第三章布朗运动

1、第二章 Brown运动,本章主要内容,Brown运动的定义及性质 Brown运动有关的随机过程 Brown运动的仿真,Brown 运动的背景介绍,1827年英国植物学家发现布朗运动,1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述.,相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数学描述这个模型非常困难.,1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些结果,1918年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式,此后该课题得到了巨大的发展,被一些列的物理学家完善,布朗运动解释为随机游动的极限,W (t)表示质点在时刻t的位置，则W (t) 也表示质点直到t所作的位移，因

2、此在时间(s, t)内，它所做的位移是W (t)-W (s),由于在时间(s, t)内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故W (t)-W (s)是大量小位移的和，由中心极限定理它服从正态分布,介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始观察的时刻无关,由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的,（Brown motion）,称实S.P.W(t),t0是Wiener过程,如果,是相互独立的随机变量,的也称为标准运动,（）随机过程具有连续的样本轨道,二. 布朗运动的定义,Wiener过程,

3、称实S.P.W(t),t0是参数为2的Wiener过程,如果,是平稳的独立增量过程,一、直线上的随机游动,设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔t 时间，等概率地向左或向右移动x的距离。以X(t)表示时刻t粒子的位置，则,其中,如果步长为x的第i步向右,如果步长为x的第i步向左,且Xi相互独立。,布朗运动定义的来源,因为,所以,当 时，应有,一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限.,三 Brown运动的数字特征,定理,设 W(t),t0是参数为2的Wiener过程.则,证明,(1) 由定义,显然成立.,(2) 由(1)易知有,对s0, t 0,不妨设 st,则,例1 SBM是正

4、态过程,证明,设 W(t),t0是参数为1的Wiener过程. 则对任意的n1,以及任意的,W(t1), W(t2), , W(tn)是n维随机变量,由Wiener过程的定义知,相互独立,所以,是n维正态随机变量.,又由于,所以,是n维正态变量.,所以W(t),t0是正态过程.,的联合密度函数为,其中,这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度函数为,由此可以看出 服从n维正态分布。,例2: 求布朗运动W(t)的联合概率密度,解：设W(t)是标准布朗运动，对任意的t1t2tn，有,W(t2)-W(t1)与W(t1)独立,即,所以,例3： 写出SBM的n维特征函数,解：不是一般性

5、，假设,定义增量,因此,是相互独立且,由于,故,四. Brown运动的性质,1.对称性 -W也是一个标准Brown运动,2.自相似性：对任意的常数a0和固定的时间指标t0,有W (at)=a1/2W(t),3.时间可逆性 B (t)=W (T)-W (T-t) 则B=B (t), 0tT也是一个标准Brown运动,对称性的证明：,显然 -W(0)=0,是相互独立的随机变量,上式表明，给定初始条件W(t0)=x0 ，对于任意的t0，布朗运动在t0+t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对称性。,布朗运动W(t)的对称性,在W(t0)=x0的条件下，W(t0+t)的条件密

6、度函数为,令,自相似性证明,要证X服从正态分布,时间可逆性证明：,显然 B(0)=W(T)-W(T-0)=0,即,是相互独立的随机变量,4.平移不变性：B(t)=W(t+a)-W(a)，t0,a是常数，则B(t)是BM,5.尺度不变性：,是标准BM,6.马氏性：布朗运动是马氏过程,因为布朗运动是独立增量过程，所以，W(t+s)-W(s) 与过程在时刻s之前的值独立。,例5 设W(t)，t0是标准布朗运动， 求E(W(2)W(3), E(W(2) W(3), E(W(2)W(4)W(3).,解（1）,（2）,（3）,7，布朗运动的轨道在任何区间上都不是单调的。 8，布朗运动的轨道在任何点都不是可

7、微的。 9，布朗运动的轨道在任何区间上都是无限变差的。 10，对于任意的t，布朗运动在0,t上的二次变差等于t。,二次变差的定义,定义： 设函数f(t)在0，T上有定义，在0，T上定义一个剖 分,则相应于剖分,f(t)的二次变差定义为,二次变差函数是随机微积分中最基本的定义之一,是伊藤积分等的研究对象和分析工具，,对现代分析数学和金融数学产生了深远的影响,性质8.Brown运动样本轨道的不可微性,例6 设W(t)是布朗运动，求W(1)+ W(2)+W(3)+ W(4) 的分布。 解 令,则X是多元正态分布,具有零均值,协方差矩阵为,令,则,而,所以,补充：布朗运动的首达时与最大值,最大值与首中

8、时的分布特性,关键的结论,一、首中时及其分布 设B(t),t0为标准布朗运动，B(0)=0，令 Ta=inft;t0,B(t)=a，则Ta表示首次击中a的时刻 （首中时）。 下面求Ta的分布函数P(Tat).由全概公式有,三. 首中时、最大值变量及反正弦律,显然,又由布朗运动的对称性知，在Tat的条件下， 即B(Ta) =a时，B(t) a与B(t) a是等可能的， 即,于是当a 0时，有,推论1：P(Ta)=1 （布朗运动的常返性）,推论2：ETa=+ 布朗运动的零常返性,推论3：由布朗运动的对称性，有T-a与Ta有相同的 分布，即 P(T-at)= P(Tat). 所以，对任意的a有,由推论1和推论2知，布朗运动以概率1迟早会击中a，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从任何一点出发击中a的概率都是1。性质P(Ta)=1称为布朗运动的常返性。,二、最大值及其分布,称为布朗运动在0,t中的最大值。,利用,可得,类似地可得到布朗运动在0,t中的最小值,的分布。,三、反正弦律 对任意的t1t2，记事件 0(t1,t2)=至少有一个t (t1,t2), 使得B(t)=0 =在(t1,t2)内， B(t)=0至少有一