2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第9章 算法、推理与证明、复数―复数

1、学案4 复数,返回目录,一.复数的有关概念 1.（1）若i为虚数单位，规定i2= ; 实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立. （2）形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，a ,b 分别叫做复数的 . 若b=0,则复数a+bi为 ； 若b0，则复数a+bi为 ；,-1,实部、虚部,实数,虚数,考点分析,返回目录,（3）若a,b,c,dR，则a+bi=c+di的充要条件 是 . （4）若a,b,c,dR，则a+bi与c+di为共轭复数的充 要条件是 . 2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面叫 ， 叫做实轴， 叫做虚轴. （2）复数z=a+bi(a,bR)与复平

2、面内的点建立了 关系.,一一对应,a=c且b=d,a=c且b=-d,复平面,x轴,y轴,若b0，且a=0时，则复数a+bi为 .,纯虚数,返回目录,二.复数的运算： 1.运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR). （1）z1 z2= (a+bi)(c+di)= . （2） z1z2 = (a+bi)(c+di)= . （3） = .,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,（4）zmzn= ,(zm)n= ,(z1z2)n= （其中m,nZ）;,zmn,返回目录,（5） =(a+bi)n= ; （6）求a+bi的平方根. x2-y2=a , 2.常见的运算

3、规律 （1）i的周期性：i4n+1= ,i4n+2= ,i4n+3= , i4n= (nZ); （2）(a+bi)(a-bi)= ; （3）（1i）2= ；,求出x,y.,设(x+yi)2=a+bi，由,2xy=b,i,-1,-i,1,a2+b2,2i,（4） = , = ; （5） = ; （6）b-ai=(a+bi)(-i),-b+ai=(a+bi)i.,返回目录,i,i,-i,返回目录,复数z= +(m2-2m-15)i，求实数m，使得（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z所对应的点在复平面的第二象限；（4）z是复数.,考点一 复数的基本概念,【分析】根据复数的有关概念的定义，把此复

4、数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.,题型分析,返回目录,【解析】实部为 = ,虚部为 m2-2m-15=(m+3)(m-5). (m+3)(m-5)=0 m+30， m=-3或m=5 m-3. 当m=5时，z是实数.,(1)要使z为实数，则,即,返回目录,=0 (m+3)(m-5)0, m=-2或m=3 m-3且m5, 当m=-2或m=3时，z是纯虚数.,（2）要使z为纯虚数，则,即,（3）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知 0, m5或m-3. 当m-3时，z所对应的点在第二象限. R (m+3)(m-5)R, 当m-3时，z为复数.,

5、返回目录,即,m-3.,（4）要使z为复数，则,【评析】本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式；若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解.,返回目录,下列四个命题中正确结论的个数为（ ） 满足z= 的复数有1,i; 若a,bR且a=b,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数； 复数zR的充要条件是z=z； 复平面内x轴是实轴，y轴是虚轴. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,对应演练,返回目录,C(i不满足z= ，故错；当a=b=0时，(a-b)+(a+b)i是实数,故错；正确.故应选C.),C,返回目录,已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3

6、xyi=4-6i，求x,y.,【分析】解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.,考点二 复数相等的充要条件,【解析】设x=a+bi（a,bR），则y=a-bi,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i, 4a2=4, -3(a2+b2)=-6.,根据复数相等得,返回目录,a=1 a=1 a=-1 a=-1 b=1 b=-1 b=1 b=-1. x=1+i x=1-i y=1- i y=1+i x=-1+ i x=-1-i y=-1- i y=-1+i.,或,或,或,解得,或,所求复数为,或,或,【评析】利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.,2.已

7、知复数与（）均是纯虚数，则 .,【分析】根据复数代数形式，可设z=bi(bR,b0)，代入(z+2)2-8i并求出它的实部和虚部，利用定义求出b.,返回目录,【评析】由复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数的条件列出关系式.要完整理解复数分类的条件.本题中均不可忽视复数z=a+bi为纯虚数的一个必要不充分条件是b0.,返回目录,返回目录,对应演练,已知A=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,B=-1,3,且AB=3,求实数a的值.,AB=3, (a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3. a2-3a-1=3 a2-5a-6=0. a=-1.,返回目录,实数m取怎样的值时，复数z=

8、(m2-3m+2)+(m2-2m-8)i的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内.,【分析】复数z=a+bi(a,bR)与复平面的点z（a,b）建立了一一对应关系，因此只要求a,b所在象限也就知道了.,考点三 复数的几何意义,【解析】 要使z的对应点在第一象限，则有z的对 m2-3m+20 m2-2m-80 得-2m1或2m4，即为所求m的取值范围.,应点在第四象限.解,返回目录,【评析】复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上.若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数

9、对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限. 此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则z=1+bi(bR)；对应点在直线y=x上，则z=a+ai(aR)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用.,返回目录,对应演练,设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(mR)，若z对应的点在直线x-2y+1=0上，则m的值是 .,(z对应的点为(log2(m2-3m-3),log2(m-3)，又其在直线x-2y+1=0上，log2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,整理得 log2 2m2-6m-6=m

10、2-6m+9, 即m2=15,m= , 又m-30且m2-3m-30,m= .),返回目录,考点四 复数代数形式的运算,计算： （1） （2）1+in+i2n+i2 000n (nN).,【分析】（1）利用(1i)2=2i这一特点进行运 算;（2）利用in的周期性计算.,返回目录,【解析】（1）原式= （2）当n=4k(kN)时， 原式=1+1+1 =2 001； 当n4k(kN)时， 原式=,2 001个,【评析】（1）在计算过程中常出现一些比较有特 点的式子.如（1i）2=2i, , 等， 要抓住这一特点快速运算. (2)in的运算具有周期性.,返回目录,已知z=1+i. （1）设=z2+

11、3z-4,求； （2）如果 ，求实数a，b的值.,返回目录,对应演练,（1）z=1+i, =z2+3z-4=(1+i)2+3(1+i)-4=-1-i. （2）由 ，把z=1+i代入得 (a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i. a+2=1 a=-1 a+b=1 b=2.,返回目录,得,考点五 复数代数形式的综合运用,设z是虚数，=z+ 是实数，且-12. (1)求z的实部的取值范围； (2)设u= ，求证：u是纯虚数； (3)求-u2的最小值.,【分析】本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力.,返回目录,【解析】 (1)设z=a+bi(a,bR，且b0), 则

12、=z+ =a+bi+ =（a+ ）+（b - ）i. R,b- =0. b0,a2+b2=1. 此时=2a,又-12, -12a2 - a1. z的实部的取值范围是（- ,1）.,返回目录,(2)证明：u= = = a（- ,1）,b0,a,bR,u为纯虚数. (3)-u2=2a+ =2a+ =2a- =2a-1+ =2(a+1)+ -3. - a1,a+10. 2(a+1)+ -32 -3=1. 当且仅当a+1= ，即a=0时取“=”号， 故-u2的最小值为1.,返回目录,【评析】本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用

13、所学知识解决问题的能力,是高考改革的方向.,返回目录,设等比数列z1,z2,z3,zn,.其中z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a,bR且a0). （1）求a,b的值； （2）试求使z1+z2+zn=0的最小自然数n; （3）对（2）中的自然数n,求z1z2z12的值.,返回目录,对应演练,（1）z1,z2,z3成等比数列， =z1z3,即(a+bi)2=b+ai,a2-b2+2abi=b+ai, a2-b2=b, 2ab=a. 解得a= ,b= .,(a0),返回目录,（2）z1=1,z2= + i, 公比q= + i. 于是zn=（ + i）n-1. z1+z2+zn=1+q+q2

14、+qn-1= =0. qn=（ + i）n=(-i)n（- + i）n=1. 即n既是3的倍数又是4的倍数. 故n的最小值为12.,返回目录,（3）z1z2z12 =1（ + i）（ + i）2（ + i）11 =（ + i）1+2+11 =(-i)（- + i）66 =(-i)66（- + i）66 =-1.,返回目录,考点六 简单的复数方程,设关于x的方程是x2-(tan+i)x-(2+i)=0,若方程有实数 根,求锐角和实数根.,【分析】 以方程为载体,利用复数相等的条件建立方 程,再求解.,返回目录,【解析】设实数根为x0,则 - (tan+i)x0-(2+i)=0, -x0tan-2-(x0+1)i=0. x0,tanR, -x0tan-2=0 x0+1=0. x0=-1且tan=1,又0 ,= .,【评析】利用复数相等实现复数问题向实数问题的转 化,体现了转化思想.,返回目录,z=a+bi,则z=a-bi(a,bR). (1+2i)(a-bi)=4+3i, (a+2b)+(2a-b)i=4+3i. a+2b=4 2a-b=3, a=2,b=1,z=2+i. ,已知(1+2i)z=4+