单元评估检测(七)

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(七)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.双曲线x22-y21=1的焦点坐标是()A.(1，0)，(-1，0)B.(0，1)，(0，-1)C.(3，0)，(-3，0)D.(0，3)，(0，-3)【解析】选C.c2=a2+b2=2+1=3，所以c=3.由焦点在x轴上.所以焦点坐标为(3，0)，(-3，0).2.方程mx2+y2=1所表示的所有可能的曲线是()A.椭

2、圆、双曲线、圆B.椭圆、双曲线、抛物线C.两条直线、椭圆、圆、双曲线D.两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线【解析】选C.当m=1时，方程为x2+y2=1表示圆；当m0且m1时，方程表示椭圆；当m=0时，方程表示两条直线.【误区警示】本题对参数m的讨论，容易出现讨论不全造成漏解错选.3.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，则双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为()A.y=12xB.y=2xC.y=4xD.y=14x【解析】选A.由题意a2-b2a=32，所以a2=4b2.故双曲线的方程可化为x24b2-y2b2=1，故其渐近线方程为y=12x.4.抛物线的顶点在坐标原点，

3、焦点与双曲线y25-x24=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()A.x2=4yB.x2=-4yC.y2=-12xD.x2=-12y【解析】选D.由题意，得c=5+4=3.所以抛物线的焦点坐标为(0，3)或(0，-3).所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.【加固训练】以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0圆心的抛物线方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x【解析】选D.x2+y2-2x+6y+9=0，(x-1)2+(y+3)2=1，圆心(1，-3).代入选项知D正确.5.(2

4、015三明模拟)已知椭圆x24+y2b2=1(0b0，b0)的渐近线为bxay=0，依题意，直线bxay=0与圆x2+(y-2)2=1相切，设圆心(0，2)到直线bxay=0的距离为d，则d=2aa2+b2=2ac=1，所以双曲线离心率e=ca=2.7.已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2+y2b2=1和x2a2-y2b2=1的离心率，则lge1+lge2的值()A.大于0且小于1B.大于1C.小于0D.等于0【解析】选C.由题意，得e1=a2-b2a，e2=a2+b2a(ab0)，所以e1e2=a4-b4a2=1-b4a41.所以lge1+lge2=lg(e1e2)=lga4-b4a

5、20，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF1PF2=0，若PF1F2的面积为9，则a+b的值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.由PF1PF2=0得PF1PF2，设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设mn，则m2+n2=4c2，m-n=2a，12mn=9，ca=54，解得a=4,c=5,所以b=3，所以a+b=7.9.(2015泉州模拟)若F1，F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，M是椭圆上的任意一点，且MF1F2的内切圆的周长为3，则满足条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.不确定【思路点拨】由内切圆的周长为3可确定内切圆的半径，然后利

6、用面积相等确定点M的纵坐标，进而确定M点的个数.【解析】选A.由MF1F2的内切圆的周长为3得，内切圆的半径r=32，所以MF1F2的面积为12(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=12|F1F2|yM|，即(10+6)32=6|yM|，得|yM|=4，所以满足条件的点M是短轴的2个端点.10.如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”.已知常数p0，q0，给出下列命题：若p=q=0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有1个；pq=0，且p+q0，则“距离坐标”为(p，q)的点

7、有且仅有2个；若pq0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.p=q=0，则“距离坐标”为(0，0)的点有且只有1个，此点为点O，故正确；正确，p，q中有且仅有一个为0，当p为0时，坐标点在l1上，分别为关于O点对称的两点，反则在l2上也有两点，但是这两种情况不能同时存在；正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点.【加固训练】对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：AB=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题：若点

8、B在线段AC上，则AB+BC=AC；在ABC中，C=90，则AC2+CB2=AB2；在ABC中，AC+CBAB.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.取特殊值，数形结合.在ABC中，C=90，不妨取A(0，1)，C(0，0)，B(1，0)，因为AB=|x2-x1|+|y2-y1|，所以AC=1，BC=1，AB=|1-0|+|0-1|=2.此时，AC2+CB2=2，AB2=4，AC2+CB2AB2；AC+CB=AB，即命题、是错误的.设如图所示共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，ACCC，则AC=|x1-x3|+|y1-y3|=AC+CC=AB+B

9、C+CC+CC=AB+BB+BC+CC，AB=|x1-x2|+|y1-y2|=AB+BB，BC=|x2-x3|+|y2-y3|=BC+CC，所以AB+BC=AC，即命题正确.综上所述真命题的个数为1个.11.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2).则该椭圆的离心率的取值范围是()A.15,13B.13,25C.25,12D.12,35【解析】选B.如图，设椭圆的长半轴长，半焦距分别为a1，c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c

10、，|PF1|=m，|PF2|=|F1F2|=n，则m+n=2a1,m-n=2a2,m=10,n=2ca1=5+c,a2=5-c,问题转化为：已知1c5-c2，求c5+c的取值范围.由1c5-c2知125-cc1，即325c2，因此525c+13，即525+cc3，所以13c5+c0，b0)与抛物线y2=2px(p0)有一个共同的焦点F，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若|MF|=54p，则此双曲线的离心率等于()A.2B.3C.2D.3【解析】选A.因为抛物线y2=2px(p0)的焦点Fp2,0，所以由题意知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(c，0)，所以c=p2a，(1)即p2a.

11、所以双曲线方程为x2a2-y2p24-a2=1，因为点M是双曲线与抛物线的一个交点，若|MF|=54p，则M点横坐标xM=5p4-p2=3p4，代入抛物线y2=2px得M3p4,6p2，把M3p4,6p2代入双曲线x2a2-y2p24-a2=1，得9p4-148p2a2+64a4=0，解得p=4a或p=23a，因为p2a，所以p=23a舍去，故p=4a.(2)联立(1)(2)两式得c=2a，即e=2.【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的技巧求离心率的值是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a，b，c的相应等式，并把等式中的a，b，c转化为只含有a，c的齐次式，再转化为含e的等式，最后

12、求出e.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015宁德模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点与抛物线y2=410x的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为.【解析】抛物线y2=410x的焦点(10，0)a2+b2=10.e=10a=103a=3b=1，即该双曲线的方程为x29-y2=1.答案：x29-y2=114.已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为M(x0，y0)且y0x0+2，则y0x0的取值范围是.【解析】因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行，所以PQ的中点

13、M在直线x+2y+1=0上，又因为直线x+2y+1=0与y=x+2的交点坐标为A-53,13，所以kOA=13-53=-15，故-120，b0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当a=1，b=1时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为.【解析】因为曲线C：y=b|x|-a(a0，b0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，所以当a=1，b=1时望圆的方程可设为x2+(y-1)2=r2，面积最小的“望圆”的半径为(0，1)到y=1|x|-1上任意点之间

14、的最小距离，d2=x2+1|x|-1-12=x2+|x|-2|x|-12=(|x|-1)2+1(|x|-1)2+2(|x|-1)-2|x|-1+23，所以半径r3，最小面积为3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A，B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OAOB的值.(2)如果OAOB=-4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点.【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l：x=ty+1，代入抛物线y2=4x，消去x得y2-4t

15、y-4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4t，y1y2=-4，所以OAOB=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.(2)设l：x=ty+b，代入抛物线y2=4x，消去x得y2-4ty-4b=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4t，y1y2=-4b，所以OAOB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4，所以b2-4b+

16、4=0，所以b=2，所以直线l过定点(2，0).所以若OAOB=-4，则直线l必过一定点(2，0).18.(12分)在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x，(1)设点A的坐标为23,0，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.(2)设点A的坐标为(a，0)，aR，求曲线上的点到点A距离的最小值dmin，并写出dmin=f(a)的函数表达式.【解析】(1)设M(x，y)为曲线y2=2x上任意一点，则|MA|2=x-232+y2=x2+23x+49=x+132+13，因为x0，+)，所以当x=0时，|MA|min2=132+13=49，即|MA|min=23.所以距点A最近的点P坐标为(

17、0，0)，这时|PA|=23.(2)依题意得，d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x=x2-2(a-1)x+a2=x-(a-1)2+(2a-1)因为x0，+)，所以分a-10和a-10两种情况讨论.当a1时，dmin2=2a-1，即dmin=2a-1，当a1时，dmin2=0-(a-1)2+(2a-1)=a2，即dmin=|a|.这时恰好抛物线顶点(0，0)与点A(a，0)最近.所以dmin=f(a)=2a-1,a1,|a|,a0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x10)，过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=p2于点M，当|FD|=2时，A

18、FD=60.(1)求证：AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程.(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1的值.【解析】(1)设Ax1,x122p，则A处的切线方程为l1：y=x1px-x122p，所以Dx12,0，Q0,-x122p，F0,p2，所以|AF|=x12+p22p.所以|FQ|=p2+x122p=|AF|，即AFQ为等腰三角形.又D为线段AQ的中点，所以|AF|=4，得：p2+x122p=4,x12+p2=16,所以p=2，C：x2=4y.(2)设B(x2，y2)(x20，由y=kx

19、+b,x2=4yx2-4kx-4b=0，得x1+x2=4k,x1x2=-4b代入得：S=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb，使面积最小，则k=0，得到S=(1+b)2bb，令b=t，则由得S(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t，S(t)=(3t2-1)(t2+1)t2，所以当t0,33时S(t)单调递减；当t33,+时S(t)单调递增，所以当t=33时，S取到最小值为1639，此时b=t2=13，k=0，所以y1=13，即x1=233.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用思想方法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向，既可以出现在选择题、填空题中，也可

20、以出现在解答题中，根据待求量的特点，常用以下两种思想方法：(1)数形结合思想：当待求量有几何意义时，一般利用其几何性质，数形结合求解.(2)函数思想：当待求量与其他变量有关时，一般引入该变量构造函数，然后求最值，但要注意待求量的取值范围.21.(12分)已知点P是圆M：x2+(y+m)2=8(m0，m2)上一动点，点N(0，m)是圆M所在平面内一定点，线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.(1)当P在圆M上运动时，记动点Q的轨迹为曲线，判断曲线为何种曲线，并求出它的标准方程.(2)过原点斜率为k的直线交曲线于A，B两点，其中A在第一象限，且它在x轴上的射影为点C，直线BC交曲线于另一点D

21、，记直线AD的斜率为k，是否存在m，使得对任意的k0，都有|kk|=1？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为|QN|=|QP|，所以|QM|-|QN|=|PM|=22.当222m时，动点Q无轨迹.(2)如图所示，设A(x1，y1)，D(x0，y0)，则B(-x1，-y1)，C(x1，0).则y1=kx1.直线BC的方程为y=y12x1(x-x1)，即y=k2(x-x1).联立y=k2(x-x1),y22-x2m2-2=1,化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2x12-8)=0.所以-x1+x0=2k2x1(m2-2)m2k2-2k2-8，所以k=y0-y1x0-x1=k2(x0-x1)-kx1x0-x1=k2-m2k2-2k2-82k(m2-2).若存在m，使得对任意的k0，都有|kk|=1，则k22-m2k2-2k2-82m2-4=1，整理得m2=6，解得m=6(负值舍去).因此存在m，且当m=6时，满足题意.22.(12分)(2013上海高考)如图，已知双曲线C1：x22-y2=1，曲线C2：|y|=|x|+1.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1，C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”.(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(