《金融数学》ppt课件(10)利率的期限结构

1、1,利率的期限结构termstructureofinterestrate,孟生旺中国人民大学统计学院,2,利率的期限结构（termstructureofinterestrate）：利率和与之相联系的到期期限之间的关系。如果通过利率的期限结构，发现一项资产的定价过高或者过低，就有可能从中获得无风险收益，即套利（arbitrage）。本章主要内容：到期收益率远期利率即期利率套利,3,到期收益率,到期收益率（yieldtomaturity）：资产的内部报酬率，是使得该项资产未来现金流的现值与其价格相等的利率。,4,表1：利率的期限结构（由10种不同到期日的债券组成）,5,收益率曲线：利率随着投资时期

2、变化而变化的曲线,平价收益率曲线（paryieldcurve）：债券的息票率等于其收益率时相应的收益率曲线。此时，债券的价格将等于它的票面值。,6,即期利率（spotrate）：从当前时点开始计算的未来一定限期的利率水平。用即期利率计算债券的价格：用即期利率计算的债券价格更加合理。,即期利率,7,例：1年期的即期利率为5.2%，2年期的即期利率为5.5%。请计算一个年息票率为15%的两年期债券的价格，假设债券的面值为100元。解：该债券的价格为,8,用即期利率计算年金的现值：,9,例：假设1年期、2年期和3年期的即期利率分别为5、7和9，请计算一项每年年末支付100元的三年期年金的现值。解：该

3、年金的现值为,10,如何求得即期利率？两种方法通过市场上零息债券的价格计算：n年期的即期利率n年期零息债券的收益率2.自助法（bootstrapping）：从一系列含有息票的债券的价格中计算得到。由一年期债券的价格计算1年期的即期利率利用这个信息及两年期债券的价格，计算2年期的即期利率以此类推。在自助法中，要求应用收益率和即期利率计算的债券价格相等。,11,例：假设1年期和2年期的即期利率分别为5和5.5126。3年期债券的价格为100，息票率为6。求3年期的即期利率。解：3年期的即期利率满足下述方程：,12,与表1对应的即期利率曲线,到期收益率是不同即期利率的一种加权平均。在该例中，收益率曲

4、线是递增的，因此即期利率也是递增的。,13,远期利率,远期利率（forwardrate）：未来两个时点之间的利率水平，由一系列即期利率所确定。例：如果1年期的即期利率是5%，2年期的即期利率是5.2%，求其隐含的第一年末到第二年末的远期利率f？解：(1+5%)(1+f)=(1+5.2%)2f=5.4%,14,用远期利率计算债券的价格，则有：ft从t年到t+1年的远期利率,15,例：假设0到1年的远期利率为4.9%，1年期的远期利率为f1=5.2%，2年期的远期利率为f2=5.4%。请计算一个年息票率为10%的三年期债券的价格。假设该债券的面值为100元。解：该债券的价格为：,16,例：三年期债

5、券的价格为100元，f0=5%,f1=6.0227%，计算2年期的远期利率。解：,如何计算远期利率？类似于自助法。见下例。,17,与表1对应的远期利率曲线,在本例中，远期利率均大于相应的即期利率和到期收益率。但在现实市场中，远期利率小于即期利率和到期收益率的情况也是有可能发生的。,18,例：应用下面的收益率，计算第1、2、3年的远期利率。解：应用收益率和远期利率计算的债券价格相等，故第1年的远期利率满足下述方程：,19,同理，可以计算第2年和第3年的远期利率f1和f2：可见，第1、2、3年的远期利率均为12%。注：如果收益率曲线、即期利率曲线或远期利率曲线中的任意一个是平坦的，则其余的两个曲线

6、也一定是平坦的，且收益率、即期利率和远期利率三者均相等。,20,应用远期利率求即期利率：假设在t年末的现金流为Ct，用即期利率计算其现值为用远期利率计算其现值为由于上述两个现值相等，故有：,21,f0,f1,f2,r3,0,1,2,3,应用远期利率求得即期利率：,22,应用即期利率求远期利率：,23,r2,f2,r3,0,1,2,3,应用即期利率求得远期利率：,24,例：1年期的即期利率为5.0%，2年期的即期利率为5.5126%，3年期的即期利率为6.0411%。请计算适用于第1、2、3年的远期利率。【解】适用于第1年的远期利率等于第1年的即期利率，即：,25,应用前面的公式，分别计算第2年

7、和第3年的远期利率为,26,例：假设各年的远期利率分别为请计算2年期和3年期的即期利率。解：,27,套利,套利机会：当资产的定价不一致时，就可能存在套利机会。通过同时的买入和卖出，实现套利。例：一个年息票率为5%的两年期债券的价格为101元，面值为100元。1年期的即期利率为4.5%，2年期的即期利率为5%。试确定是否存在套利机会。解：按即期利率计算的债券价格为：与市场价格101元不一致，故存在套利机会。,28,如何获取套利收益？债券价格被高估，故可以通过以下策略获利：卖出一个两年期债券，获得101元。购买一个在第1年末支付5元的零息票债券，以及一个在第2年末支付105元的零息票债券。购买价格

8、为套利者在0时刻获得101-100.0228=0.9772的无风险收益。,29,该投资策略的现金流如下：,套利的一般规律：卖出一项价格被高估的资产，并买入一系列现金流与之相匹配的资产。买入一项价格被低估的资产，并出售一系列现金流与之相匹配的资产。,30,例（价格被低估）：一个年息票率为5%的两年期债券的价格为99元，其面值为100元。1年期即期利率为4.5%，2年期即期利率为5%。试判断是否存在套利机会。如果存在，请确定一个无净现金流出，且可获得无风险收益的策略。解：由前例可知，与即期利率一致的债券价格为100.0228元。由于该债券的市场价格为99元，故该债券被低估了，存在套利机会。,31,

9、套利者可以通过以下策略从套利机会中获利：按99元的价格购买该债券。卖出一个在1年末支付5元的零息票债券，以及一个在2年末支付105元的零息票债券。两个债券的价格为,32,该投资策略的现金流如下：,33,例：一个年息票率为5.861%的三年期债券按其面值（100元）定价。远期利率为试判断是否存在套利机会，如果存在，请确定一个无净现金流出，且可以获得无风险收益的策略。解：与远期利率一致的债券价格为,34,套利策略：按100元的价格卖出一个三年期债券，同时用99.3872元的成本复制一个相同的现金流，即可在0时刻获得100-99.3872=0.6128（元）的无风险收益。将99.3872元按4.500%投资一年，支付已售债券的息票5.861元后，还剩余：99.38721.045-5.861=97.9986（元）上述资金在第二年按远期利率6.002%再投资一年，支付已售债券的息票5.861元后，剩余：97.99861.06002-5.861=98.0194（元）,35,上述资金在第三年按远期利率8.000