常用概率分布

1、常用概率分布,内 容,二项分布 Poisson分布 正态分布,分布的概念 分布的条件 分布的特征 分布的应用,概率的意义及相关的一些概念,考虑： 确定n之后，阳性数目的概率分布（随机变量X=阳性数目） 掷一枚均匀钱币：P(正面朝上)0.5，P(正面朝下)0.5 掷一枚均匀骰子：P(1朝上)P(2朝上)P(6朝上)1/6,第一节 二项分布,二项分布是一种重要的离散型随机变量的分布，又叫伯努利分布 （Bernoulli)。 二项分布的总体：由非此即彼事件构成的总体。,离散型随机变量的概率,掷一枚均匀钱币，其结局可视为一个变量，这个变量的“值”或为“正面朝上”，或为“正面朝下”，而且，不同的值各有一

2、个出现的概率。 P(正面朝上）0.50; 一般地，一个随机变量含两个要素： 1.它是一个变量； 2.这个变量可能值的出现各具有一定的概率。,概 念与定理：,组合(combination):从几个元素中抽取x个元素组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数，记Cnx 几个相互独立事件同时发生的概率等于各独立事件的概率之积。,1. 摸球模型,一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏，每次摸1球，然后放回再摸。先后摸100次，摸到零次黄球的概率？ (1)第1次摸到白球的概率：0.6 (2)第2次摸到白球的概率：0.6 (100)第100次摸到白球的概率：0.6 100次都摸到白球

3、的概率：0.60.6 0.6=0.6100,摸到3次黄球的概率有多大？ 黄黄黄白白白白白 概率=0.430.697 黄黄白黄白白白白 概率=0.430.697 黄黄白白黄白白白 概率=0.430.697 ,三个特点： 二分类：每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球； 独立：各次摸球是彼此独立的； 重复：每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。 具备以上三点的概率分布就是二项分布。,例如：,口袋内黑球80%，白球20%，摸球放回，摸5次，黑球出现总次数X的概率函数。,例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为。某医生用此方法治疗头痛患者3例，2例有效的概率是多少？

4、,二项分布,一、概率函数 (概率分布表) 二项分布名词解释： 观察结果二项； 概率等于二项展开式。,例如：,以某种毒物注射于小白鼠作致死毒性实验，假如致死的概率为0.5，生存的概率也为0.5。现在用1只小白鼠作毒性实验，那可能出现两种情况：一种是小白鼠死亡，另一种为存活；如果用两只小白鼠同时做实验，预期出现四种不同的结果：2只都死亡，2只都存活，1只死亡，另一只存活；同理如果用3只小白鼠做实验，预期出现8种情况。,二项分布的三个条件,各事件相互独立：即任何一件事的出现与否不影响其他事件的发生概率。 各事件相互排斥：即二项试验的两种对立的结果不可能同时发生，二者必居其一，而且只有其一。 每次试验

5、的条件不变，各事件发生的概率不变。,二项概率分布,二项概率分布：如果一个事件A，在n次独立试验中，每次试验都具有概率，那么这一事件A将在n次试验中出现k次的概率为：,（三）二项分布的特征,1、二项分布的图形特征,由此可见：,1、二项分布的图形取决于两个参数与n ，高峰在= n 处。 2、当接近0.5时，图形是对称的； 离0.5愈远，对称性愈差。 3、当n 时，只要不太靠近0或1，特别是nP和n(1-P)都大于5时，二项分布则近似于正态分布。,2、二项分布的均数与方差、标准差,(1)以阳性数计算：,已知二项分布的，n，则阳性事件的 均数 n 方差 2 n(1-) 标准差 ,(2)以率计算,则平均

6、阳性率 （即样本率的均数为总体率） 方差2(1-)/n 标准差 为率的标准差，反映率的抽样误差大小，也称率的标准误，反应了样本率相对于总体率分布的离散程度。,四、二项分布的应用,一、概率估计,X为出现阳性的次数，例子见P51,二、单侧累计概率计算,第二节 Poisson 分布,一、概念 Poisson 分布是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。 Poisson 分布可看作是发生的概率（或未发生的概率1- ）很小，而观察例数很大时的二项分布。 Poisson 分布一般记作（）,医学领域中Poisson分布的实例,单位容积（水、牛奶）中细菌的分布； 患病率很小的非传染病在人群中的分

7、布 野外旷野中单位面积上昆虫（钉螺）的分布 计数器中单位格中的细胞数的分布。,Poisson 分布的特征,泊松分布的数学表达式为： 在n个取样单位内，出现x0，1，2,n个阳性事件的理论概率分别为下列公式的展开式： 式中P(x)为出现阳性事件例数为x的理论概率，e为自然对数的底， x是为观察单位内某稀有事件的发生次数， =n为总体平均数，在实际应用中可以用样本均数作为总体均数的估计。,Poisson 分布在20时，近似于正态分布。,Poisson分布的特点：,1、Poisson 分布的总体均数与总体方差相等，均为。 2、 Poisson 分布的观察结果有可加性。如水样的细菌培养。,Poisso

8、n 分布的应用,一、概率估计 见例4-7 二、单侧累计概率计算,见例4-9,正 态 分 布 及 其 运 用,1、概 念 2、图 形 3、特 征 4、面 积 5、正态分布的运用,1、正 态 分 布 的 概 念,正态分布 (normal distribution): 又称Gauss分布，正态分布曲线是一条高峰位于中央（均数所在处），两侧完全对称，两端永远不与横轴相交的钟型曲线。,表5-4 （体模）骨密度测量值的频率分布表,2、图 形,联系：,正态分布的函数式为：, X + ,为总体均数，为总体标准差 。,3、正态分布的特点,1、关于 x= 对称。 2、在x= 处，该概率密度函数为最大值，在 X=

9、处有拐点，表现为钟型曲线。 3、曲线下面积为1。 4、 决定曲线在横轴上的位置。 5、 决定曲线的形状。,正态分布：有两个参数,1、位置参数 :描述正态分布的集中趋势位置。 2、形态参数 ：描述正态分布的离散程度。 越小，分布越集中，曲线越“瘦高”； 越大，分布越离散，曲线越“肥胖”。 记为N（ ， 2），表示均数为，标准差为的正态分布 见图4-5。,1,3,3,1,4、正态分布曲线下面积的分布规律,面积的分布规律由两个参数决定； 横轴上、曲线下的面积为1；曲线下的面积就是概率。 曲线下,横轴上对称于0的面积相等。,正态曲线下面积分布可用公式求得：,但求该积分相当困难，可通过以下变换：,标准正

10、态分布,则Z服从均数为0，标准差为1的标准正态分布。 它将均数作为坐标原点，并使新坐标的横轴尺度以 为单位。,通过该变换，对于非标准正态分布，可求得曲线下任意（X1，X2）范围内的面积。,（- z）：其大小相当于z值左侧标准正态曲线下面积。 见书P431,统计用表。 当z值一定时，曲线下： 左侧面积： （- z） 右侧面积： 1 （- z） 中间面积：12 （- z）,常用：x取值在区间,当资料是样本资料，且样本含量较大时，总体均数 可用样本均数 代替； 总体标准差 可用样本标准差s代替； 正态分布曲线下的面积分布规律，可以写成 s ； 1.96s； 2.58s 。,正态分布和标准正态分布曲线

11、下面积分布规律,正 态 分 布 标 准 正 态 分 布 面 积 (或概率),-1 +1,-1.96+1.96,-2.58+2.58,68.27%,95.00%,99.00%,正 态 分 布 的 面 积 分 布 规 律,标 准 正 态 分 布 的 面 积 分 布 规 律,许多医学指标服从正态分布或近似正态分布,如：同性别、同年龄儿童的身高； 同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白； 实验中的随机误差等。 因此，通过正态曲线下面积的分布规律： 概括地估计变量值的频数分布； 用于了解某个体值在其所属群体中占据何种位置。,例 如：,已知某地120名20岁男大学生身高均数 172.90cm，标准差s=4.0

12、9cm。 （1）身高在182cm以上者占该地20岁男大学生总数的百分数？ （2）身高在165175cm者占该地20岁男大学生总数的百分数？ （3）该地80%的男大学生身高集中在哪个范围？,（1）已知身高 172.9cm,B、查附表 (标准正态曲线下的面积） 左侧找到Z=-2.22，即2.22的面积为0.0132 故 2.22的面积也为1.32 %， 即身高在182cm以上者占该地20岁男大学生的1.32 %,A、先做标准正态变换：,（2）已知x1165cm，x2=175cm A、计算u值 Z1=(165-172.90)/4.09=-1.93 Z2=(175-172.90)/4.09=0.51

13、B、查附表： （1.93）0.0268，即 1.93的面积为0.0268 （0.51）0.3050，即 0.51的面积为0.3050 则0.51的面积为0.3050 区间（1.93，1.51）的面积: p10.02680.30500.6682 身高在165175cm者占该地20岁男大学生的66.82%。,（3）求80%的男大学生身高集中在哪个范围？ 查附表： 标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应 的u值是1.28，所以80%的男大学生身高集中在 1.28s 区间内。 即在 167.66cm至 178.14cm之间。,练习题,张三期末考试物理为86分，数学为92分，已知其班级物理均分是78

14、分，标准差是10，数学均分为84分，标准差是16。 问张三哪门功课考得好？,5、正 态 分 布 的 应 用,（一）确定医学参考值范围,在医学上，一般常把95%的正常人某指标所在的范围作为参考值范围。 正常人： 不是指完全健康的人，而是指排除了影响所研 究指标的疾病和有关因素的同质人群。,95%医学参考值范围仅仅是指某特定人群中，95%的个体指标值在此范围内，并不能说明凡在此范围内都“正常”，凡不在此范内都不“正常”。该范围在临床上只能作为参考。,确定参考值范围必须抽取足够例数的样本 如果测定值在性别间或年龄组间差别较大，则应分“层”确定参考值范围。 根据资料的类型，选用正态分布法和百分位数法,

15、对健康人的一些生理、生化指标的观察值，如果它们的分布是近似正态的，在求得均数和标准差后，即可应用概括估计变量值频数分布的方法，计算其参考值范围。,双测95 %的界值为 1.96s ， 换言之， 1.96s ，包括其相对频数95， 均数1个标准差范围内，包括其相对频数65， 均数3个标准差范围内，包括其相对频数99.7,两种确定参考值范围的方法,如双侧95%医学参考值范围为：P2.5P97.5 单侧范围P5 以上或P95以下。 如：肺活量用P5 以上来表示单侧95%医学参考值范围。 血铅、发汞含量用P95以下来表示单侧95%医学参考值范围。,2. 质量控制图,控制图的基本原理就是：如果某一波动仅

16、仅由个体差异或随机测量误差所致，那么观察结果服从正态分布。,：作为上下警戒线,：作为上下控制线,图(a) 图(b),判断异常的八种情况,（1）有一个点距中心线的距离超过3个标准差（位于控制限以外）。 （2）在中心线的一侧连续有9个点。 （3）连续6个点稳定地增加或减少。 （4）连续14个点交替上下。 （5）连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（位于警戒限以外）。 （6）连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差 （7）中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都在1个标准差以内。 （8）中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差范围。,三、二项分布、泊松分布的正态分布近

17、似,1、二项分布的正态近似,二项分布图取决于和n 因二项分布在当n 时，只要不太靠近0或1， 特别是n 和 n(1- )都大于5时，二项分布则近似于正态分布N ( n，n(1-),二项分布累积概率正态近似计算公式为：,见例4-14, 与例4-6比较,Poisson 分布的正态近似,当20时，Poisson分布资料可按正态分布处理,见例,（3）正态分布是许多统计方法的理论基础,t检验、方差分析、相关回归等均建在正态分布的基础上。 t分布，泊松分布的极限分布是正态分布。,案例讨论,见P62 已知: =7/10万，n=10万，求(17)=? 可求得:=n=7，则：,因0.00060.01，故2000

18、年与2001年艾滋病感染率持平的说法是不成立的。对否？,答案,该例不能用Poisson 分布来计算，因爱滋病是传染病，不是独立事件,练习题1：,经大量调查得知，某市正常3岁女童的体重近似服 从正态分布，平均体重 x =15.5公斤,标准差s=1.9公斤。今有一女孩生后随母亲接触铝尘，3岁时其体重为12公斤。按99%的正常值范围衡量，问此女孩体重是否正常？ 答案,答案：（正常） 因99%正常值范围为：,练习题2,观察某第100名12岁男孩身高，均数为138.00cm，标准差 为4.12cm，Z=（128.00-138.00）/4.12=-2.43。 （z）是标 准正态分布的分布函数， 1 （z）=1（-2.43）=0.9925，结论是：,A、理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%。 B、理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25%。 C、理论上身高在128.00cm至138.00cm的12岁男孩占99.25%。 D、理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%。 E、理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%。 答案,答案为E。,练习题3,为了解某城市7岁男童身高发育情况，随机抽查该市区 110名7岁男童，平均身高为119.95cm，标准差为4.72cm。,（1）用