自u的

15、关于扩大后的新匹配的扩大后的电路，并且定理3360将g的匹配假定为m 假设不存在来自非吸收点u的放大电路，存在的g也从u开始与放大后的新匹配m相关的放大电路证明：放大后从u开始存在放大电路q，如果q和p不相交，则q在M-放大电路中不符点q的两个M-非吸收点从u，v .从u开始沿着q行走，设第一个p中结点为w，w将p分成两个，其中一个在m中边与w相关，得到从u开始扩展的路、w、v0、_0。 匹配边缘中权重最大的边缘权重最小算法1:2分最大边缘权重，去除不满足条件的边缘，最大匹配算法2 :从权重最低的边缘开始，一次添加一个边缘，保持交错树的森林。 您最多可以添加一个联蕾丝花边。 只要找到n条交织轨道即可，但因为维持交织树森林的平房复杂度为O(1)，所以总时间复杂度依然为O(N3)，进行分析，如果有完美的匹配，则Alice失败。 因为Bob只需沿匹配的边缘行进，所以Alice获胜：任意确定最大匹配，Alice Alice只需要沿着匹配的边缘移动，下一个Bob只需要它移动到另一个复盖点，而Alice就可以移动到它。 应用实例：机器调度，有两台机器a、b和n个应执行的塔斯克。 每台机器有m种不同的模式，每台塔斯克I正好在一台