条件概率全概率贝叶斯公式

1、条件概率及乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式,例1 设口袋里装有 8 个球，5 个红的，3 个白的。先从中随机,取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。,试求以下事件的概率：,A：第一次取的是白球。 B：第二次取的是白球。,解：,其中：,记作,记作,条件概率及乘法公式,乘法公式,例2 为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，,系统 A 有效的概率为0.92，系统 B 有效的概率为0.93，,在系统 A 失灵的情况下，系统 B 有效的概率为0.85，,（1）C：发生意外时，这两个系统至少一个有效。,求以下事件的概率。,（2）D：系统 B 失灵的情况下，系统 A 有效。,解：设 A 表

2、示 “A 系统有效”，B 表示“ B 系统有效”。,由题目已知：,再由：,例2 为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，,系统 A 有效的概率为0.92，系统 B 有效的概率为0.93，,在系统 A 失灵的情况下，系统 B 有效的概率为0.85，,（1）C：发生意外时，这两个系统至少一个有效。,求以下事件的概率。,（2）D：系统 B 失灵的情况下，系统 A 有效。,解：设 A 表示 “A 系统有效”，B 表示“ B 系统有效”。,由题目已知：,乘法公式还可以推广至有限个事件的乘积的情形,例3 在一个化妆舞会上，有 20 个男同学，10 个女同学，试问：,其中男同学GG请的第三个舞伴还不

3、是女同学的概率。,解：“请的第三个舞伴还不是女同学”相当于“第一、第二、,第三次请的都是男同学”。,设 表示“第 次请的是男同学”。,则所求事件的概率是：,例4 在空战中，甲机向乙机开火，击落乙机的概率为 0.4，,若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.5，,若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.6，,求这几个回合中，（1）甲机被击落的概率；,（2）乙机被击落的概率。,解：设 A 表“乙机受第一次袭击就被击落”,B 表“甲机被击落”,C 表“乙机受第二次进攻时被击落”,则“甲机被击落”的概率,“乙机被击落”的概率,先下手为强！,例1 设口袋里装有 8 个球，5 个红的，

4、3 个白的。先从中随机,取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。,试求以下事件的概率：,A：第一次取的是白球。 B：第二次取的是白球。,解：,回顾例1：,去解决问题。,全概率公式,则对任一随机事件 B ，有,（全概率公式）,证明：,定理 设 构成一个完备事件组，且诸,例5 设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，,四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为,。求由这些种子所结的麦穗含 50 粒以上,麦粒的概率。,解：设 表示“此种子是第 等的”。,表示“所结的麦穗含 50 粒以上麦粒”,则,例6 如上图所示，求小孩取到红球的概率。,解：设 A 表示“从甲盒中取出红球

5、”，,C 表示“从丙盒中取出红球”。,则有：,B 表示“从乙盒中取出红球”，,例6 如上图所示，求小孩取到红球的概率。,解：.,例6 如上图所示，求小孩取到红球的概率。,解：.,答案：,方法：数学归纳法。,有些问题，利用它的层次感去看问题是方便的，如前面 各例，但有些问题则适宜整个面地去看。,例如：某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会 门票, 求第二位同学MM抽到门票的概率.,方法一：第二位同学MM抽到门票的概率为,方法二：第二位同学MM抽到门票的概率为,例5* 设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，,四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为,。若某粒种子

6、所结的麦穗含 50 粒以上,表示“所结的麦穗含 50 粒以上麦粒”,则,麦粒，问它是一等品的概率是多少？,所求的概率为：,解：设 表示“此种子是第 等的”。,设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，,四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为,。,表示“所结的麦穗含 50 粒以上麦粒”,设 表示“此种子是第 等的”。,在这个问题中,则 称为验前概率，,称为验后概率。,求验后概率的公式,贝叶斯(Bayes)公式,（贝叶斯公式）,证明：,定理 设 构成一个完备事件组，且诸,则对任一概率不为零的随机事件 B ， 有,例7 某保险公司针对人群中的某一类事故进行一项经营分析，,认为人可以分为“易出事故的”和“比较谨慎的”两类。前者,在一年内发生一起事故的概率是0.06，而后者在一年内发,发生一起事故的概率是0.02（假定不存在一年内发生两次,以上事故的情形），如果第一类人占人群的 ，那么，,一保险新客户在购买保单的一年内将发生一起事故的概,率是多少？若他（她）在一年内真发生了一起事故，问,他（她）是易出事故的人的概率是多少？,解：设 A 表示“该人属于易出事故的那一类”，,B 表示“该人出事故了”。,则：,例8 艾滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是否有携带 艾滋病病毒。设这种试验的假阴性比例为 ，假阳