含参数函数单调性的讨论及积分求面积

1、曲边形的面积和含参数函数单调性的讨论一 积分的几何意义及其性质（1）1.定积分的几何意义：当时，积分在几何上表示由、与轴所围成的曲边梯形的面积.当时，由、与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方.当时，由、与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方。（2）定积分的性质及其推论1.2.，（为常数）3. 4.若在区间上，定积分推论：若在区间上，若是偶函数，则，若是奇函数，则例 利用定积分的几何意义求下列值（1） （3） 练习利用定积分的几何意义求下列值（1）（2） =（3） （4） 二 牛顿莱布尼茨公式（1）微积分基本定理：一般地，若注：若则叫函数在区间上的一个原函数，根据导数定义知：也是的原函数，求定积分的关键是

2、求的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求.求导运算与求原函数的运算互为逆运算.（2）微积分基本定理与曲边形的面积问题例1 已知，则，的大小关系为_. cab例2 由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为_. 例3设点在曲线上从原点到移动，如果把由直线，直线及直线所围成的面积分别记作，如图所示，当时，点的坐标是_. 练习1抛物线与直线围成的平面图形的面积为_解析由方程组解得两交点A(2,2)、B(8，4)，选y作为积分变量x、x4yS4(4y)dy(4y)|4218.练习2设函数其中表示不超过的最大整数，如1.22，1.21，11.又函数，在区间(0,2)上零点的

3、个数记为，与的图象交点的个数记为，则的值是_. 解析由题意可得，当0x1时，x0，f(x)x，当1x2时，x1，f(x)x1，所以当x(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m1，n4，则g(x)dxdx14.练习3抛物线与直线围成的封闭图形的面积为，若直线与抛物线相切且平行于直线 ，则的方程为_答案16x8y10解析由题意知dx，a1，设l：y2xb代入y2x中，消去y得，4x2(4b1)xb20，由0得，b，l方程为16x8y10.练习4已知函数的图象如图所示，它与轴在原点处相切，且轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为则的值

4、为_答案1解析f (x)3x22axb，f (0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)S阴影(x3ax2)dxa4，a1.练习5如图所示，在区间上给定曲线试在此区间内确定的值，使图中阴影部分的面积最小解析由题意得S1tt2x2dxt3，S2x2dxt2(1t)t3t2，所以SS1S2t3t2(0t1)又S(t)4t22t4t，令S(t)0，得t或t0.因为当0t时，S(t)0；当0.所以S(t)在区间上单调递减，在区间上单调递增所以，当t时，Smin.三 含参数函数单调性的讨论例1 已知函数讨论函数的单调性.解： 因为， 所以 (1) 当时，当时，；当时，；所以函数

5、在上单调递增，在上单调递减；(2) 当时，的图像开口向上，I) 当时，所以函数在R上递增；II) 当时，方程的两个根分别为 且 所以函数在，上单调递增， 在上单调递减；(3) 当时，的图像开口向下，且 方程的两个根分别为且 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增。综上所述，当时，所以函数在上单调递增， 在，上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当，所以函数在，上单调递增， 在上单调递减；当，函数在R上递增；例2 已知函数.讨论的单调性；解：因为的定义域为所以 ，令 ，则同号 当时，由于1，开口向下,结合其图象易知 ，,此时，函数 单调递减；时，此时，函数单调递增.当时， 开口向上,但是

6、否在定义域需要讨论：因所以i) 当时，由于0)令,则与同号 （1）当时，在定义域上为增函数 (2) 当时, 当时，g(x)开口向上，图象在x轴上方，所以所以，则在上单调递增 当,此时令，解得由于，因此可进一步分类讨论如下：i) 当时， ; 则在上单调递增，在上单调递减 ii)当时，或; 则在，上单调递增，在上单调递减综上所述，f(x)的单调区间根据参数讨论情况如下表：增减增增增增 （其中)练习1 已知函数，求的单调区间.解： 练习2 已知函数讨论函数的单调性,求出其单调区间.解： 的定义域为.(1) (2) 若即时，0, 故在单调递增.若0,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.若,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增. 综上所述，当，单调增区为 ,减区间是; 当时，的减区间是，增区间是； 当时，在定义域上递增，单调增区为 （不存在减区间）; 当时，的减区间是，在增区间是.练习3 已知函数，求的单调区间. 解：，.（1） 当时，.所以，在区间上，；在区间上，. 故的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）当.（3）当即时， 故的单调递增区间是.（4）当即（）时， 由得，；由得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.（5）当即（）时，由