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文档简介
1、1、偏微分方程教程第7章Fourier变换及其应用,2,1 Fourier变化及其性质【知识点提示】Fourier变换的定义及其性质及其逆变换。 【重、难点提示】求解函数的Fourier变换及其逆变换,特别是逆变换。 【教学目的】熟悉Fourier变换的定义和性质,能够很好地解开特定特殊函数的Fourier变换及其逆变换。 3、Fourier变换线性偏微分方程,特别是在常数线性偏微分方程的研究中非常重要。 对于求解各种数学物理方程式有普遍的意义。 本章系统地介绍Fourier变换的基本知识及其演算性质。 最后利用Fourier变换及其逆变换解决一些典型数学物理方程的解问题。 4、在学习常微分方
2、程解时介绍了Laplace变换,把常数系数的线性常微分方程求解与函数方程求解及其函数方程解进行Laplace变换逆运算. 其他形式的积分变换有木有能否使常数系数的线性偏微分方程特别是3种典型的数学物理方程的求解变得简单,这就是我们从此往后介绍的Fourier变换。如果是5,5,1.1 Fourier变换定义7.1,那么任意的积分都有意义,我们将其称为Fourier变换,或者标记为定理7.1 (Fourier积分定理),则由于是(1.1)、(1.2)、6,证:所以包含参照变量的积分对一致收敛,并且在能够证明简单易懂的同样的事情的另一方面,我们却有其中的连续函数。、1.5 )、8、现在被给予、先取
3、、大到一盏茶、当时、然后固定、取、大到一盏茶、黎曼-勒贝格(Riemann-Lebesgue )正在介绍、大到一盏茶定理证明完成,9,式(1.2 )称为反转式,左端的积分表示取Cauchy的主值。 由此定义的变换称为Fourier反变换,并且因此也可以描述(1.2),即,一个所属的函数在进行Fourier变换之后再进行Fourier反变换,并且返回到该函数本身,注意:以后反转Fourier变换我们不需要先深入研究是否满足上述定理的条件,直接应用它导出问题的形式解,然后通过直接验证,确定该形式解是“真解”,如果1.0、性质是7.1 (线性性质),则相对于任意常数,性质是7.2 如果、性质为7.3
4、 (对称性质),则基本性质在使用Fourier变换求解问题之前,先介绍了Fourier变换的基本性质。 如果、以及1.1、性质是7.3 (对称性质),则(1.8 )以上的3个性质的证明都可以从Fourier变换及其逆变换的定义中直接导出。 希望读者用自各儿完成。 如果性质是7.4 (微商性质),那么(1.9 )、1.2、证明:是假设、知道、事实、反证法也知道,即(1.10 )成立。 由于使用了自由(1.10 )、分支构造积分公式,1.3,如果推论7.1小,则(1.11 )、注意:这个性质指示了微商运算被变换成傅立叶变换然后被变换成乘积运算,所以可以使用傅立叶变换来使常数系数的常微分方程简化为函
5、数方程, 能够将偏微分方程简化为常微分方程的Fourier变换是解常系数的线性偏微分方程的重要工具。1.4,性质7.5 (乘法多项式),因为,所以,也就是说,知识(1.12 )成立。(1.12 ),有函数,1.5,推论7.2 如果是(1.13 ),性质7.6 (伸缩性质),则为非零常数,并且,(1.14 ),1.6,证:不失一般性,则.由定义7.1、有、1.7、性质7.7 (日式榻榻米嵌入性质),则、证:富比尼定理、有、(1.15 )、(1.16 )、1.8、进而若为Fubini定理、性质7.8 (Plancherel定理) 下面举例说明利用Fourier变换的定义和基本性质求出几个具体函数的
6、Fourier变换的方法。 求例1定径套、例2定径套、2.0、解:定义7.1,知道。 例3定径套,求。 解:由性质7.1、性质7.6得到。 在对、例4高斯函数、的Fourier变换、2.1、积分应用Cauchy定理来改变积分路径后,可以从、解:定义得到7.1、(图7-1 )、并行指令、2.2、图7-1,然后得到、2.3、例5设定、解: 为了消除高维空间的Fourier变换高维空间的常系数线性偏微分方程,我们需要介绍高维空间的Fourier变换.定义7.2,被称为积分、意义,如果是该Fourier变换,则称为、2.5、定理7.2,而函数、 对于具有表示Fourier逆变换的一维Fourier变换的性质7.1-7.
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