平行六面体与长方体.ppt

1、平行六面体与长方体,复习提问:,1棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？,2棱柱分为斜棱柱、直棱柱、正棱柱的依据 是什么？,3棱柱的三条性质？,平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱,直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体,长方体：底面是矩形的直平行六面体,正方体：棱长都相等的长方体,特殊的四棱柱,一、平行六面体与长方体：,四棱柱,平行六面体,长方体,直平行六面体,正四棱柱,正方体,底面变为 平行四边形,侧棱与底面 垂直,底面是 矩形,底面为 正方形,侧棱与底面 边长相等,几种六面体的关系：,其关系为：,练习:下列四个命题，正确的是（ ） A.底面是矩形的平行六面体是长方体 B.

2、棱长都相等的直四棱柱是正方体 C.有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D.对角线相等的平行六面体是直平行六面体,D,二、特殊的四棱柱性质：,问题1：在平面几何中平行四边形、长方形各有什么性质?,平行四边形对角线互相平分；长方形的长为a，宽为b，则对角线长为L2=a2+b2,问题2：在立体几何中平行六面体、长方体是否也有类似的性质呢?,求证：平行六面体的对角线相交于 一点，并且在交点处互相平分。,已知：平行六面体ABCDABCD 求证：对角线AC、BD、CA、DB相交于一点O，且在点O处互相平分。,结论: 1.平行六面体的对棱平行且相等。 2.平行六面体的对角线交于一点， 并且

3、在交点处互相平分。 3.平行六面体的四条对角线的平方和等于它12条棱的平方和。,定理：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。,结论:长方体AC / 中, AC / 是 它的一条对角线，则,例1：若长方体的三个面的面积分别为 、 和 ，则长方体的对角线长为_,解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 对角线长为l，则,把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在一个平面上，展开后的图形称为棱柱的侧面展开图；展开图的面积称为棱柱的侧面积。,棱柱的侧面积等于棱柱的各个侧面面积之和。,棱柱的侧面积和体积:,S侧S1+S2+,直棱柱:,斜棱柱:,S侧S1+S2+ V斜棱柱S底h高,棱柱的侧面

4、积和体积:,V直棱柱S底h高 S底l侧棱,S侧直截面周长侧棱长,V斜棱柱直截面面积侧棱长,例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别为BB1、CD的中点. (1)求证：ADD1F； (2)求AE与D1F所成的角； (3)证明：平面AED平面A1FD1.,F,E,例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别为BB1、CD的中点. (1)求证：ADD1F； (2)求AE与D1F所成的角； (3)证明：平面AED平面A1FD1.,F,E,解：(1)AC1是正方体 AD平面DC1 D1F平面DC1 ADD1F.,例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F

5、分别为BB1、CD的中点.(1)求证：ADD1F (2)求AE与D1F所成的角； (3)证明：平面AED平面A1FD1.,F,E,解： (2)取AB中点G，连结A1G、GE、FG F是CD中点， GF/AD,GF=AD， 又A1D1/AD,A1D1=AD， GF/A1D1且GF=A1D1， GFD1A1是平行四边形， A1G/D1F且A1G=D1F. 设AE、A1G交于H，则AHA1是AE与D1F所成的角.,G,H,例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别为BB1、CD的中点. (1)求证：ADD1F； (2)求AE与D1F所成的角； (3)证明：平面AED平面A1FD1.

6、,F,E,解： (3)ADD1F， AED1F，又ADAE=A， D1F平面AED. 又D1F平面A1FD1 平面AED 平面A1FD1.,例3：平行六面体ABCDA1B1C1D1的棱长都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60. (1)求证：平面ACC1A1平面BB1D1D； (2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距离.,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,例3：平行六面体ABCDA1B1C1D1的棱长都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60. (1)求证：平面ACC1A1平面BB1D1D； (2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距离.,A,B,C,D,

7、A1,B1,C1,D1,解:(1)作CO平面A1B1C1于O. 由CC1B1=CC1D1 O在B1C1D1的角平分线上， 又因为A1B1C1D1是菱形， O在A1C1上， 根据三垂线定理， 由B1D1A1C1得D1B1CC1， B1D1平面A1C1CA， 平面BB1D1D 平面A1C1CA.,例3：平行六面体ABCDA1B1C1D1的棱长都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60. (1)求证：平面ACC1A1平面BB1D1D； (2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距离.,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,(2)作OMB1C1于M，连CM， 由三垂线定理得CMB1C1， 在RtCC1M中，CC1=a，CC1M=60,C1M=,RtC1MO中，OC1M=30，有OC1=,于是OC2=CC12=C1O2=,即得C到平面A1B1C1的距离为,应用:,1、下列说法正确的是（ ）,A