2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)

1、数学直通车-基本初等函数（I）,知识体系,第一节 一次函数、二次函数,基础梳理,1. 一次函数的性质与图象 (1)函数 叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R. (2)一次函数具有如下一些主要性质: 函数值的改变量 与自变量的改变量 的比值等于常数k; 当k0时,一次函数是 ;当k0时,一次函数是 ; 当b=0时,一次函数变为 函数,是奇函数;当b0时,它既不是 ,又不是 ; 直线y=kx+b与x轴的交点为 ,与y轴的交点为,y=kx+b(k0),增函数,减函数,正比例,奇函数,偶函数,(0,b),2. 二次函数的性质与图象 (1)函数 叫做二次函数,它的定义域是 (2)二次函数有如下性质:

2、函数的图象是 ,抛物线顶点的坐标是 ,抛物线的对称轴是 ; 当a0时,抛物线开口向上,函数在 处取 ;在区间 上是减函数,在 上是增函数; 当a0时,与x轴两交点的横坐标 分别是方程a 的 的两根;当=0时,与x轴切于一点 ;当0时,与x轴 ; 当b0时,是非奇非偶函数；当b=0时,是 ; 对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线 对称.,R.,一条抛物线,最小值,向下,(0,c),没有交点,偶函数,x=a,3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系,4. 二次函数在闭区间上的最值问题 y=f(x)=a +k(a0)在m,

3、n上的最值问题. (1)hm,n时, =k, =maxf(m),f(n)； (2)h m,n 时,当hn时,f(x)在m,n上单调递减, = , = .,递增,f(m),f(m),f(n),f(n),典例分析,题型一 一次函数性质的应用,【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴的下方,求实数m的取值范围.,分析 当k0时，y=kx+b(k0)为增函数,其图象与y轴的交点为(0,b).,解 y=(m+2)x+2m-1是增函数, m+20. 又函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,2m-10. 由、解得-2m .,学后反思 函数y=kx

4、+b(k0)解析式中参数k与函数单调性有关,k0时,函数图象是上升的;k0时,交于x轴上方;b=0时,交于原点;b0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.,举一反三,1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时： (1)这个函数为一次函数? (2)函数值y随x的增大而减小? (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上?,解析: (1)当m 时,这个函数为一次函数. (2)根据一次函数的性质,可知当2m-10,即m 时,y随x的增大而减小. (3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0), 将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0, m=

5、 .,题型二 确定二次函数的解析式 【例2】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同，开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点，写出函数f(x)的解析式. (1)函数g(x)= ,f(x)图象的顶点是(4,-7). (2)函数g(x)=-2 ,f(x)图象的顶点是(-3,2).,分析 题中给出了顶点坐标，可用顶点式设出二次函数，再由g(x)确定a的值.,解 如果二次函数的图象与y=a 的图象开口大小、方向都相同，设顶点坐标为(h,k),则其解析式为y=a +k. (1)因为f(x)与g(x)= 的图象开口大小、方向都相同，f(x)的图象的顶点是（4，-7），所以f(x)

6、= -7= -8x+9. (2)因为f(x)与g(x)=-2 的图象开口大小、方向都相同,f(x)图象的顶点是(-3,2)，所以f(x)=-2 +2=-2 -12x-16.,学后反思 （1）要求函数的解析式，由于已知函数的类型为二次函数，从而可 设y=a +bx+c(a0)，根据已知条件列方程组求出参数a、b、c即可. (2)二次函数的解析式有三种形式: 一般式:y=a +bx+c(a、b、c为常数，a0); 顶点式:y=a +k(a、h、k为常数，a0); 两根式:y= (a、 为常数，a0). （3）要确定二次函数的解析式就是确定解析式中的待定系数（常 数），由于每种形式中都含有三个待定系

7、数，所以需要三个独立条 件，这要求深刻挖掘已知条件.,2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.,解 方法一:利用二次函数一般式. 设f(x)=a +bx+c(a0). 由题意得, 解得 所求二次函数为y=-4 +4x+7. 方法二:利用二次函数的顶点式. 设f(x)=a +n(a0). f(2)=f(-1),举一反三,抛物线对称轴为x= ，m= . 又根据题意函数有最大值y=8, y=f(x)=a +8. f(2)=-1,a +8=-1，解得a=-4. f(x)=-4 +8=-4 +4x+7. 方法三:利用二次函数的两根式. 由已

8、知f(x)+1=0的两根为 =2, =-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即f(x)=a -ax-2a-1. 又函数有最大值 =8,即 =8, 解得a=-4或a=0(舍去). 所求函数解析式为f(x)=-4 +4x+7.,题型三 二次函数的图象和性质 【例3】将函数y=-3 -6x+1配方，确定其对称轴和顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图象.,分析 配方后，利用二次函数的性质解决.,解 y=-3 -6x+1=-3 +4，由于 项的系数为负数，所以函数图象开口向下；顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1;函数在区间(-,-1上单调递增，在区间-1

9、,+)上单调递减；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值为4.采用描点法画图,选顶点A(- 1,4)，与x轴的交点B（ ）和C 与y轴的交点D(0,1)，再任取一点 E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.,学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确. (2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交点为特征点进行画图.,解析:令f(x)=t,由 +bf(x)+c=0, 得 +bt+c=0. 要使有7个解，则必须有两解，即f(x)=| +

10、2x|与f(x)=t有7个交点 （如图），所以方程必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=| +2x|折上去的顶点，故式有一解为 ，另一直线与f(x)=| +2x| 的图象有4个交点，故式的另一解 必在（0,1)上，所以 ，所以bc.,答案:C,题型四 二次函数在特定区间上的最值问题,【例4】已知函数f(x)=- +2ax+1-a在0 x1时有最大值2,求a的值.,分析 作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在0,1上的单调情况.,解 当对称轴x=a1,如图3所示. 由图可知，当x=1时y有最大值, =f(1)=2a-a=2, a=2,且满足a1,

11、a=2. 综上可知，a的值为-1或2.,学后反思 二次函数y=a +bx+c(a0)在区间m,n上求最值的方法:先判断 是否在区间m,n内. (1)若 m,n,则最小值为f( )= ,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n)中与 距离较远的一个为最大值);,(2)若 m,n,当 n时,f(x)在m,n上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m).,举一反三,4. （2010唐山综测)已知函数f(x)= -2ax+3 -1(a0,0 x1)，求函数f(x)的最大值和最小值.,解析：f(x)= -2ax+3 -1= +2 -1, 由a0知，当a1时，由于f(x)在0,1上是减函数，故

12、f(x)的最大值 为f(0)=3 -1,最小值为f(1)=3 -2a; 当0a1时，f(x)的最小值为f(a)=2 -1,f(x)的最大值为f(0),f(1)中 的较大者. 若f(0)f(1)，则3 -13 -2a, 解得a ，所以当0a 时，f(x)的最大值为f(1)=3 -2a; 当 a1时，f(x)的最大值为f(0)=3 -1.,题型五 二次方程根的分布问题,【例5】（12分）已知函数f(x)=m +(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.,分析 本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系，可根据韦达定理去解决.,解 (1)当m=0时,f

13、(x)=-3x+1,直线与x轴的交点为 ,在原点右侧,符合题意.2 (2)当m0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点(0,1).3 若m0,f(x)的开口向下,如图1所示. 二次函数图象与x轴的两个交点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.5,若m0,f(x)的开口向上,如图2所示.图1图2 要使交点在原点右侧,当且仅当 8 解得 m1或m9, 0m3, 即0m1. 10 综上所述,所求m的取值范围是(-,1.12,举一反三,5. 方程2 -3x=k, （1）若方程在x-1,1的范围内有实根,求实数k的取值范围. （2）若在（-，-1）和（1，3）上各有一实根，求实数k的取值范围.,学后反思

14、(1)对于“二次”型函数,若 的系数不确定,要分系数等于零与不等于零两种情况讨论. (2)对于二次方程根的分布,一般借助二次函数的图象比较容易解决.,解析 (1)设f(x)=2 -3x-k, 对称轴为x= . 方程f(x)=0在-1x1的范围内有两实根时,有 即 解得 k-1. 方程f(x)=0在-1x1的范围内有且仅有一个解时,有 即 解得-1k5. 综上所述,k的取值范围是,（2）由题意知，函数f(x)=2 -3x-k与x轴有两个交点.如图所示得 f(-1)0， 0， f(1)0, f(3)0， 即 2+3-k0， 9+8k0， 2-3-k0, 18-9-k0， 解得5k9. 所以方程在（

15、-，-1）和（1，3）上各有一根时，k的取值范围是(5，9).,易错警示,【例】求函数y= -2ax-1在0,2上的值域.,错解 当x=0时, =-1; 当x=2时, =4-4a-1=3-4a.,错解分析 因为函数y= -2ax-1的对称轴为x=a,而a的值不确定,对称轴是变化的,需讨论a的大小与0,2的关系,结合二次函数的单调性来解决问题.,正解 当a2时, =f(2)=3-4a, =f(0)=-1,此时,函数值域为3-4a,-1.,10.（原创题）已知函数f(x)=| -2ax+b|(xR)，给出下列命题：f(x)必是偶函数； 当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；

16、若 -b0，则 f(x)在区间a，+上是增函数； f(x)有最大值 -b. 其中正确命题的序号是 .,解析:f(x)= ，对称轴为x=a，由于a不一定为0，故错； 显然也不正确.只有是正确的.,答案：,考点演练,当0t1时，g(t)=f(1)=1； 当t1时，f(x)在t,t+1上为增函数, g(t)=f(t)= -2t+2. 综上所述，,12. 设二次函数f(x)= +ax+a，方程f(x)-x=0的两根 和 满足 . (1)求实数a的取值范围; (2)试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小，并说明理由.,解析：方法一：（1）令g(x)=f(x)-x= +(a-1)x+a,则由题意可得,

17、故所求实数a的取值范围是(0, ). (2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2 ,令h(a)=2 . 当a0时，h(a)单调增加， 当0a 时， 即f(0)f(1)-f(0) .,方法二:(1)同方法一. (2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2 , 由(1)知0a , . 又 ,于是 即 ，f(0)f(1)-f(0) .,方法三：(1)方程f(x)-x=0 +(a-1)x+a=0.由韦达定理得 , ,于是 故所求实数a的取值范围是 (0, ) (2)依题意可设 ，则由 得f(0)f(1)-f(0)= f(0) 故f(0)f(1)-f(0) .,第二节 指数与指数函

18、数,基础梳理,1. 整数指数 (1)整数指数幂概念: =aaa(n个a） (nN*); = (a0); (a0,nN*). (2)整数指数幂的运算性质: (m,nZ); (m,nZ); (m,nZ,a0); (nZ).,1,2. 分数指数 一般地,如果 =a，那么x叫做 ，其中n1,且nN*. 当n是奇数时, ；当n是偶数时, , (a0); (a0,m,nN*,且n1); (a0,m,nN*,且n1).,3. 有理指数幂的运算性质 设a0,b0,则 (r,sQ); (r,sQ); (rQ).,4. 指数函数的定义 形如 的函数叫做指数函数,a的n次方根,a,y= (a0,且a1),5. 指数

19、函数的图象与性质,y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,(0,1),典例分析,题型一 指数运算性质的应用,【例1】化简或计算. (1) (2) (3)已知a,b是方程 -6x+4=0的两根,且ab0,求 的值.,分析 有理指数幂的运算应注意“化小数为分数”、“化根式为分数指数幂”的原则.,解 (1)原式= (2)原式=,(3)由条件知a+b=6,ab=4,又ab0,所以,学后反思 (1)当条件给出小数或根式形式时,一般要化小数为分数,化根式为分数指数幂. (2)对于计算结果,如果条件用分数指数幂给出,结果一般也用分数指数幂的形式给出;如果条件用根式形式给出,结果也往往采用根式形式. (3

20、)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.总之应符合化简结果的要求.,举一反三,1. 计算:(1) (2) (3)若 =3,求 的值.,解析： (1)原式= (2)原式= (3)因为 =3,所以 则 所以 所以,题型二 指数函数的图象的应用,【例2】已知函数y= , (1)作出函数的图象; (2)指出该函数的单调递增区间; (3)求函数的值域.,分析 本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域.,解 (1)由函数解析式可得 其图象分成两部分: 一部分是y= (x-2)的图象,由下列变换可得到: 另一部分y= (x

21、-2)的图象, 由下列变换可得到: 如图为函数y= 的图象. (2)由图象观察知函数在(-,-2上是增函数. (3)由图象观察知,x=-2时,函数y= 有最大值,最大值为1,没有最小值,故其值域为(0,1.,学后反思 （1）本例也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图象变换（平移、伸缩、对称）作出,作法如下: (2),举一反三,2. 如图是指数函数：y= ;y= ;y= ;y= 的图象，则a、b、c、d与1的关系是( ) A. ab1cd B. ba1dc C. 1abcd D. ab1dc,题型三 指数函数性质的应用,【例3】求下列函数的定义域和值域. (1)y= ; (2)y= (3)y=

22、,分析 指数函数y= (a0,a1)的定义域为R,所以y= 的定义域与f(x)定义域相同;值域则要应用其单调性来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则.,解析:方法一：在中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有bd1ab.,答案:B,解 (1)x0，函数定义域为xR|x0， x0， 0，y= 1.故函数的值域为(0,1)(1,+). (2)因为 +10恒成立,所以定义域为R.又因为y= ,而0 1,所以-1 0,解得0y1,所以值域为(0,1). (3)令- -3x+40，解得-4x1,所以函数y= 的定义域为-4,1.设u= (-4x1),易得u在x=- 时取最大值

23、,在x=-4或1时取最小值0,即0u .所以函数y= 的值域为 ,即函数y= 的值域为1, .,学后反思 (1)弄清复合函数的复合过程. (2)利用“同增异减”结论，准确判断其单调性.,举一反三,3. 下列函数中值域为正实数集的是( ) A. y= B. y= C. y= D. y=,解析： A中，y= 的值域为正实数集,而1-xR,y= 的值域为正实数集;B中,当x=0时, -1=0;C中,y取不到1;D中，函数值域为0,1). 答案： A,题型四 指数函数性质的综合应用,【例4】(12分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时,f(x)= (1)求f(x)在-1,

24、1上的解析式; (2)求证:f(x)在(0,1)上是减函数.,分析 求f(x)在-1,1上的解析式,可以先求f(x)在(-1,0)上的解析式,再去关注x=1,0时的函数值;函数的单调性可利用单调性定义来证明.,解 (1)当x(-1,0)时,-x(0,1). f(x)是奇函数, f(x)=-f(-x)= .2,由f(0)=-f(0), 且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1), 得f(0)=f(1)=f(-1)=0.4 在区间-1,1上,有 .6 (2)证明：当x(0,1)时,f(x)= . 设00,即 , 11 f(x)在(0,1)上是减函数. 12,学后反思 本题以指数运算、指数函

25、数的性质为基础进行整合,考查了指数函数及其性质的掌握情况.第(1)问求f(x)的解析式时,易漏掉对x=-1,0,1的讨论.,举一反三 4. 设关于x的方程 -b=0(bR). （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解,解析（1）原方程为b= +1， = -2 = -1-1， 当b-1,+)时方程有实数解. （2）当b=-1时， =1，方程有唯一解x=0； 当b-1时， =1+b 0,1+ 0， 的解为 ； 令1- 0 1 -1b0, 当-1b0时， =1- 的解为 ； 综合、，得 当-1b0时，原方程有两解： ； 当b0或b=-1时

26、，原方程有唯一解： ； 当b-1时，原方程无解.,【例】设a0且a1,如果函数f(x)= 在-1,1上的最大值为14,求a的值.,错解 当x=1时,f(x)有最大值,即 +2a-1=14, +2a-15=0,a=3(a=-5舍去).,错解分析 错解中：(1)忽略了字母参数a1与0a1的不同情况,默认f(x)在-1,1上单调递增;(2)对于f(x)= ,没有从 的本身范围与f(x)单调性之间关系去考虑问题.,正解 y= ,x-1,1. (1)当a1时, ,令t= , 则y= ,t , 易知y= 在 上单调递增. 当t=a,即 =a时, = =14, a=3(a=-5舍去). (2)当0a1时,

27、； 同(1)得当t= ,即 = 时, = =14, 解得a= （a=- 舍去.） 综上所述,a= 或a=3.,10. （2009山东）若函数f(x)= -x-a(a0,且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.,考点演练,解析:函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数.由函数的图象可知,当a1时两函数图象有两个交点;当01.,答案:(1,+),11. （2009江西)设函数f(x)= . (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若k0,求不等式f(x)+k(1-x)f(x)0的解集.,解析：（1）f(x)= 由f(x)=0，得x=1.因为当x1时，f(x)0; 所以f

28、(x)的单调增区间是1,+);单调减区间是(-,0),(0,1.,(2)由f(x)+k(1-x)f(x)= 得(x-1)(kx-1)1时，解集是 .,12. 定义域为R的函数f(x)= 是奇函数. (1)求a,b的值; (2)若对任意的tR,不等式f( -2t)+f(2 -k)0恒成立,求k的取值范围.,解析： (1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即 =0，解得 b=1，从而有f(x)= .又由f(1)=-f(-1)知 解得a=2.所以a=2,b=1. (2)方法一:由(1)知 由上式易知f(x)在(-,+)上为减函数.,又f(x)是奇函数,从而不等式f( -2t)+f(2 -k)-

29、2 +k, 即对一切tR有3 -2t-k0,从而判别式=4+12k1. 因为底数21,所以3 -2t-k0，即上式对一切tR均成立,从而判别式=4+12k0,解得k .,第三节 对数与对数函数,基础梳理,1. 对数概念 (1)定义:一般地,如果 那么x叫做以 ,记作 ,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. (2)对数性质 没有对数,即 ; 1的对数为0,即 底的对数等于1,即 (3)对数恒等式: (4)常用对数:通常将 叫做常用对数,N的常用对数 简记为 . (5)自然对数:以无理数 称为自然对数,N的自然对数 简记作 .,a为底N的对数,零和负数,N0,以10为底的对数,lgN,e=2.718

30、 28为底的对数,lnN,2. 对数的运算性质 如果a0,且a1,M0,N0,那么 (1) ; (2) ; (3) .,3. 换底公式及常见结论 (1)换底公式: (2)常见结论(其中a,b,c0且a,b,c1): , , ,1,-1,4. 对数函数的定义:一般地,函数 叫做对数函数,它的定义域为 ,值域为 .,(0,+),R,5. 对数函数的图象与性质,R,（0，1）,y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,x轴,6. 反函数 指数函数y= (a0,a1)与对数函数y= (a0,a1,x0) ,它们的图象关于直线 对称.,互为反函数,y=x,典例分析,题型一 对数的运算,【例1】求下列各式的

31、值. (1) (2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求 的值.,分析 关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数恒等式、换底公式等进行变形和求解.,解 (1)原式= = = (2)由题意可得x0,y0,且x2y.又lgx+lgy=2lg(x-2y), xy= ,即 -5xy+4 =0, 解得x=4y(或x=y舍去). =4, =4.,学后反思 (1)熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出适合公式或性质应用的条件. (2)解(2)时要注意隐含在题目中的条件:x2y0,否则将导致 的值出错.,举一反三,1. 计算,求值. (1) ;

32、 (2)已知 其中a0,a1,求 的值 .,解析: (1)原式= = (2)根据对数的运算法则,原等式可化成 整理得 配方得 , xy=3, x=2y, ,题型二 对数概念及运算性质的综合应用,【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且 .求证: .,分析 本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对数的运算.,证明 设 =k(k0,且k1), ,学后反思 本题主要考查了两点: (1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化; . (2)换底公式的应用: (a0,a1,N0,N1).,举一反三,2. 设x,y,zR+,且 (1)比较3x,4y,6z的大小; (2)求证: .,解析： (1)令 =k,

33、则k1, k1, 同理,4y-6z0.3x4y6z.,(2)证明：由(1)得 而 ,题型三 对数函数的图象与性质,【例3】方程 的实数解的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,分析 在同一坐标系中分别画出函数y= 与y= 的图象,然后观察交点的个数,交点个数即为方程解的个数.,解 设 , 分别画出两个函数的图象,如图.从图象上观察 与 只有一个交点，所以实数解的个数为1.,举一反三,3. 方程 的实根的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,解析： 在同一坐标系中作出函数 与 的图象(如图),观察得知共有两个不同交点. 答案： C,【例4】设00,a1,比较 与

34、的大小.,分析 本题有作差法与作商法两种思路:（1）若m-n0,则mn;（2）对于m0,n0,若 1,则mn.,解 方法一:00, 0, 当a1时, 0, 综上可知, . 方法二 01.又 0, ,学后反思 (1)作差法要注意讨论a1与0a1两种情况，依据 对数函数单调性，合理去掉绝对值符号，然后判断函数值与0的关系. (2)作商法要注意比较的两式均同号，作商与1比较，本题是含有两绝对值的式子，先运用对数换底公式化简，然后去掉绝对值符号，根据对数函数的性质比较与1的关系.,举一反三,解析：当110时，lg m1，,4. 比较 与 (m1)的大小.,【例5】(12分)已知函数 （1）求 的定义域

35、、值域； （2）判断 的单调性，并给予证明； （3）解不等式,题型四 对数函数性质的综合运用,分析 利用函数的性质,结合指数、对数函数知识进行求解.,解（1）为使函数有意义,需满足a- 0，即 a， 又a1，x1.故函数定义域为(-,1).2 又由 ，f(x)1 即函数的值域为(,1).4,学后反思 (1)含参数的对数问题必须要注意对底数“1”还是“1”的讨论; (2)讨论函数单调性时,应注意复合函数单调性“同增异减”的原则.,举一反三,5. 已知f(x)= (a0,且a1). （1）求f(x)的定义域； （2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明.,解析： f(x)= ,令 0, 即(1+x)(

36、1-x)0,（x+1）(x-1)0, -1x1,函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)f(x)是奇函数. 证明：f(-x)= = =-f(x)，f(x)为奇函数.,易错警示,【例】求函数 的单调区间.,错解 方法一： 设 ,则u在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减;又 在定义域上单调递减,根据同增异减的原则,函数 在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.,方法二：设 ,则由u0,得-1x3, 则 在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减 在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减.,错解分析方法一忽视了函数 本身的定义域,导致出错; 方法二忽略了求复合函数的单

37、调区间及值域问题时,应从内层函数 与外层函数 两方面结合来考虑.,正解 先求函数的定义域,由 ,解得函数 的定义域是(-1,3). 设 (-1x3),又设-1 1,则 ,从 而 即 . 函数 在区间(-1,1上单调递减. 同理可得,函数在区间(1,3)上单调递增.,考点演练,10. (2008天津)设a1,若仅有一个常数c使得对任意xa,2a都有ya, 满足方程 ,这时a的取值集合为 .,解析： , ,即y= . 把 看成常数,则函数y= 在a,2a上单调递减, 当x=a时,y= ;当x=2a时,y=a. 即 a=2. 答案： 2,11. 已知f(x)= (a0,a1) (1)求f(x)的定义

38、域; (2)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围.,解析：（1）若使f(x)有意义，则 ,解得-11, ,解得0x1. 故x的取值范围为(0,1),12. 设a,bR,且a2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)= 是奇函数. (1)求b的取值范围; (2)讨论函数f(x)的单调性.,解析：(1)f(x)= (-bxb)是奇函数等价于: 对任意x(-b,b)都有 式即为 , 得 , 即 ,此式对任意x(-b,b)都成立相当于 .因为a2, 所以a=-2,代入式,得 ,即 ,此式对任意 x(-b,b)都成立相当于- -bb ,所以b的取值范围为(0, ).,(2)设任意的 , (-b,b),

39、且 , 由b(0, ),得- -b b , 所以 从而 因此f(x)在(-b,b)内是减函数.,第四节 幂函数,基础梳理,1. 幂函数概念:形如 的函数称为幂函数,其中x是 ,为 .,自变量,常数,2. 幂函数的图象(以y=x,y= ,y= ,y= ,y= 为例).,3. 幂函数的图象和性质 (1)所有的幂函数在 都有定义,并且图象都过点 (2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0,+)上是 . (3)0时,幂函数的图象在区间(0,+)上是 .在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近 ,当x趋于+时,图象在x轴上方无限地逼近 . (4)当为奇数时,幂函数为 ,当为偶数

40、时,幂函数为 .,(0,+),(1,1),增函数,减函数,y轴,x轴,奇函数,偶函数,4. 5个具体幂函数的性质,R,R,R,R,奇,奇,偶,奇,非奇非偶,增,增,增,增,减,典例分析,题型一 幂函数的定义,【例1】已知f(x)= ,m为何值时,f(x)是: (1)正比例函数? (2)反比例函数? (3)二次函数? (4)幂函数? (5)在(4)的条件下,满足在(0,+)上单调递增?,分析 (1)(2)(3)(4)分别用相应函数的定义来确定m的值,(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系.,解 (1)若f(x)为正比例函数,则 m=1.,(2)若f(x)为反比例函数,则 m=-1. (3

41、)若f(x)为二次函数,则 (4)若f(x)为幂函数,则 , m= . (5)由(4)得m= 当m= 时, ,f(x)= 在(0,+)上单调递减,不合题意; 当m= 时, ,f(x)= 在(0,+)上单调递增. 综上，m=,学后反思 本题考查各种函数的概念,需要根据相应函数的定义列出等式或不等式,并结合函数性质求出参数的值，同时分清哪种条件下的函数是幂函数.,举一反三,1.如果幂函数y= 的图象不过原点,则m的取值是( ) A. -1m2 B. m=1 C. m=2 D. m=1或m=2,解析: 由幂函数的定义, ,所以m=1或m=2.又图象不过原点,所以 -m-20,解得-1m2. 综上，m

42、=1或m=2. 答案： D,题型二 幂函数的图象及其应用,【例2】点 在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)问当x取何值时有:f(x)g(x)?f(x)=g(x)?f(x)g(x)?,分析 先求出幂函数的解析式,再利用图象判断f(x)、g(x)的大小关系.,解 (1)设f(x)= ,因为点 在幂函数f(x)的图象上,将 代入f(x)= 中,得2= ,解得a=2,即f(x)= . 设g(x)= ,因为点 在幂函数g(x)的图象上,将 代入g(x)= 中,得 ,解得b=-2,即g(x)= . (2)方法一:在同一坐标系下作出f(x)=

43、 和g(x)= 的图象如图所示. 由图象可知: 当x1或xg(x); 当x=1或x=-1时,f(x)=g(x); 当-11,即 1,即|x|1, x1或xg(x); 令 ,得 =1,即x=1时,f(x)=g(x); 令 ,得 1,|x|1,即-1x1且x0时,f(x)g(x).,学后反思 (1)求幂函数解析式的一般步骤: 设出幂函数的一般形式y= (为常数); 根据已知条件求出的值; 写出幂函数的解析式. (2)本题的第(2)问方法一采用了数形结合的思想,借助图象求出不等式和方程的解.方法二用分类讨论的思想,解不等式求x的取值范围,但必须要注意g(x)的定义域为x|x0,故f(x)g(x)的解

44、集为x|-1x1且x0,这是本题易错点.,举一反三,2.已知幂函数f(x)= (mZ)的图象与x轴、y轴均无公共点,且关于y轴对称,试确定f(x)的解析式.,解析: 由 得m=-1或1或3. 当m=-1或3时,解析式为f(x)= (x0); 当m=1时,解析式为f(x)= .,题型三 幂函数性质的应用,【例3】比较下列各组值的大小: (1) 和 ; (2) 、 和 ; (3) 和,分析 比较幂值的大小,一般可以借助幂函数和指数函数的单调性,有时也要借助中间值,解 (1) 由于幂函数y= 在(0,+)上是减函数,所以 , 因此 ,即 . (2)由于 1,0 1, 0,因此 (3)由于指数函数y=

45、 在R上是减函数,所以 又由于幂函数y= 在(0,+)上是增函数,所以 故有,学后反思 比较幂值的大小,常用以下几种类型: (1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较; (2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较; (3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来确定两幂值的大小.,举一反三,3. 当0ab1时,下列不等式正确的是( ) A. B. C. D.,解析： 由0ab1,可知ab,0a1, 01-b1-a1, , 答案： D,题型四 幂函数的综合应用,【例4】(12分)已知对任意的 (0,+)且 ,幂函数 f(x)= (pZ)满足 ,并且对任意的

46、xR,f(x)-f(-x)=0. (1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式; (2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(x)=-qf(x)+(2q-1) +1,问是否存在实数q(q0),使得g(x)在区间(-,-4上是减函数,且在 (-4,0)上是增函数?若存在,求出q的值;若不存在,说明理由,分析 由条件看出f(x)是偶函数，且在(0,+)上是增函数.这样可求出f(x)的解析式,再代入g(x)得g(x)的解析式.,解 (1)幂函数f(x)= (pZ)在(0,+)上是增函数, 0,解得-1p3.2 又pZ,则p=0或1或2. 当p=0或2时,f(x)= 不是偶函数; 当p=1时,

47、f(x)= 是偶函数, p=1,此时f(x)= .4,(2)g(x)=-q +(2q-1) +1.令t= , 设G(t)=g( )=-q +(2q-1)t+1(t0).6 t= 在(-,0)上是减函数, 当x(-,-4时,t16,+); 当x(-4,0)时,t(0,16).8 当G(t)在16,+)上是增函数,在(0,16)上是减函数时,g(x)在(-,-4上是减函数,在(-4,0)上是增函数,此时二次函数G(t)的对称轴方程为t=16,10 即t= q= . 存在符合题意的实数q,q= .12,学后反思 幂函数的图象与性质是本题考查之一.对于存在性问题,一般先假设存在,再利用若存在则具备什么

48、关系来建立求变量的方程,若求出则说明假设成立;若求不出则假设不成立,即不存在,具有开放性结论的命题是近年来高考命题的热点之一.,4. 已知函数f(x)= (kZ)满足f(2)f(3). (1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式; (2)对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在正数q,使函数 g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间-1,2上的值域为 .若存在，求出q;若不存在，说明理由.,举一反三,解析：(1)由f(2)0,-10满足题设.由（1）知g(x)=-q +(2q-1)x+1,x-1,2. g(2)=-1,两个最值点只能在端点(-1,g(-1)和顶点 处取得. 而 g(

49、x)max= , g(x)min=g(-1)=2-3q=-4，解得q=2. 存在q=2满足题意.,【例】已知幂函数y= (mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,求满足 的实数a的取值范围.,正解： 函数在(0,+)上单调递减, 0时, 0, 等价于a+13-2a0或3-2aa+10或a+103-2a,解得a-1或 a . 故实数a的取值范围为,易错警示,错解 由于y=x- 是(-,0),(0,+)上的减函数，故有a+13-2a, 解得a .,10. 给定一组函数解析式:y= ;y= ;y= ;y= y= ;y= ;y= ,如图所示为一组函数图象,请把图象对应的解析式的号码填在相

50、应图象下面的横线上,考点演练,解析：所给函数都是幂函数,都符合y= .A、C、E三个图象在第一象限是减函数,则1,故为y=x32,填.,答案： ,11. (2010开封调研）已知函数f(x)= ，且f(4)=- . (1)求m的值; (2)判断f(x)在(0,+)上的单调性，并给予证明.,解析：（1）f(4)=- , ,m=1. (2)f(x)= -x在(0,+)上单调递减， 证明如下： 任取 ,则 . , . , , 即f(x)= -x在(0,+)上单调递减.,12. 若f(x)= (nZ)的图象在0,+)上单调递增,解不等式 .,解析: 由已知得 0,解得-1x+3, 解得x3或x-1;

51、当n=1时,f(x)= , 此时原不等式可化为,解得x3或-3x3或x3或-3x-1.,第五节 函数与方程,基础热身,1. 函数零点的定义:对于函数y=f(x)(xD),我们把使 j 叫做函数y=f(x)(xD)的零点. 即:函数y=f(x)的零点就是 ,亦即,f(x)=0成立的,实数x,方程f(x)=0的实数根,函数y=f(x)的,图象与x轴交点的横坐标,2. 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象 有交点函数y=f(x) .,与x轴,有零点,3. 函数零点的求法:代数法:求方程f(x)=0的实数根;几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函

52、数的性质找出零点.,4. 函数零点的判断 一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得 ,这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.,f(a)f(b)0,f(c)=0,5. 二次函数的零点 下表是二次函数y=a +bx+c(a0)的图象与零点的关系,a0时依此类推.,无交点,两个零点,一个零点,无零点,6. 二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点 ,进而得到零点的近似

53、值的方法叫做二分法.,一分为二,逐步逼近零点,7. 给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间a,b,验证f(a)f(b) 0,给定精确度; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c), 若f(c) 0,则c就是函数的零点; 若f(a)f(c) 0,则令b=c(此时零点 (a,c); 若f(c)f(b) 0,则令a=c(此时零点 (c,b); (4)判断是否达到精确度,即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)(4).,=,典例分析,题型一 求函数的零点,【例1】求下列函数的零点. (1)f(x)=4x-3; (2)f(x)=- +2x+

54、3; (3)f(x)= -3x+2; (4)f(x)=x- +2.,分析 根据函数零点与方程根之间的关系,求函数的零点,就是求相应方程的实数根.,解 (1)由4x-3=0,得x= ,即f(x)=4x-3的零点是 . (2)由- +2x+3=0,得 -2x-3=0,解得 =-1, =3, 即f(x)=- +2x+3的零点为-1,3. (3)由 -3x+2= +2 -2 -4x+x+2= (x+2)-2x(x+2)+(x+2)= (x+2)=0,得 =1, =-2. 所以f(x)= -3x+2有两个零点1,-2,其中1是二重零点. (4)由x- +2= =0, =1, =-3,即函数 f(x)=x

55、- +2的两个零点分别为1,-3.,学后反思 求函数的零点就是求相应方程的根,一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根,即得到函数的零点.,1. 求下列函数的零点. (1)f(x)= -1; (2)f(x)=,解析： (1)由 -1=0,得x=1,所以f(x)= -1的零点是1. (2)由 ,得 =-1,所以f(x)= 的零点是-1,这是一个二重零点.,题型二 用二分法求方程的近似解,【例2】求函数f(x)= +2 -3x-6的一个为正数的零点(误差不超过0.1).,分析 由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间m,n,且f(m)f(n)0,所以可取区间1,2作

56、为计算的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的).,解 f(1)=-60,存在x(1,2),使f(x)=0. 用二分法逐次计算,列表如下:,|1.734375-1.71875|0.1， 所求的正数零点是1.734375或1.71875.,学后反思 用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算还是继续计算.,举一反三,2. 判断函数y= -x-1在区间1,1.5内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).,解析： 因为f(1)=-10,且函数y= -x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间1,1.5内有零点. 取区间1,1.5的中点 =1.25,由f(1.25)-0.30,得f(1.25)f(1.5)0,所以零点在区间1.25,1.5内;,取区间1.2