平面向量数量积运算专题(附答案解析)

1、平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014天津)已知菱形abcd的边长为2，bad120，点e，f分别在边bc，dc上，bc3be，dcdf.若1，则的值为_.(2)已知圆o的半径为1，pa，pb为该圆的两条切线，a，b为切点，那么的最小值为()a.4 b.3c.42 d.32变式训练1(2015湖北)已知向量，|3，则_.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()a. b. c. d.(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余

2、弦值等于()a. b. c. d.变式训练2(2014课标全国)已知a，b，c为圆o上的三点，若()，则与的夹角为_.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为120，则|2ab|等于()a.2 b.4c.2 d.6(2)已知直角梯形abcd中，adbc，adc90，ad2，bc1，p是腰dc上的动点，则|3|的最小值为_.变式训练3(2015浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.高考题型精练1.(2015山东)已知菱形abcd 的边长为a，abc60，则等于()a.a2 b.a2c.a2

3、d.a2 2.(2014浙江)记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则()a.min|ab|，|ab|min|a|，|b|b.min|ab|，|ab|min|a|，|b|c.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2d.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|23.(2015湖南)已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则|的最大值为()a.6 b.7c.8 d.94.如图，在等腰直角abo中，oaob1，c为ab上靠近点a的四等分点，过c作ab的垂线l，p为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)等于()a. b.c. d.5.在平面上，|1，

4、.若|，则|的取值范围是()a.(0， b.(，c.(， d.(，6.如图所示，abc中，acb90且acbc4，点m满足3，则等于()a.2 b.3c.4 d.67.(2014安徽)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()a. b. c. d.08.(2014江苏)如图，在平行四边形abcd中，已知ab8，ad5，3，2，则的值是_.9.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且

5、e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_.10.如图，在abc中，o为bc中点，若ab1，ac3，60，则|_.11.已知向量a(sin x，)，b(cos x，1).当ab时，求cos2xsin 2x的值；12.在abc中，ac10，过顶点c作ab的垂线，垂足为d，ad5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014天津)已知菱形abcd的边长为2，bad120，点e，f分别在边bc，dc上，bc3be，dcdf.若1，则的值为_.(2)已知圆o的半径为1，pa，p

6、b为该圆的两条切线，a，b为切点，那么的最小值为()a.4 b.3c.42 d.32答案(1)2(2)d解析(1)如图，()()()()22cos 120222222cos 1202，又1，1，2.(2)方法一设|x，apb，则tan ，从而cos .|cos x2x21323，当且仅当x21，即x21时取等号，故的最小值为23.方法二设apb，0，则|.|cos ()2cos (12sin2).令xsin2，0x1，则2x323，当且仅当2x，即x时取等号.故的最小值为23.方法三以o为坐标原点，建立平面直角坐标系xoy，则圆o的方程为x2y21，设a(x1，y1)，b(x1，y1)，p(x

7、0,0)，则(x1x0，y1)(x1x0，y1)x2x1x0xy.由oapa(x1，y1)(x1x0，y1)0xx1x0y0，又xy1，所以x1x01.从而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值为23.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0时得不到a0或b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|ab|a|b|.变式训练1(2015湖北)已知向量，|3，则_.答案9解析

8、因为，所以0.所以()2|20329.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()a. b.c. d.(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()a. b.c. d.答案(1)a(2)b解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)记向量2ab与a2b的夹角为，又(2ab)242232

9、423cos 13，(a2b)222432423cos 52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即2ab与a2b的夹角的余弦值是.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2(2014课标全国)已知a，b，c为圆o上的三点，若()，则与的夹角为_.答案90解析()，点o是abc中边bc的中点，bc为直径，根据圆的几何性质得与的夹角为90.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|

10、2，且a与b的夹角为120，则|2ab|等于()a.2 b.4c.2 d.6(2)已知直角梯形abcd中，adbc，adc90，ad2，bc1，p是腰dc上的动点，则|3|的最小值为_.答案(1)a(2)5解析(1)因为平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为120，所以|2ab| 2.(2)方法一以d为原点，分别以da、dc所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设dca，dpx.d(0,0)，a(2,0)，c(0，a)，b(1，a)，p(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0x|ab|，

11、此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选d.3.(2015湖南)已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则|的最大值为()a.6 b.7c.8 d.9答案b解析a，b，c在圆x2y21上，且abbc，ac为圆直径，故2(4,0)，设b(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y).故|，x1时有最大值7，故选b.4.如图，在等腰直角abo中，oaob1，c为ab上靠近点a的四等分点，过c作ab的垂线l，p为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)等于(

12、)a. b.c. d.答案a解析以oa，ob所在直线分别作为x轴，y轴，o为坐标原点建立平面直角坐标系，则a(1,0)，b(0,1)，c(，)，直线l的方程为yx，即xy0.设p(x，x)，则p(x，x)，而ba(1,1)，所以p(ba)x(x).5.在平面上，|1，.若|a，所以a.所以f(x)4cos(2a)sin(2x).因为x0，所以2x，.所以1f(x)4cos(2a).所以f(x)4cos(2a)的取值范围为1，.12.在abc中，ac10，过顶点c作ab的垂线，垂足为d，ad5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.解(1)由，且a，b，d三点共线，可知|.又ad5，所以