线性代数第三章.ppt

1、第三章 线性方程组,线性方程组在科学技术和经济管理领域都有着广泛的应用。解线性方程组是线性代数的 主要任务之一。本章讨论用消元法解线性方程组、线性方程组解得存在性和线性方程组解得结构等内容。,3.1 消元法解线性方程组,定义3.1.1：含有n个未知量的若干个线性方程构成一个n元线性方程组。如 (3.1),推论3.1.1 含有n个未知数n个方程的的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 .,定理3.1.2 若线性方程组（3.1）有解，且秩（ ） ，则当 时，（3.1）有唯一解，当 时，（3.1）有无穷解,例1 解线性方程组,例2 解线性方程组,例3 解线性方程组,例4 试确定 的值，使齐次线性方程

2、组,有非零解。,例5 当 为何值时，方程组,（1）无解； （2）有唯一解； （3）有无限多解,并在有无限多解式求其所有解。,例6 设有线性方程组,讨论当 为何值时， （1） 方程组有解？（2）无解？ （3）当有解时，试求出其解。,3.2 向量及其线性运算,定义3.2.1 n 个有顺序的实数所组成的数组称为一个n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为该向量的第i个分量。,定义3.2.2 所有分量都是零的向量称为零向量，记作,n维向量 的各分量都取相反数组成的向量称为的负向量，记作,定义3.2.3 如果n维向量 与 的对应分量全相等，即,则称向量 与 相等，记作 。,定义3.2.4 设

3、维向量 ， 则 与 的和记作 且,利用负向量的概念，可以定义向量的减法，即,定义3.2.5设 是一个维向量， 则数 与向量 的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作 ，且,例1 设,，,，,（1）求,（2）若有向量 ，满足 求 。,容易验证，向量的线性运算满足以下运算规律,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,其中 为任意向量， 为任意实数。,3.3 向量组的线性相关性,定义3.3.1 给定向量组 ,对于任意一组实数 ，表达式,称 为向量组的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。,给定向量组 和向量 ,如果存在一组实数 ，使得,则称 是向量组 的线性组合，又称向量 可由向

4、量组A线性表示（或线性表出）。,例1 设 ， ， ，则显然有,例2 任意一个向量 都可由,线性表示。因为,例3 零向量是任意一个向量组的线性组合。因为,例4 向量组 中的 任意一个向量 都可由该向量线性表示，因为,例题4 详见教材85页 （例5 + 例6）,定义3.3.2给定向量组 ，如果存在一组不全为零的实数,则称向量组 是线性相关的，否则称 是线性无关的。,注：1、“否则”指的是找不到一组不全为零的实数 ，使得,也就是说若 ，则 一定全为零。,2、单独一个非零向量一定线性无关，一个向量组中如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关。,3、仅含有两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向

5、量的对应分量成比,定理3.3.1 向量组 线性相关当且仅当以,为系数矩阵的齐次线性方程组 有非零解。,推论3.3.1向量组 线性相关当且仅当矩阵 的行列式值为零。,定理3.3.2向量组 线性相关的充要条件是向量组 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。,例5 判断下列向量组是否线性相关，如果线性相关，试将其中的一个向量表示为其余向量的线性组合。,（1）,，,，,；,（2）, 一个线性无关的向量组的极大无关组是该 向量组本身。,注： 条件（2）也可以改为“将向量组中的任意 一个向量添加到部分组 中，得到的向量组都线性相关”；,例5 在向量组 中，可以验证， 是该向量组的一个极大线性无关组， 也是

6、该向量组的一个极大线性无关组，这说明一个向量组的极大线性极大无关组是不唯一的。,性质：对矩阵A仅施行行初等变换得到矩阵B，则B的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系 即行初等变换保持了列向量的线性无关性及相关性,例6 求向量组 , 的一个极大无关组。,极大无关组中向量的个数=向量组的秩 初等行变换,求出下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合：,一 齐次线性方程组解的结构 二 非齐次线性方程组的解的结构,3.4 线性方程组解的结构,讨论齐次线性方程组 的解 在本例中，我们发现一个事实：它有无穷多个解；存在一个特殊的解，使得它的一般解可以用它线性表出；系数矩阵的秩显然为2，而未知量个数为3。（未知量个数-秩）=3-2=1，它恰好是用来线性表达一般解的特殊解的个数。,定义3.4.1 如果 是齐次线性方程组 （4,1）的解向量组的一个极大线性无关组，则称 是该方程组的一个基础解系。,其中,为任意实数。,若 是齐次线性方程组（4.1）的一个基础解系，则（4.1）的通解可以表示为：,定理3.4.1 对于n元齐次线性方程组 ，若秩（ ） ，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含的解向量的个数均为 。 除去极大无关组中的未知量，剩下的部分称为自由未知量，取相应的值可以得到基础解系。,例1 求线性