2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用)：等比数列及其前n项和(新人教A版)

1、第三节 等比数列及其前n项和,三年13考 高考指数: 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.,1.在考试内容上常以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.重点考查通项公式、前n项和公式，同时考查等差、等比数列的综合应用. 2.在考试形式上主要以选择、填空为主,考查等比数列的性质及其应用.,1.等比数列的定义 (1)条件：一个数列从第2项起_等于同一个常数. (2)公比：是指_，通常用字母q表示(q0). (3)定义表达式: .,每一项与它的前

2、一项的比,常数,【即时应用】判断下列数列是否为等比数列(请在括号中填“是”或“否”) (1)数列1,-1,1,-1,1, ( ) (2)数列a,a,a,a,a, ( ) (3)数列an满足an=2an-1(n2,nN*,an0) ( ) (4)数列an满足an+1=2an(n2,nN*,an0) ( ),【解析】(1)是等比数列. (2)当a=0时，不是等比数列. (3)符合等比数列的定义，是等比数列. (4)a2与a1的关系不明确，不一定是等比数列. 答案：(1)是 (2)否 (3)是 (4)否,2.等比数列的通项公式 若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为 _.,an=a1q

3、n-1(nN*),【即时应用】(1)等比数列4 ,4,2 ,的第11项为 _. (2)在等比数列an中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式为 _. 【解析】(1),(2)设等比数列的公比为q，则 解得 答案:,3.等比中项 如果_成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即： G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.,a,G,b,G2=ab,【即时应用】(1)b2=ac是a、b、c成等比数列的_条件. (2)若等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5项为_. 【解析】(1)当a=0,b=0,c=1时，满足b2=ac,但a、b、c不成等比数列,反之，若a、b、c成等比

4、数列，则必有b2=ac,故b2=ac是a、b、c成等比数列的必要不充分条件.,(2)由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5, 答案: (1)必要不充分 (2),4.等比数列的前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=_. (2)当公比q1时,Sn= = .,na1,【即时应用】(1)在等比数列an中，a1=2.4,q=-1.5,n=5， 则Sn=_. (2)在等比数列an中，a1=8,q= an= 则Sn=_; (3)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn，则 =_.,【解析】(1) 答案:,等比数列的基本运算 【方法点睛】1.等比数列运算的通法 等比数列运算问题的一般方法

5、是设出首项和公比，然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.,2.等比数列前n项和公式的应用 在使用等比数列的前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q1两种情况求解. 【提醒】在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程.,【例1】(1)已知an是各项都为正数的等比数列,Sn是an的前n项和,若a1=1,5S2=S4，则a5=_. (2)(2011大纲版全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. 【解题指南】(1)根据5S2=S4，列方程求公比q. (2)建立关于a1和q的方程组，求出a1和q后再求an和Sn.,

6、【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q1, 又a1=1, q2=4,又q0, q=2.a5=a1q4=124=16. 答案: 16,(2)设an的公比为q，由题意得 解得 或 当a1=3,q=2时，an=32n-1,Sn=3(2n-1); 当a1=2,q=3时，an=23n-1,Sn=3n-1.,【互动探究】本例(2)中,若将“a2=6,6a1+a3=30”改为“a1+a2 =12,a2a4=1”，试求an和Sn. 【解析】设等比数列an的公比为q，由题意知 或 解得 或,当a1=9,q= 时, 当a1=16,q= 时,an=16 =(-1)n-143-n,【反思感悟】1.本例(1

7、)只有一解，本例(2)有两组解，在求解过程中，要注意根据题意确定解的个数. 2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,【变式备选】1.已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn=93，an=48，公比q=2，则项数n=_. 【解析】由Sn=93，an=48，公比q=2，根据等比数列的前n项和公式和通项公式可得 答案：5,2.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数 列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 【解析】方法一：设前2个数分别为a，b,则第3、4个数分别 为36

8、-b,37-a，则 解得 或 所以这四个数分别为12,16,20,25或者,方法二：设第2、3个数分别为b,c，则第1个数为2b-c，第 4个数为 则 或 所以这四个数分别为12,16,20,25或者,方法三：设第1、3个数分别为a,c，则第2、4个数分别为 然后根据题意可知 解得 或者 从而解得这四个数分别为12,16,20,25或者,等比数列的判定与证明 【方法点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若 (q为非零常数,nN*)或 (q为非零常数且n2,nN*)，则an是等比数列. (2)中项公式法：若数列an中，an0且an+12=anan+2(n N*)，则数列an是等比数列.,(3)

9、通项公式法：若数列通项公式可写成an=cqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列. 【提醒】前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.,【例2】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an，证明数列bn是等比数列. (2)在(1)的条件下证明 是等差数列,并求an. 【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系. (2)先求bn，再证明数列 是等差数列，最后求an.,【规范

10、解答】(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2, 有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5, b1=a2-2a1=3. 由Sn+1=4an+2 知当n2时，有Sn=4an-1+2 -得an+1=4an-4an-1， an+1-2an=2(an-2an-1) 又bn=an+1-2an，bn=2bn-1, bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.,(2)由(1)可得bn=an+1-2an=32n-1, 数列 是首项为 公差为 的等差数列.,【反思感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把 Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商 或 在作商时，无论使用 还是 都要考虑比值中是

11、否 包含了 这一项，这是很容易被忽视的地方.,【变式训练】数列an的前n项和为Sn，若an+Sn=n,cn=an-1，求证:数列cn是等比数列. 【证明】an+Sn=n, a1+S1=1,得a1= c1=a1-1= 又an+1+Sn+1=n+1, 2an+1-an=1,即2(an+1-1)=an-1. 又a1-1= 即 数列cn是以 为首项，以 为公比的等比数列.,等比数列的性质及应用 【方法点睛】等比数列的常见性质 (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则aman=apaq=ak2; (2)通项公式的推广：an=amqn-m(m,nN*); (3)若数列an,bn(项数相同

12、)是等比数列，则an, (0)仍然是等比数列;,(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk; (5)公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.,【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3 =5,a7a8a9=10，则a4a5a6=( ) (A)5 (B)7 (C)6 (D)4 (2)已知等比数列an满足an0，n=1,2,且a5a2n-5=22n (n3)，则l

13、og2a1+log2a3+log2a2n-1等于( ) (A)n(2n-1) (B)(n+1)2 (C)n2 (D)(n-1)2,【解题指南】(1)利用a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列求解. (2)根据a5a2n-5=an2先求an，再代入求解. 【规范解答】(1)选A.a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列, (a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=50, 又an0, a4a5a6=5,(2)选C.a5a2n-5=an2=22n且an0, an=2n, a2n-1=22n-1, log2a2n-1=2n-1, log2a1+log2a3+log2a

14、2n-1=1+3+5+(2n-1)=n2.,【互动探究】若本例第(1)题条件改为“a1+a2+a3=40, a4+a5+a6=20”,求数列an的前9项之和. 【解析】(a1+a2+a3),(a4+a5+a6),(a7+a8+a9)成等比数列, a7+a8+a9=40 =10, S9=40+20+10=70.,【反思感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解,但不如用等比数列的性质简单. 2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标,不要犯a2a5=a7的错误.,【变式备选】在等比数列an中，an0，若(2a4+a2+a6)a4 =36，则a3+a5=_. 【解析】an是

15、等比数列,an0, (2a4+a2+a6)a4= a3+a5=6. 答案: 6,【创新探究】等比数列与三角函数相结合的创新题 【典例】(2011福建高考)已知等比数列an的公比q=3,前 3项和 (1)求数列an的通项公式; (2)若函数f(x)=Asin(2x+)(A0,0)在x= 处 取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.,【解题指南】(1)先求a1，再求an. (2)先求出a3，从而A可知，再根据f(x)的图象过点( A),求 . 【规范解答】(1)由q=3, 解得,(2)由(1)知an=3n-2,a3=3. 函数f(x)的最大值为3,所以A=3. 当x= 时,f(x)取得

16、最大值, sin(2 +)=1. 又0,= 函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+ ).,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：,1.(2011辽宁高考)若等比数列an满足anan+1=16n，则公 比为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 【解析】选B.因为等比数列an满足anan+1=16n, 所以an+1an+2=16n+1 得q2=16.又因为anan+1=16n0,所以q=4.,2.(2012巢湖模拟)在等比数列an中，a1+a2=1,a3+a4=2,则a5+a6+a7+a8=( ) (A)10 (B)11 (C)12 (D)14 【解析】选C.由题意知,a1+a2