第3章 力偶系 (1).ppt

1、第三章 力偶系,31力对点之矩矢,33力偶矩矢,32力对轴之矩,35力偶系的合成,36力偶系的平衡条件,34力偶的等效条件和性质,1. 力偶的概念,把大小相等、方向相反、作用线平行(不共线)的两个力叫做力偶。并记作（F，F）。可用图(a)表示,力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应。,一、力对点之矩,3-1 力对点之矩矢,一、力对点之矩,由上图知，力 F 使物体绕 o 点转动的效应，不仅与力的大小， 而且与 o 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 Fd 来 度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正 负号称为力 F 对点 o 之矩，简称力矩，以符号 表示。,即,应注意：力

2、对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。,矩心o 点称为力矩的中心； 力臂o 点到力 F 作用线的垂直距离d,力矩的单位：国际制 ，,力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。,当F=0或d=0时， =0。,=2AOB=Fd ,2倍形面积。,在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。, 力矩矢的表示方法, 力矩矢大小 ：, 力矩矢方位：,与该力和矩心组成的平面 的法线方位相同,三、力对点的矩：, 力矩矢的指向：与转向 的关系服从右手螺旋定则。, 力对点的矩的矢积表达式,如果r 表示A点的矢径，则

3、：,力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。,力对点之矩在轴上的投影：, 力对点的矩的解析表达式,则有：,若作用在刚体上的力系存在合力,四、合力矩定理,四、合力矩定理,表达式：,而,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和,( b ),( c ),由式（ a ），该汇交力系的合力 ， 它对矩心的矩,比较（ b ）、（ c ）两式有,解：直接用定义求,应用合力矩定理,力对轴之矩的概念,3-2 力对轴之矩,力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。,力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩.,力的作用线通过某轴或与它平行时, 力

4、对该轴之矩为零.,力对轴之矩计算公式,问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？,力对轴之矩,力对点之矩在各坐标轴上的投影,结论：力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影,3-3 力偶矩矢,力偶矩矢,力偶矩,其转动效应力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。,或,力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。,量纲：力长度，牛顿米（Nm）.,力偶的三要素,（3）力偶的方位。,一、力偶等效条件,在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。,（1）力偶矩的大小；,（2）力偶的

5、转向；,例如：方向盘,3-3 力偶的等效条件和性质,作用于刚体上的两个力偶等效的条件是它们的力偶矩矢相等。,因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。,二、 力偶的性质,1、力偶不能与一个力等效，因而也不能与一个力平衡；,2、力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的 转动效应,如下图(a)、(b)所示。,3、在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应,如下图(a)、(b)所示。,1. 两个力偶的情况,3-5 力偶系的合成,2. 任意个力偶的情况,这样得到新的力偶( , ), 则,平面力偶系合成结果还是一个力偶,其合力偶矩等于各分力偶

6、矩的代数和。,3-6 力偶系的平衡条件,平衡的充分必要条件:,空间力偶系 的平衡条件：,作用于刚体上的力偶系合成为一力偶,力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和等于零。,力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。,平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即,利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。,比较：,使物体沿力的作用线移动。,使物体在其作用平面内转动。,力,力偶,例3-2 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知F1 = F2=1.5 kN F3 = F4 = 1kN,求作用在板上的合力偶矩。,负号表明转向为顺时针。,解：由式,M = M1 + M2,则,M =-F1 0.1

7、8 F3 0.08 = -350 N m,研究BD,例3-2求当系统平衡时,力偶 应满足的关系。,研究AC,例3-3,长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶矩，各为 。求 A 、B 支座的约束反力。,解：作AB梁的受力图。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B 处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA ，FB ）才能与之平衡。,故,FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确。,由平衡方程,得,-M1+ M2+FB l cos60= 0,16 + 4 + FB4cos60 = 0,一简支梁作用一力偶矩为 M 的力偶 ，不计梁重，求二支座约束力。（ AB

8、= d ）,解：以梁为研究对象。,因为力偶只能与力偶平衡 ，,所以 FA = FB = M / d,例 题 3-4,FA = FB,又 M = 0,即 M + FAd = 0,所以,如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1 = M2 =10 N.m， M3 = 20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l = 200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。,FA = FB,解：,M = 0 ，,例 题 2,FA lM1 M2 M3 = 0,选工件为研究对象,FA = FB = 200 N,列平衡方程：,横梁 AB 长 l ，A 端用铰链杆支撑，B 端为铰支座。梁上受到一力偶

9、的作用，其力偶矩为 M ，如图所示。不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。,选梁AB为研究对象,解：,列平衡方程：,FA = FB,M = 0 ，,M FA l cos45o = 0,如图所示的铰接四连杆机构 OABD，在杆 OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，= 30，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的关系。,写出平衡方程： M = 0,解：,分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。,FAB = FBA,M1 FAB r cos = 0, M2+ 2FBA r cos = 0,解得：,解得：,解：,

10、已知：图示平面汇交力系，求此力系的合力.,例题1,解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。,图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D 都是光滑铰链，机构的自重不计。,例题2,(3) 列出平衡方程：,联立求解，得,又,例题2,解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。,2. 画出受力图（b)。,利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B (图(a) )。不计铰车的自重，

11、试求杆AB 和BC 所受的力。,例题3,3. 列出平衡方程：,4. 联立求解，得,反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。,例题3,例题3-5 如图所示框架CD上作用一力偶，其力偶矩 m = 40 N m，转向如图。A为固定铰链，C, D 和E均为中间铰链，B为光滑面。不计各杆件质量。试求系统平衡时，A, B, C, D 和 E 处的约束反力。,思路：系统平衡问题，可以先求出系统A, B两处的约束反力，然后以杆CD为研究对象，求出 C 和D处的反力，最后求 E 处的反力。,解：（一）先取整个系统为研究对象 （1）画出受力图。受力有力偶 m，B处的约束反力

12、 RB、铰链 A处的反力 RA。,（2）列出平衡方程。根据平面力偶系平衡条件，RA 必与 RB 构成一力偶，且与 m 相平衡。由平衡方程有：,（二）再取CD杆为研究对象 （1）画出受力图：,（2）列出平衡方程。根据平面力偶系平衡条件，RC 必与 RD 平行且方向相反，构成一力偶，且与 m 相平衡。由平衡方程有：,作用的力有力偶 m ，C 和 D处的铰链反力 RC、RD 。DE为二力杆，故，必沿ED的方向。,解：（1）选取AB杆为研究对象。再取BDC杆为研究对象。 （2）分别画出各自受力图。,（3）根据平面力系和平面力偶系的平衡条件，有：,例题 如图所示的结构中，杆件AB为1/4圆弧，其半径为r，构件BDC为直角构件，BD垂直于CD，其上作用一个力偶 M。已知：l =2r。试求 A, C两处的约束力。,例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为,求工