从美国微积分教材的演变看信息技术对教学内容的影响

1、从美国微积分教材的进化看信息技术对教育内容的影响，2010. 5，美国微积分教育在近几十年经历了巨大的变革，变革的主要动力是，大学的扩大学习微积分的人数急剧增加，学生能学习的微积分理论越来越少(部分规模大通过微积分期末考试的学生人数在一半以下)设立微积分教育时间增加的荣誉班各种专业班(商业微积分、生物微积分)改革微积分教育内容和教育方法的呼声高涨，美国微积分教育在近几十年经历了重大变革， 变革的主要动力在1957年影响了和前苏联“Moon Race”的竞争，出现了理论的严格性提高了的1960-70年代所谓的“新数学运动”，其主要特征之一是，强调用集合论的语言将数学教材体化的代表性教材， 在上个

2、世纪60年代出版的Apostol制作的Caculus中，从“集合论的基本概念”开始，介绍实数系公理：良序原则，连续的一致收敛等同时出版的托马斯微积分第4版的函数，由有秩序的实数对的集合定义的微积分课程的设定也在进行中美国微积分教育在近几十年经历了巨大的变革，变革的主要动力是：影响信息技术发展的有效数学软件(大幅度增强了计算、绘制、模拟功能)强大的网络技术(资源的获取、交流、师生交流、教育过程的实时反馈， 大幅加强监视的远程教育等)生动的计算机模拟(大幅强化抽象概念的量化、图形化、可视化)美丽的课程软件制作软件和技术(大幅提高、丰富了数学概念的表现能力)信息技术的发展为教育内容的改革创造了新的条

3、件，也提出了新的课题：现代信息本文考察的主要教材，以下重点分析信息技术对微积分教材内容的影响。 考察的教材有托马斯分析geometrycalculus的第四版(1960 )、第七版(1988 )、第十版(2004 )和第十一版(2005 ) calculus 3360 agraphicsapproachbyfinney、托马斯et al (他们是托马斯教材的几个编辑) Calculus by Apostol (第二版，1966) Calculus by Howard Anton (第八版，2005) Calculus by J. Stewart (第三版，5版，2003 ) Calculus

4、by Harvard大学协同小组(1994 )在改革过程中发挥了很大的作用：或在历史悠久、影响深远的现在销售或改革方面作出了巨大的努力，开辟了先河，信息化引起的微积分教材的变化之一：教材构成从单一的纸教材形成了网络化教材的1960年代出版的托马斯calculus第4版与我国现在的通用教材的构成形式相当接近(彩色插图除外)，但到了几年前出版的第10、11版，其构成形式已经有了天壤之别。最近美国教材的一般构成形式如下：信息化引起的微积分教材的变化、变化2 :信息技术的发展可能提供了1990年代以后出版的几个改革教材(特别是哈佛联合小组编写的教材) 明确地提出了“4个规则”和“archicames方

5、法”: 4个规则：每个概念都必须从图形、数值、代数和语言四个方面描述archicames方法：形式化的数学定义和方法是从其实际背景的考察导出托马斯calculus编辑的Thomas等人编写了名为calculus : a图形应用的初步微积分教材。在序文中引进了技术，把所有学生都可以学习微积分的微积分课改为“泵”，而不是“过滤器”。 技术允许我们以数值和图形的方式处理问题，为代数和分析方法提供直观的显示，并以图像方式模拟问题的背景。 根据技术，我们可以在分析、几何、数值等表现形式之间自由转换，探索它们的联系。 这种联系使对微积分的理解更丰富了，本书处理问题的示例性示例：通过第二操作1来创建比较图像

6、，其中a=2，10，1/2，1/10设定以下“使用图形浏览”:然后说出导数表达式汤姆计算编辑的信念，这种方法也表现在第10版的大学微积分中，例如：汤姆计算编辑的信念，例如引入函数y=f (x )的微分概念，在汤姆计算第4版中定义自变量x的微分d x是定义取任意实数值的自变量y的微分d y是由下式定义的自变量x和d x的函数： d y=f (x ) d x的第二步给与微分d y的几何解释并用图表表示，而在托马斯第十版中，微分定义用、 在局部范围内微分曲线y=x2的性质为直线，在第二步的分析中，通常是f (x )的微小点x=a，曲线y=f (x )的切线方程式是y=f (a) f (a)(x-a

7、)，其中的切线方程式是线性函数l (x )=f (a ) f (f 第三步是语言所定义的“线性化”:在f为x=a且微小的情况下，近似函数L(x)=f (a) f (a)(x-a )被称为在x=a处f的线性化。 在步骤4的数值验证： x=中，近似式的精度在x的值离开时误差变大。 例如，x=2，线性化对的近似值是2，没有小数点后的精度。 Anton编辑教材的处理方式中，强调这种数学概念的数值、几何学等直观背景的手法，一般被后期出版的美国微积分教材采用。 例如，在Anton中，在导入界限概念时，将关于界限的直观定义(记述性定义)分成三个步骤，在13页中利用直观的定义计算常用界限和界限运算规则，在10

8、页中得到界限概念的精度化，得到-定义，在10页中(可选)。 以Harvard教材的处理方式为例，导入导数概念后，为了加深概念的理解，将导数的计算分三个方面进行了举例讨论：求图像给定函数的导数； 求出用数值给出的函数的导数的式子给出的函数的导数(初始教材没有一般介绍前两种方法)然后从图像上向：教了什么？ 举出脉冲导数的例子，说明了元函数是阶梯函数，通过信息化引起的微积分教材的变化、变化3 :数学软件提供的方便的描绘功能，大大丰富了数学概念的几何表现。 这些例子是从托马斯第十一版中选出的。空间参数曲线、信息化引起的微积分教材的变化、Logistic方程式的倾斜场和积分曲线、信息化引起的微积分教材的

9、变化、Lagrange乘法的几何解释、利用二元函数的等高线确定最大(小)值的例子(在练习问题上出现)在托马斯第4版中没有。 由信息化引起的微积分教材的变化，由信息化引起的微积分教材的变化，后期出版的托马斯和其他微积分教材，增加了很多密切结合数学概念和图形的例题和练习问题，培养了学生“根据所给的信息制作相关图形”的能力和“从所给的图中读出相关信息”的能力信息化引起的微积分教材的变化，这种变化的出现与计算机软件提供的强力描绘功能无关的以下两个图取自托马斯的第4版和第7版(以后)。 显示了sinx的Maclaurin多项式接近sinx的情况。 这样，新版本的图形说明，由于信息化引起的微积分教材的变化

10、、变化4 :通过数学软件提供的强大的计算功能，教材比以前更重视方程式近似解、数值计算、函数近似中的误差估计等内容，论述更详细，例题和练习问题更丰富，例如， 定积分的数值计算托马斯版本仅介绍了梯形法(原理，误差式)的两个简单例题，以及相关练习问题有6个简单的计算问题(合计2.5页)，信息化引起的微积分教材的变化，托马斯第10，11版，特辑数值积分的一节。 详细介绍了梯形法和辛普森法及其误差估计公式。 例题增加了用数值表给出被积函数的情况，特别是讨论了分割数n取多少值时，能得到规定的精度。 例题中，从2个增加到9个的练习问题的量和与其相关的内容有很大的扩充，内容丰富的问题量增加到58个，有计算，有

11、误差估计，为了实现精度所需的分割数还存在很多实用问题(例如，鱼池中的养鱼量的估计，跑车的加速行程的估计，飞机翼形状的设计) 船舶排水量的推定等)、信息化引起的微积分教材的变化，值得指出的是，在增强图形和数值的同时，对理论严密性的要求在下降。 例如，托马斯第4版在叙述了定积分应用中的要素法后，通过介绍并证明什么情况下可以从发现的要素中得到正确的积分式，并对“Bliss定理”进行了证明，从而严格导出了求出曲线弧长的积分式。 另外，在叙述了曲面面积的计算式之后，用约2页的纸面，举例说明了不能用曲面的内接多面体的表面积来近似曲面面积。 这些内容在后期版本中被删除，信息化引起的微积分教材的变化，变化5

12、:作为信息技术发展的最直接表现，在新版本的教材中广泛应用了图形计算机、计算机和CAS以托马斯第11版为例，其练习题包含写有“t”和“Computer Exploration”的300种左右的练习题，前者要用计算机和计算机解决，后者要用CAS解决。 这些练习题在第四版中没有。 实现微积分的传统内容和计算机技术的有机结合，在传统内容中出现了新的面孔的“利用导数制图”这一传统内容，首先用计算机制图，利用导数的知识捕捉关键点，或对计算机制作的图形进行纠错的“函数近似” 通过计算机模拟，Stewart的新版本已经发展成了一个综合考虑材料浪费和制作成本的课题，它成为了非常直观且容易教育的内容剧场最佳座位的

13、确定问题，也成为了更接近现实问题的传统罐头外形问题。 另外，在我们教材的微分方程式一章中，有应用tribariri定理计算漏液时间的问题，在Stewart第5版发展成高层建筑屋顶水箱注水系统的实际课题。 这个课题是作者朋友在北京设计高层建筑时遇到的实际问题。 信息化导致微积分教材的变化、变化六：随着网络技术和应用的快速发展和普及，资料的获取和加工变得非常方便，新版本的教育内容相关资源变得非常丰富，教材的可读性大幅度提高。 如果合适的话，学生的学习兴趣，比如Anton本函数概念的例子(美国成人平均香烟消耗量统计表)也能有力地提高信息化带来的微积分教材的变化，不仅使得到资料的便利性丰富了教育内容(

14、历史资料、背景说明等)，而且一些学科交叉的内容也能被教材吸收，教育比如Stewart本的蒙特卡洛积分法、托马斯新版本的牛顿迭代法的“分形总线”现象扩大了信息化带来的微积分教材的变化、信息化带来的微积分教材的变化、变化：发达的网络技术，扩大了与新版教材各种应用问题相关的方面内容更加丰富，新版教材的重要特色之一突出的例子是哈佛大合作小组写的微积分，这本书以“问题驱动”方式组织材料，提供了很多实用问题，新而有魅力的Thomas第四版的应用问题往往仅限于几何和物理，少数是在管理方面的应用吗？ 而且这些问题也经过数学加工，可以手动解决，但是第10、11版有很大差异，在“作为变化率的导数”一节中，很好地分

15、析了8个变化率的实例。 除了通常的速度、加速度以外，还有生物学基因敏感性的实例、经济学的边际成本、边际收益、边际税率等与此相关的30多道练习题。 不仅应用问题的数量多，而且很多主题都来自生活和实际的科学技术问题，资料也是生动的实际数据，客观真实，是信息化引起的微积分教材的变化，应用问题很多关系到现代高科技内容，把第10版的练习问题3-5 (建模和优化) 其中几何应用问题30个，物理应用问题12个，经济学应用问题12个，医学应用问题3个，有关的问题类型有翼设计问题空气力学阻力问题，血管造影术和血管形成术，飞机运动对心脏的影响，Einstein相对论的质量能量转换问题，服药的有效量和安全量DNA分

16、子的螺旋形状的曲率和周转率的特征等与现代科学技术的发展有着密切的关系，刺激学生的兴趣，信息化引起的微积分教材的变化，一些结论信息技术的融合对微积分教材的影响很大，使教材的面貌焕然一新，仔细看看微积分的内容体系、框架和包含的基本知识点在新旧版的托马斯微积分教材和其他教材中，除了排序以外没有大的变化。影响主要表现在许多具体内容的处理和表现上，从“分析型”向“把分析和直观结合”转变的“理论型”向“应用型”，初等微积分教材那样的变化越显着，教育上的重点就越从“传授型教育”向“学生参加型教育”， 强调培养学生利用现代信息技术进行推测和数学建模的能力，一些结论、数学概念的抽象性、理论的严密性，通过现代信息技术尽量变得浅显易懂，可以降低教育难易度，适应高等教育进入大众化阶段的新情况，这就是美国我们现在正在经历这个过程，应该能从那里获得有益的经验。 从整体上来看，我认为我