2020年北京市东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷(含答案及解析)

1、/2020年北京东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.A.B.或C.D.已知集合，且、都是全集(为实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）2.A.B.C.D.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（）3.A.B.C.D.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（）4.A.B.C.D.下列不等式成立的是（）5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（）/A.B.C.D.以上都不

2、对6.A.B.C.D.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是()若，则若，则若，则若，则7.A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D.即不充分也不必要数列的通项公式为则“”“是为递增数列”的（）条件8.A.B.C.D.设函数，则使得成立的的取值范围是（）9.A.B.C.D.已知函数下列命题：函数的图象关于原点对称；函数是周期函数；当时，函数取最大值；函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）10.A.B.C.D.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面，两两互相垂直，点，点到，的距离都是

3、，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）/11.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则12.某高中共有人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取人，那么高二年级被抽取的人数为13.角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是14.平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则15.以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹方程为16.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票这名候选人的得

4、票数（不考虑是否有效）分别为总票数的，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之“我身边的榜样”评选选票候选人符号注:.同意画“”，不同意画.“”甲乙丙每.张.选.票.的.个.数.不.超.过.时.才.为.有.效.票.三、解答题（本大题共6小题，共80分）17.如图所示，已知平面，为等边三角形，为边上的中点，且/（1）（2）（3）求证：面求证：平面平面求该几何体的体积18.（1）（2）在锐角中，、分别是角、的对边，且求角的大小；求函数的值域19.（1）（2）（3）某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数

5、如下表：月收入（单位：百元）频数频率赞成人数若所抽调的名市民中，收入在的有名，求，的值，并完成频率分布直方图频率组距收入百元若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取人进行追踪调查，选中的人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望从月收入频率分布表的组市民中分别随机抽取名市民，恰有一组的名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果20.（1）已知函数当时，求的单调区间（2）（3）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程已知分别在，（）处取得极值，求证：21.（1）（2）已知椭圆的两个焦点分别为

6、，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直求椭圆的方程；已知点的坐标为，点的坐标为过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，的斜率分别为,，若，试求满足的关系式22.（1）（2）（3）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合以下记为的元素个数给出所有的元素均小于的好集合（给出结论即可）求出所有满足的好集合（同时说明理由）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍/2020年北京东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷一、选择题1.A.B.或C.D.【答案】【解析】已知集合，且、都是全集(为实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）C，图中表示的

7、是，故选2.A.B.C.D.【答案】A选项：【解析】下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（）B（本大题共10小题，每小题4分，共40分）答案及解析/B选项：C选项：D选项：根据题意可画出函数的图象草图，则函数在定义域上不单调，故错误；根据题意可画出函数的图象，由图象可知，在定义域上单调递增，且值域为，故正确；根据题意可作出的大致图象，由图象可知，此函数单调递增，但值域为，故错误；根据题意可作出的大致图象，由图象可知，此函数在定义域上不单调，故错误；故选B.3.A.B.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（）/C.D.【答案】【解析】D题目中双曲线方程可知，且渐近线方程为，因为其中一条渐近

8、线倾斜角为，则切斜率，则，故选D4.A.B.C.D.【答案】【解析】下列不等式成立的是（）D对于，则，故错误；对于，是在单调递增，故错误；对于，故错误;对于，在单调递增，又，故正确综上，不等式成立的是，故选5.A.B.C.D.以上都不对【答案】【解析】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（）A不超过的素数有，共个，/从这个素数中任选个，有种可能，其中选取的两个数，其和等于的有，共个，故随机选出两个不同的数，其和等于的概率是故选6.A.B.C.D.【

9、答案】【解析】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是()若，则若，则若，则若，则C解：对于A，由可知存在直线，故当为内与垂直的直线时，显然，故A错误；对于B，设，则当为内与平行的直线时，故B错误；对于C，得到，又，所以，故C正确；对于D，设，则当为内与平行的直线时，故D错误故选：C7.A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D.即不充分也不必要【答案】【解析】数列的通项公式为则“”“是为递增数列”的（）条件A数列的通项公式为，若“是递增数列”，则，即，化简的，又，/，“”是为递增数列的必要不充分条件故选8.A.B.C.D.【答案】【解析】设函数，则使得成立的的取值范围是（

10、）B的定义域为，为偶函数，时，单调递增，在单调递减，若，则，即或，的取值范围是，故选9.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数下列命题：函数的图象关于原点对称；函数是周期函数；当时，函数取最大值；函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）A函数定义域为，且，即函数为奇函数，故正确；是周期函数，而不是周期函数，故不是周期函数，即错误；，故不是最值，即错误；/因为，当时，故，；当时，故，即函数的图象与函数的图象没有公共点，正确故选：10.A.B.C.D.【答案】【解析】空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面，两

11、两互相垂直，点，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）D如图，原题等价于在直角坐标系中，点、是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，则点的轨迹上的点到轴的距离的最小值是多少设，则，化简得，则，故，即点的轨迹上的点到的距离的最小值是，故选二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则/【答案】【解析】由图可知，所以12.【答案】【解析】某高中共有人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人设高一、高二、高三

12、人数分别为、，则，且，解得，用分层抽样的方法抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人13.【答案】【解析】角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是由于角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，可得，故答案为：14.【答案】平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则/【解析】由已知可得，且，所以，即，即，解得15.【答案】【解析】以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹方程为，和的中点坐标为，在线段的垂直平分线上，和的中点坐标为，在线段的垂直平分线上，点的轨迹方程为故答案为：16.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对名候选人甲、乙、丙进行不记名投

13、票，投票要求详见选票这名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之/【答案】【解析】“我身边的榜样”评选选票候选人符号注:.同意画“”，不同意画.“”甲乙丙不妨设共有选票张，投票的有，票的，票的，则由题意可得：，化简得，即，由题投票有效率越高，越小，则，故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为每.张.选.票.的.个.数.不.超.过.时.才.为.有.效.票.，三、解答题（本大题共6小题，共80分）17.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）【解析】如图所示，已知平面，为等边三角形，为边上的中点，且求证：面

14、求证：平面平面求该几何体的体积证明见解析证明见解析取的中点，连接，/（2）（3）则，四边形为平行四边形，又面，平面，面为等边三角形，为中点，又，面又，面，面平面几何体是四棱锥，作交于点，即面，18.（1）（2）（1）【答案】在锐角中，、分别是角、的对边，且求角的大小；求函数的值域；/（2）（1）（2）【解析】由，得，在锐角中，故有；在锐角中，故，函数的值域为19.（1）（2）（3）某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）频数频率赞成人数若所抽调的名市民中，收入在的有名，求，的值，并完成频率分

15、布直方图频率组距收入百元若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取人进行追踪调查，选中的人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望从月收入频率分布表的组市民中分别随机抽取名市民，恰有一组的名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果/（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】，画图见解析分布列为：由频率分布表得，即因为所抽调的名市民中，收入（单位：百元）在的有名，所以，所以，所以，且频率分布直方图如下：频率组距收入百元收入在中赞成人数为，不赞成人数为，可能取值为，；，分布列为：来自的可能性更大20.（1）已知函数当时，

16、求的单调区间/（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程已知分别在，（）处取得极值，求证：函数的单调递减区间为，证明见解析因为函数的定义域为，当时，所以由于，解得，即函数的单调递减区间为因为，所以，当且仅当时取等号因为直线的斜率存在最小值，所以，即当取得最小斜率时，因为，即切点为从而切线方程，即：，因为分别在，（）处取得极值，所以，（）是方程，即的两个不等正根则解得，且，从而，因为，所以即不等式成立21.（1）（2）已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直求椭圆的方程；/（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知点的坐标为，点的坐标为过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，的斜率分别为,，若，试求满足的关系式椭圆的方程为的关系式为依题意，所以故椭圆的方程为当直线的斜率不存在时，由解得不妨设，因为，又，所以，所以的关系式为，即当直线的斜率存在时，设直线的方程为将代入整理化简得，设，则,又，所以所以，所以，所以的关系式为综上所述，的关系式为22.（1）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合以下记为的元素个数给出所有的元素均小于的好集合（给出结论即可）/（2）（3）（